2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結一輪復習講義 第22講 平面向量的概念及其線性運算

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結

第22講平面向量的概念及其線性運算(精講)

題型目錄一覽

①平面向量的概念

②平面向量的線性運

③共線向量定理的應

用

、知識點梳理

一、向量的有關概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作|AB|.

(3)特殊向量：①零向量：長度為。的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

二'向量的線性運算和向量共線定理

(1)向量的線性運算

、-A->r-

四舁定義法則(或幾何意義)運算律

①交換律

求兩個向量和的a+b=b+a

加法

、—A-A-②結合律

百舁aa

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求〃與匕的相反

減法向量-B的和的ci—b=Q+(—Z?)

運算叫做。與ba

的差三角形法則

(1)\AdHA\\a\

=(，/)Q

求實數(shù)4與向量(2)當4>0時，4。與〃的方向相同；當

數(shù)乘(A+4)a=+jua

a的積的運算幾<0時，4a與a的方向相反；

2(a+b)=Aa+Ab

當4=0時，Xa—0

注：①向量表達式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

②兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，

兩條直線重合與平行是兩種不同的關系.

三'平面向量基本定理和性質

(1)共線向量定理

如果”勸(2eR),貝反之，如果。//6且6片0,則一定存在唯一的實數(shù)2,使人(口訣：數(shù)乘即得

平行，平行必有數(shù)乘).

(2)三點共線定理

平面內三點A,B,C共線的充要條件是：存在實數(shù)人〃，使0C=X0A+〃08,其中彳+〃=1,。為平面內一點.

若A,B、C三點共線o存在唯一的實數(shù)力，使得AC=2ABo存在唯一的實數(shù)力，使得OC=04+448

O存在唯一的實數(shù)力，使得6^=(1-團04+203=存在；1+〃=1,使得OC=404+“08.

(3)中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點。是邊BC的中點，則中線向量AD=g(AB+AC),反之亦正確.

①向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則.一

般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量.

即44+4A++4-4=44.

②特別地：||。|-|匕|區(qū)|〃±。|或|〃±b區(qū)|〃|+|匕|當且僅當a,b至少有一個為0時或者兩向量共線時，向量不等式的等

號成立.

③A、P、3三點共線o。尸=（1-。。4+/。8QeR）,這是直線的向量式方程.

二、題型分類精講

題型一平面向量的概念

畬策略方法解答與向量有關概念的四個關注點

⑴平行向量就是共線向量，二者是等價的.

⑵向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，可以比較大小.

⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一

談.

（4）非零向量a與曲的關系：曲是與a同方向的單位向量.

【典例1】（多選題）下列說法正確的是（）

A.向量的長度與向量A。的長度相等B.零向量與任意非零向量平行

C.長度相等方向相反的向量共線D,方向相反的向量可能相等

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的有關概念進行判定即可.

【詳解】A.向量OA與向量A。的方向相反，長度相等，故A正確；

B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行，故B正確；

C.能平移到同一條直線的向量是共線向量，所以長度相等，方向相反的向量是共線向量，故C正確；

D.長度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正確.

故選：ABC.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）如圖，點。為正六邊形ABCOE尸的中心，下列向量中，與。4相等的是（）

E

A.DOB.EOC.FOD.CO

【答案】A

【分析】根據(jù)相等向量的定義即可得答案.

【詳解】解：因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量Q為正六邊形ABCDEF的中心,

所以。。與。4模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；

E0與。4只是模相等的向量，故B錯誤；

尸。與。4只是模相等的向量，故C錯誤；

C。與04只是模相等的向量，故D錯誤.

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習）下列命題正確的是（）

A.向量AB與BA是相等向量

B.共線的單位向量是相等向量

C.零向量與任一向量共線

D.兩平行向量所在直線平行

【答案】C

【分析】根據(jù)向量相等和平行的定義逐項分析可以求解.

【詳解】對于A,AB=-BA，故A錯誤；

對于B,兩個單位向量雖然共線，但方向可能相反，故B錯誤；

對于C,因為零向量沒有方向，所以與任何向量都是共線的，故C正確；

對于D,兩個平行向量所在的直線可能重合，故D錯誤；故選：C.

