專題3.3 函數(shù)的奇偶性與周期性 2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（練）教師版

專題3.3函數(shù)的奇偶性與周期性練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·海南海口市·高三其他模擬）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】化簡(jiǎn)“”和“函數(shù)為奇函數(shù)”，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分必要條件.故選：C2．（2021·福建高三三模）若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】利用排除法，取特殊值分析判斷即可得答案【詳解】解：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，取，則對(duì)于B，，所以排除B，對(duì)于D，，所以排除D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于A，，此函數(shù)是由向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所以時(shí)，恒成立，而圖中，當(dāng)時(shí)，可以小于1，所以排除A,故選：C3．（2021·廣東高三其他模擬）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義和函數(shù)的解析式判斷.【詳解】A.函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；B.在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，正確；D.因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C．4．（2021·湖南高三月考）定義函數(shù)則下列命題中正確的是（）A．不是周期函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的圖象存在對(duì)稱軸 D．是周期函數(shù)，且有最小正周期【答案】C【解析】當(dāng)為有理數(shù)時(shí)恒有，所以是周期函數(shù)，且無最小正周期，又因?yàn)闊o論是有理數(shù)還是無理數(shù)總有，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱．【詳解】當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，，任何一個(gè)有理數(shù)都是的周期，是周期函數(shù)，且無最小正周期，選項(xiàng)，錯(cuò)誤，若為有理數(shù)，則也為有理數(shù)，，若為無理數(shù)，則也為無理數(shù)，，綜上，總有，函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，故選：C5．【多選題】（2021·淮北市樹人高級(jí)中學(xué)高一期末）對(duì)于定義在R上的函數(shù)，下列說法正確的是（）A．若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．若對(duì)，有，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則為偶函數(shù)D．若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】四個(gè)選項(xiàng)都是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中靈活的把變量x加以代換，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性、周期性和奇偶性就可以得到正確答案.【詳解】對(duì)A，是奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將的圖象向右平移1個(gè)單位得的圖象，故的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，正確；對(duì)B，若對(duì)，有，得，所以是一個(gè)周期為2的周期函數(shù)，不能說明其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤.；對(duì)C，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，正確；對(duì)D，由得，，的圖象關(guān)于（1，1）對(duì)稱，正確.故選：ACD.6．【多選題】（2020·江蘇南通市·金沙中學(xué)高一期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則滿足的的取值是（）A．0 B． C． D．【答案】BC【解析】根據(jù)偶函數(shù)和單調(diào)性求得不等式的解，然后判斷各選項(xiàng)．．【詳解】由題意，解得，只有BC滿足．故選：BC．7．【多選題】（2021·廣東高三二模）函數(shù)的定義域?yàn)?，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．是周期為的周期函數(shù) B．是周期為的周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】BD【解析】AB選項(xiàng)，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項(xiàng)，利用周期性結(jié)合，為奇函數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，所以，，所以，，所以，即，故B正確A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且為奇函?shù)，所以為奇函數(shù)，故D正確；因?yàn)榕c相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且為奇函數(shù)，所以不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））寫出一個(gè)符合“對(duì)，”的函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析可知函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為奇函數(shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為奇函數(shù)，可取.故答案為：（答案不唯一）.9．（2021·全國高三二模（理））已知為上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若，則__________．【答案】1【解析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)周期為4，從而.【詳解】函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，又為上的奇函數(shù)，則，因此函數(shù)的周期為4，因此.故答案為：1.10．（2021·上海高三二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)是奇函數(shù)，且，若，則___________．【答案】【解析】通過計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，所以．故答案為：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·安徽高三三模（文））若把定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象沿x軸左右平移后，可以得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，也可以得到關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，則關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)敘述一定正確的是（）A． B．C．是周期函數(shù) D．存在單調(diào)遞增區(qū)間【答案】C【解析】通過舉例說明選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C可以證明判斷得解.【詳解】定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象沿軸左右平移后，可以得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，也可以得到關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，∴的圖象既有對(duì)稱中心又有對(duì)稱軸，但不一定具有奇偶性，例如，由，則為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，可得函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由時(shí)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；由已知設(shè)圖象的一條對(duì)稱抽為直線，一個(gè)對(duì)稱中心為，且，∴，，∴，∴，∴，∴的一個(gè)周期，故選項(xiàng)C正確.