專題02 直線與圓的綜合應(yīng)用問題（九大考點）（原卷版）

專題02直線與圓的綜合應(yīng)用問題思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷考點二：弦長與面積問題考點三：切線問題、切線長問題考點四：切點弦問題考點五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題考點六：圓中的最值（范圍）問題考點七：圓與圓的位置關(guān)系考點八：兩圓的公共弦問題考點九：兩圓的公切線問題一．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交二．直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．三．兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)43210關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為（3）過圓上一點的圓的切線方程為（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．考點剖析考點一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1．（2023·天津濱海新·高二天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定例2．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）直線l：與圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能例3．（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）若點在圓內(nèi)，則直線與圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定例4．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點二：弦長與面積問題例5．（2023·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┲本€被圓截得的弦長為.例6．（2023·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，實數(shù)．例7．（2023·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，則實數(shù)m的值是．例8．（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┮阎c的坐標(biāo)為，點是圓上的兩個動點，且滿足，則面積的最大值為．例9．（2023·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與圓相切，且被圓截得的弦長為，則；．例10．（2023·天津武清·高二統(tǒng)考期中）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足的面積為的實數(shù)m的一個值.例11．（2023·北京昌平·高二統(tǒng)考期末）已知圓，直線l過點且與圓O交于A，B兩點，當(dāng)面積最大時，直線l的方程為．考點三：切線問題、切線長問題例12．（2023·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線是圓的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則.例13．（2023·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？计谥校懗鲞^點且與圓相切的直線方程.例14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，自點作圓的切線，則切線的方程．例15．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)校考階段練習(xí)）由直線上的一點向圓引切線，則切線長（此點到切點的線段長）的最小值為．考點四：切點弦問題例16．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程為．例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）從直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點為，則弦長度的最小值為．例18．（2023·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為.例19．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是．考點五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題例20．（2023·山東青島·高二青島二中校考期中）已知圓，直線：，若圓上恰有2個點到直線的距離都等于1，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．例21．（2023·四川·高二校聯(lián)考期末）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例22．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則（

）A． B．C． D．例23．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知圓：（），直線：．若對任意實數(shù)，圓上到直線的距離為1的點有4個，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點六：圓中的最值（范圍）問題例24．（多選題）（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知實數(shù)，滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是例25．（多選題）（2023·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎?，圓，為圓上動點，下列正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．最大時，例26．（多選題）（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)、滿足方程，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為例27．（多選題）（2023·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）若動點在方程所表示的曲線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形 B．曲線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為C．的范圍為 D．動點與點連線斜率的范圍是例28．（多選題）（2023·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是考點七：圓與圓的位置關(guān)系例29．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交例30．（2023·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）已知，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交例31．（2023·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知兩圓和相交，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例32．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知圓：與圓：外切，則的值為（

）A．1 B．5 C．9 D．21考點八：兩圓的公共弦問題例33．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）已知圓與圓相交于兩點．則．例34．（2023·山東淄博·高二?？计谥校﹫A與圓的公共弦長為例35．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期中）圓與圓的公共弦所在的直線的方程為，弦長為．例36．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標(biāo)為.考點九：兩圓的公切線問題例37．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知圓，圓，其中．若圓，僅有2條公切線，則a的值可能是（給出滿足條件的一個值即可）．例38．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期中）圓：與圓：的公切線條數(shù)為.例39．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）圓與圓有條公切線，則實數(shù)的取值范圍為.例40．（2023·廣東廣州·高二廣東實驗中學(xué)?？计谥校┮阎獔A，直線的方程，圓關(guān)于直線對稱的圓為，則所表示的一系列圓的公切線方程為.過關(guān)檢測一、單選題1．（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與圓相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．1或C．或3 D．或2．（2023·吉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與圓：交于，兩點，則（

）A．2 B． C． D．43．（2023·廣東東莞·高二東莞一中校考期中）圓與圓的公共弦所在直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（

）A． B． C． D．14．（2023·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓上一點，是圓上一點，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．5．（2023·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎本€與圓交于兩點，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南邵陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知點在直線上，點在圓上，則下列說法不正確的是（

）A．點到直線的最大距離為 B．若直線被圓所截得的弦長最大，則C．若直線為圓的切線，則的取值范圍為 D．若點也在圓上，則到直線的距離的最大值為7．（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知，，直線：與直線：相交于點，則的面積最大值為（

）A．10 B．14 C．18 D．20二、多選題9．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．點在圓內(nèi)B．圓上的點到直線的最小距離為1C．圓和圓的公切線長為2D．圓和圓的公共弦所在的直線方程為10．（2023·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線l必過點B．直線l與圓E必相交C．圓與圓E有3條公切線D．當(dāng)時，直線l被圓E截得的弦長為11．（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相交于不同的兩點為坐標(biāo)原點，則（

）A．直線過定點B．C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，最小值為12．（2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)圓，直線，則下列結(jié)論正確的為（

）A．的半徑為2 B．可能與相切C．恒過定點 D．當(dāng)時，被截得的弦長為2三、填空題13．（2023·天津·高二天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知直線被圓截得的弦長為，則．14．（2023·江蘇蘇州·高二張家港市暨陽高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點，若圓上存在動點滿足，則的取值范圍為.15．（2023·四川·高二?？计谥校┕畔ＥD著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點滿足，設(shè)點的軌跡為圓，（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若為圓上任意一點，則的最大值為.16．（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期中）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標(biāo)為；的最小值為．四、解答題17．（2023·江蘇泰州·高二校聯(lián)考期中）已知兩直線，(1)求直線和的交點的坐標(biāo)；(2)若過點作圓的切線有兩條，求的取值范圍；(3)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)的值.18．（2023·新疆和田·高二?？计谥校┮阎獔A方程為，直線方程為，則(1)求圓圓心坐標(biāo)及半徑；(2)判斷直線與圓位置