3.（2023?全國?高三專題練習）給出如下命題：

①向量AB的長度與向量BA的長度相等；

②向量d與6平行，則&與方的方向相同或相反；

③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；

④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；

⑤向量與向量CO是共線向量，則點A,B,C,。必在同一條直線上.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的基本概念，對每一個命題進行分析與判斷，找出正確的命題即可.

【詳解】對于①，向量AB與向量54,長度相等，方向相反，故①正確；

對于②，向量。與b平行時，〃或b為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；

對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；

對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；

對于⑤，向量AB與是共線向量，點A,B,C,。不一定在同一條直線上，故⑤錯誤.

綜上，正確的命題是①③.

故選:B.

4.（2023?全國?高三專題練習）下列說法中正確的是（）

A.單位向量都相等

B.平行向量不一定是共線向量

C.對于任意向量6,必有|a+b|ga]+聞

D.若a,。滿足|°|>|加且°與）同向，貝b>6

【答案】C

【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C分類討論向量

的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.

【詳解】依題意，

對于A,單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；

對于B,平行向量就是共線向量，故錯誤；

對于C,若a,5同向共線，\a+b\4a\+\b\,

若3）反向共線，|a+b|<|a|+|6|,

若“涉不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及

兩邊之和大于第三邊知I:+笳<13+山.

綜上可知對于任意向量a,6,必有|a+b|M|a|+|b|,故正確；

對于D,兩個向量不能比較大小，故錯誤.

故選：C.

5.（2023?廣東揭陽??？级＃┰Oe是單位向量，AB=3e，CD=-3e，|AD|=3,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由題知岌=3）=-蒼，進而得|A目=,4，AB//CD,再根據(jù)菱形的定義即可得答案.

【詳解】解：因為罰=30，CD=-3e，

uuu!uuu,|UUB||UUU|II||!|

所以AB=3e=-CZ>，即AB//C。，網(wǎng)=皿=慟=3付=3,

所以四邊形ABCD是平行四邊形，

因為網(wǎng)=3,即網(wǎng)=網(wǎng)，

所以四邊形ABCD是菱形.

故選：B

ab

6.（2023?北京大興??？既＃┰O“，方是非零向量，“口=愀”是“〃=方”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.

ab

【詳解】由R=W表示單位向量相等，貝D同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出

ab

由a=b表示同向且模相等，則同=慟，

ab

所以“口=w”是“。=A”的必要而不充分條件.

故選：B

二、填空題

7.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，已知正六邊形ABCQEF,。是它的中心.（1）與低相等的向量有

;（2）與&相等的向量有；（3）與）"共線的向量有■

【答案】ED，F(xiàn)O'OCOA,EF,DOCB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE

【分析】利用相等向量和共線向量的定義解答即可.

【詳解】（1）與幾相等的向量有訪，F(xiàn)O,QC>

（2）與&相等的向量有61,辦,而；

⑶與應;共線的向量有昂,也公,向左，血國,京昆.

故答案為：訪，PQ,OC'OA,EF,DO<CB,OA,AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE-

8.（2023?全國?高三專題練習）有下列命題：

①單位向量一定相等；

②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；

③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；

④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；

⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓.

其中正確的命題的個數(shù)為.

【答案】3

【分析】由相等向量、相反向量的知識依次判斷各個選項即可得到結果.

【詳解】對于①，兩個單位向量方向不同時不相等，①錯誤；

對于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點無關，②正確；

對于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點不同，則終點不同，③正確；

對于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個向量為相反向量，④正確；

對于⑤，若兩個向量起點相同，且模長相等且不為零，則終點的軌跡為球面，⑤錯誤;

則正確的命題個數(shù)為3個.故答案為：3.

題型二3面向量的線性運算

畬策略方法平面向量的線性運算技巧

⑴不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解.

⑵含圖形的情況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的

中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解.

【典例1】（多選題）已知M為AA8C的重心，。為邊8c的中點，則（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC^O

C.BM=^BA+^BDD.AB+AC=+MC^

【答案】ABC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質及向量的線性運算、基本定理一一判定即可.

【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得MB+MC=2MD,故A正確；

由題意得M為線段AD的靠近D點的三等分點，所以=

又MB+MC=2MD,所以MA+M3+MC=0,故B正確；

BM=BA+^AD=BA+^BD-BA）=^BA+^BD,故C正確；

AB+AC=2AD，MB+MC=2MD,又AD=3Affl,所以A8+AC=3（MB+MC）,故D錯誤.