故選：C2．（2021·天津高三二模）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，且滿足，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知；利用為減函數(shù)可知，結(jié)合為奇函數(shù)可得大小關(guān)系.【詳解】，即：又是定義在上的減函數(shù)又為奇函數(shù)，即：.故選：B.3.（2021·陜西高三三模（理））已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則f(101)+f(105)的值為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可求得函數(shù)的解析式，再由求得函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，由此可計(jì)算得選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)=0，又由x∈[0，1]時(shí)，，則有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，則有，又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則，故有f(101)+f(105)=3，故選：A．4．（2021·上海高三二模）若是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②對(duì)任意的x∈R都有；③在上單調(diào)遞增；④反函數(shù)存在且在上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)奇函數(shù)定義以及單調(diào)性性質(zhì)，及反函數(shù)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷選擇.【詳解】對(duì)于①，由是上的奇函數(shù)，得，∴，所以是偶函數(shù)，故①正確；對(duì)于②，由是上的奇函數(shù)，得，而不一定成立，所以對(duì)任意的，不一定有，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，知在上單調(diào)遞增，故③正確.對(duì)于④，由已知得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，利用函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射，且函數(shù)與其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致，故反函數(shù)存在且在上單調(diào)遞增，故④正確；故選：C5．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，并且當(dāng)，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．在上為減函數(shù) B．在上C．在上為增函數(shù) D．在上【答案】CD【解析】根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合函數(shù)的解析式可得當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式，據(jù)此分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為奇函數(shù)，則有，即，又由為偶函數(shù)，則，則有，即有，當(dāng)，時(shí)，，若，則，則，則當(dāng)時(shí)，有，則為增函數(shù)且；故在上為增函數(shù)，且；故選：．6．【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）若函數(shù)對(duì)任意都有成立，，則下列的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】根據(jù)任意滿足，得到是奇函數(shù)判斷.【詳解】因?yàn)槿我鉂M足，所以是奇函數(shù)，又，所以令，則，得，所以點(diǎn)，且點(diǎn)與也一定在的圖象上，故選：ABC．7．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．不等式的解集是 D．，都有【答案】BCD【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義和零點(diǎn)定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，由得，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則A錯(cuò)；對(duì)B，設(shè)，則，則，則B對(duì)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得無解；則C對(duì)；對(duì)D，，都有，則D對(duì)．故選：BCD．8．【多選題】（2021·蘇州市第五中學(xué)校高一月考）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．是周期函數(shù) B．的值域是C．在上是減函數(shù) D．，【答案】AC【解析】根據(jù)定義將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】由題意可知，，可畫出函數(shù)圖像，如圖：可得到函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，故選項(xiàng)AC正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC．9．【多選題】（2021·湖南高三月考）函數(shù)滿足以下條件：①的定義域是，且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②是偶函數(shù)；③在上不是單調(diào)函數(shù)；④恰有2個(gè)零點(diǎn).則函數(shù)的解析式可以是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】利用函數(shù)圖象變換畫出選項(xiàng)A，B，C，D對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，逐一分析即可求解.【詳解】解：顯然題設(shè)選項(xiàng)的四個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，但的定義域?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，但有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，的圖象對(duì)稱軸為，其圖象是開口向下的拋物線，故在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，由圖得恰有2個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；函數(shù)的定義域是，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，且有2個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選：CD.10．（2021·黑龍江大慶市·高三二模（理））定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.【答案】7【解析】由題設(shè)可知的周期為2，結(jié)合已知區(qū)間的解析式及，可得兩函數(shù)圖象，即知圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意知：的周期為2，當(dāng)時(shí)，，∴、的圖象如下：即與共有7個(gè)交點(diǎn)，故答案為：7.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：有的周期為.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·天津高考真題）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.2.（2020·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.3．（2020·海南省高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.4.（2018年理全國卷II）已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,?+?∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，則A.-50B.0C.2D.50【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?-∞,?+?∞)的奇函數(shù)，且f(1-x)=f(1+x)，所以f(1+x)=-f(x-1)∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1)