南山中學2024年春季2022級3月月考數學試題

2024年3月南山中學2024年春季2022級2024年3月命題人：梁澤建審題人：文媛張韜第Ⅰ卷單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分。每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1．已知等差數列中，，，則=()A． B． C． D．2．已知等比數列，則數列的前10項和為()A．55 B．110 C．511 D．10233．某銀行為客戶定制了A，B，C，D，E共5個理財產品，并對5個理財產品的持有客戶進行抽樣調查，得出如下的統(tǒng)計圖：用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是()A．44~56周歲人群理財人數最多B．18~30周歲人群理財總費用最少C．B理財產品更受理財人青睞D．年齡越大的年齡段的人均理財費用越高4．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圖，這就是數學史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數列滿足：，，則()A．1 B．2 C．3 D．45．我國古代數學論著中有如下敘述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四．”意思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層的下一層所掛燈數是上一層所掛燈數的2倍．下列結論不正確的是()A．底層塔共掛了128盞燈B．頂層塔共掛了2盞燈C．最下面3層塔所掛燈的總盞數比最上面3層塔所掛燈的總盞數多200D．最下面3層塔所掛燈的總盞數是最上面3層塔所掛燈的總盞數的16倍6．任意拋擲一次骰子，朝上面的點數記為X，則，定義事件：，，，則()A． B．C． D．B，C相互獨立7．已知數列滿足，則()A． B． C． D．8．已知各項都不為零的無窮數列滿足:，若為數列中的最小項，則的取值范圍是()二、多項選擇題（每小題5分，共4小題，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．已知為等差數列，滿足為等比數列，滿足，則下列說法正確的是()A．數列的首項為4 B．C． D．數列的公比為10.已知一組數據：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數為5，則()A.B.這組數據的眾數和中位數均為4C.這組數據的方差為3.8D.若將這組數據每一個都加上0.3，則所有新數據的方差不變11.設是等差數列的前項和，若，且，則下列選項中正確的是()A． B．為的最大值C．存在正整數，使得 D．不存在正整數，使得12.某個足球俱樂部為了提高隊員的進球水平，開展罰點球積分游戲，開始記0分，罰點球一次，罰進記2分，罰不進記1分．已知該俱樂部某隊員罰點球一次罰進的概率為，罰不進的概率為，每次罰球相互獨立．若該隊員罰點球積分為的概率為.下列說法正確的是()A.B.C.D.積分為2分時的概率最大第Ⅱ卷三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）13．裴波那契數列的前7項是1，1，2，3，5，8，13，則該數列的第8項為．14．如圖所示，電路原件，，正常工作的概率分別為，，，則電路能正常工作的概率為．已知數列滿足(n∈N*)，且，則.16．數學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數列．其中二階等差數列是一個常見的高階等差數列，如數列2，4，7，11，16從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數列2，3，4，5是等差數列，則稱數列2，4，7，11，16為二階等差數列．現有二階等差數列，其前六項分別為1，3，6，10，15，21，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(滿分10分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績的第75百分位數；(3)現從該樣本成績在與兩個分數段內的市民中按分層抽樣選取6人，求從這6人中隨機選取2人，且2人的競賽成績之差的絕對值大于20的概率.18．(滿分12分)已知等比數列的首項，公比，數列滿足．(1)證明：數列為等差數列；(2)設數列前項和為，求使的所有正整數的值的和．19．(滿分12分)某校舉辦了“強國有我，挑戰(zhàn)答題”的知識競賽活動，已知甲、乙兩隊參加，每隊3人，每人回答且僅回答一個問題，答對者為本隊贏得1分，答錯得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答問題正確與否互不影響.(1)分別求甲隊總得分為1分和2分的概率；(2)求活動結束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.20．(滿分12分)已知等差數列的前項和為，，其中、、成等比數列.等比數列的前項和為，且().(1)求數列、的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.21．(滿分12分)已知數列，若，且.(1)證明數列是等比數列，并求出的通項公式；(2)若，且數