故選：ABC

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?山東棗莊.統(tǒng)考模擬預測）如圖，在長方體中，化簡AB-AT>+CCj=（）

UUUL

A.BD}B.DBtC.AC]D.C\

【答案】B

【分析】由空間向量的線性運算結合長方體的結構特征進行運算.

【詳解】由長方體的結構特征，有CG=BB、,

貝!）AB-AD+CQ=DB+CC；=DB+BB,=DB1.

故選：B

2.（2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模）在平行四邊形ABCD中，M是8邊上中點，則240=（）

A.AC-2ABB.AC+2ABC.2AC-ABD.2AC+AB

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運算進行求解.

【詳解】因為M是平行四邊形ABCD的CO邊上中點，所以=

所以AM=AC+CM=AC--AB,

所以2AM=2AC-A3.

故選：C.

3.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習）在ABC中，BD=DC，則A￡>=（）

1111

A.-AB——ACB.-AB+-AC

2222

C.2AB+2ACD.2AB-AC

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得答案.

【詳解】由BO=OC可得。為BC邊中點，如圖所示:

22、722

故選:B.

4.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預測)已知。為一ABC所在平面內一點，且滿足貝|()

3121

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=AAD-3ACD.AB=3AD-4AC

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運算即可求解.

【詳解】如圖，

所以AO=A8+BD=AB+±BC=++

-44'>44

故A,B錯誤；

13

由AD=：AB+：AC,可得AB=4AD-3AC,故C正確，D錯誤，

故選:C.

5.(2023春?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習)在.ABC中，8。=,E為AD中點，則EB=

()

41215171

A.-AB+-ACB.-AB——ACC.-AB——ACD.-AB+-AC

36366363

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的減法法則和平行四邊形法則對向量進行分解轉化即可.

【詳解】因為=E為AD中點,

119121

所以EBuAB—AEuA3——AD=AB——(-AB+-AC)=-AB——AC.

223336

故選：B.

6.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預測）在,ABC中，點。為AC中點，點E在8C上且破=2EC.記AB=a,AC=b，則

ED=（）

1-1『11,11,11

A.——a+—bB.——a——bC.——a——bD.-a——7b

36366336

【答案】B

【分析】利用向量加法、減法法則線性表示即可.

【詳解】如圖所示：

所以8C=AC-A8=8-a,

又BE=2EC,

:.EC=-BC=-（b-a\,

33、>

又因為D為AC中點，

■,CD=--b,

2

貝!|ED=EC+CD=--a--b,

36

故選:B.

7.（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學?？既＃┤鐖D，在ABC中，M為線段8C的中點，G為線段AM上一點，

41

AG=2GM，過點G的直線分別交直線A3,AC于尸，。兩點，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,則Q

的最小值為（）.

A

C.3D.9

【答案】B

【分析】先利用向量的線性運算得到AG=mAP+gAQ,再利用三點共線的充要條件，得至|jN+y=3,再利用基本

不等式即可求出結果.

121

【詳解】因為M為線段8C的中點，所以A〃=5（4B+AC）,又因為AG=2GM,所以AG=§AM=§（43+AC）,

又AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,所以AG=qAP+gAQ,

又P,G,。三點共線，所以3+]=1,即x+y=3,

^±1)1

所以45=黑+AT）H）]=2+M++>-(5+2

X4

當且僅當黃7=也二，即x=|,y4時取等號.

二、多選題

8.（2023春?云南昆明?高三?？茧A段練習）下列能化簡為PQ的是（）

A.QC-QP+CQB.AB+^PA+BQj

C.（AB+PC）+（BA-QC）D.PA+AB-BQ

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的線性運算分別判斷即可.

ULUUULIUUUUUL1UUUU

【詳解】解：對于A,QC-QP+CQ^-QP=PQ，故A正確；

ULUUUULIULILUULIUULHL

對于B,AB+PA+BQ=AQ+PA=PQ,故B正確；

/uimuim、/Uiruum、uimumnuum

對于c,[AB+PC）+（BA-QC）=PC+CQ=PQ,故C正確；

對于D,PA+AB-BQ=PB-BQ,故D不合題意；

故選：ABC.

9.（2023?全國?高三專題練習）如圖，在，ABC中，若點。，E,P分別是BC,AC,A3的中點，設A。，BE,

C尸交于一點。，則下列結論中成立的是（）

A.BC^AC-ABB.AD=-AC+-AB

22

2222

C.AO=-AC+-ABD.OC^-AC——AB

3333

【答案】AB

【分析】利用向量的加減法則進行判斷.

【詳解】根據(jù)向量減法可得=AC-A3,故A正確；

因為。是8C的中點，所以+故B正確；

22

由題意知。是.ABC的重心，

Q0111

貝（jAO=1AO=§*5（AC+AB）=§AC+mA2,故C錯誤；

221111121

OC=——CF=——x-（CB+CA）=一CB——CA=一（CA+AB）——CA=-AC——AB,故D錯誤.

332333333

故選：AB.

三、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習）化簡：AB-CB+CD=.

【答案】AD

【分析】由向量的加減法法則計算.

ULULULIUUUIULUUUUIUUUUUU

【詳解】AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD-

故答案為:AD-

11.（2023?河南商丘?商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知在平行四邊形A3CD中，點石滿足登=彳品,

13

DE=-AB——AD,則實數(shù)4=______.

44

【答案】；

【分析】利用向量的四則運算化簡求值.

【詳解】如圖所示:

平行四邊形ABCD中，點E滿足藍=丸品，

13

DE=DA+AE=DA+^AC=-AD+^AB+AD^=^AB+^-1)AD=-AB——AD

44

解得：2

4

故答案為：；

4

12.（2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習）在一ABC中，若點P滿足=2PC,設AB=XAP+〃AC,貝|勿=

【答案】-6

【分析】根據(jù)向量的線性運算可用ABAC表示A5,求出的值后可求M的值.

【詳解】

因為而=2無,^AP-AB=2（AC-AP\

整理得至！J：AB=3AP-2.AC，故XAP+〃AC=3AP-2AC,

而8P=2PC,故尸為線段8C靠近C的三等分點，故AP,AC不共線,

故;1=3,〃=-2即=一6故答案為：-6.

題型三共線向量定理的應用

多策略方法共線向量定理的三個應用

1證明向;對于向量明力,若存在實數(shù)入，使a=Xb{b\

量共線1-W0),則a與方共線：

證明三若存在實數(shù)A,使啟=AAC,^A,B,CB\

—

點共線點共線1

求參數(shù)利用共線向量定理及向量相等的條件列：

—

的值方程(組)求參數(shù)的值：

【典例1](單選題)已知4,6是不共線的向量，S.AB=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b,貝!!()

A.A、B、。三點共線B.A、B、C三點共線

C.B、C、。三點共線D.A、C、。三點共線

【答案】D

【分析】利用平面向量共線向量定理求解.

【詳解】因為AB=3a+4b,BC=-2a-6b,CD=2a-4b，

所以AD=3a—6b9

(3=34

若A、B、D三點共線，貝!lAB=2AO,而/"無解，故A錯誤；

[4=—OX

因為AB=3Q+4Z?,BC=—2a—6b,CD=2a—4b9

所以AC二a—2人，

f3=A

若A、B、C三點共線，貝！|A3=XAC,而/”無解，故B錯誤；

14=—ZZ

因為=3。+4"=-2。-6"CD=2a-4Z?,

所以3D=3C+CD=—10b，

—2=0

若B、C、D三點共線，貝!=而(無解，故C錯誤;

—o=-10Z

因為AB=3a+4b,5C=-2a-6b,CD=2〃-4b,

所以AC=a-26,AZ>=3a-6b,

即AC=(AD,所以A、C、D三點共線，故D正確.

故選：D

【典例2]如圖，在11ABe中，點。，E是線段BC上兩個動點，S.AD+AE=xAB+yAC,則％+V=

14

一+一的最小值為.

%y

A

【分析】設AD=mAB+〃AC,AE=AAB+JuAC,由8,D,E,C共線及已知可得x+y=2,從而有

14114

—+—=—(%+y)?(一+—),然后利用基本不等式即可求解；

xy2xy

【詳解】解：AZ)=mAB+nAC,AE=AAB+JLLAC9

BfD,E,。共線，

:.m+n=\,4+4=1,

AD+AE=xAB+yAC,

又AO+A石=(加+A)AB+(n+〃)AC

n

:.x=m+X9y=+M,

.?.X+y=M+幾+X+〃=2,顯然％>0,y>0,

當且僅當上y=一4x且x+y=2即X=2J,y=4=時取等號，故答案為：2；Q

尤y332

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知g=4令+24，p。=26+，4，若M、P、。三點共線，貝卜=（）

A.1B.2C.4D.-1

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量共線定理，列方程組即可求解.

【詳解】解：???M、P、。三點共線，則與尸。共線，

AMP=A,PQ,即46I+2?2=/1（24+加2）,得］：］?，解得f=L

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習）若平面四邊形A8CO滿足：AB+CD=0,（42-AD）-AC=0,則該四邊形一定是（）

A.平行四邊形B,菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.

【詳解】AB+CD=O,:.AB=DC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

（AB-AD）-AC=O,:.DBAC=O,

所以BD垂直AC,所以四邊形ABCD為菱形.

故選：B

_4

3.（2023?全國?局三專題練習）已知向量萬不共線，若向量力=。+丁油與向量q=共線，則機的值為（）

A.±-B.0或；C.0或1D.0或3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共線的條件p=2q,代入化簡,對應系數(shù)相等

【詳解】因為0.與q=b+3n?a共線，可設P=Xq,即。+=彳（6+3〃也），因為.，萬不共線，所以

3mA=1,

1

,4,所以加=土＞

—m=z,2

13

故選:A.

4.（2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習）已知向量a,b,貝廣。與6共線”是“存在唯一實數(shù)2使得a=助”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】充分性根據(jù)6=0,。*0驗證；必要性直接證明即可.

【詳解】當人=0,aw0時，滿足。與）共線，

但是不存在實數(shù)4使得a=助，

故充分性不成立；

存在唯一實數(shù)2使得°=勸則。與，共線成立，

即必要性成立.

故“。與b共線”是“存在唯一實數(shù)2使得a=勸”的必要不充分條件.

故選：B.

5.（2023?全國?高三專題練習）設0,6是不共線的兩個平面向量，已知A3=a-2b,BC=3a+kb（keR）,若A,

B,C三點共線，則后=（）

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】D

【分析】根據(jù)向量數(shù)乘及向量共線條件，即可求得左的值.

【詳解】若A、B、。三點共線，則A3//3C，

即滿足系數(shù)成比例，則々=

一21

解得上=-6.

故選：D.

【點睛】本題考查了平面向量數(shù)乘的意義，平面向量共線求參數(shù)，屬于基礎題.

6.(2023?全國?高三專題練習)已知P是△ABC所在平面內的一點，若CB-PB=2PA，其中屆R,則點尸一定在

()

A.AC邊所在的直線上B.邊所在的直線上

C.A8邊所在的直線上D.△ABC的內部

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運算整理可得，再結合向量共線分析即可.

【詳解】=PB=PC+CB

：.CB-(PC+CB)=2PA,貝！|-PC=；IPA，則CP=2PA

ACP//PA

AP點在AC邊所在直線上.

故選：A.

7.(2023?全國?高三專題練習)在ABC中，點尸是邊8C上一點，若=+則實數(shù)九=()

4

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】D

【分析】利用向量共線定理設=〃>0,通過線性運算得AP=(1-〃)AB+〃AC,結合題目條件得到方程

組，解出即可.

【詳解】作出如圖所示圖形:

8,P,C三點共線，故可設=〃>0,

貝！JAP=A5+5P=A5+〃5C=A5+〃（AC-AB）=（1-〃）A5+〃AC,

（

i1-"二一13

AP=-AB+A.AC,:.\"4,解得2=-.

44

[〃=22

故選：D.

8.（2023?全國?高三專題練習）己知點O,P在ABC所在平面內，滿OA+OB+OC=0,|尸$=|尸目=,。|，則點。，2

依次是_ABC的（）

A.重心，外心B.內心，外心C.重心，內心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】設A3中點為D,進而結合向量加法法則與共線定理得C三點共線，。在ABC的中線CZ）,進而得。

為一ABC的重心，根據(jù)題意得點P為ABC的外接圓圓心，進而可得答案.

【詳解】解：設A3中點為D,因為04+08+00=0，

所以OA+O8+OC=2OO+OC=0,BP-2OD=OC,

因為。D,0C有公共點。，

所以，O,n,C三點共線，即。在ABC的中線8,

同理可得。在.ABC的三條中線上，即為ABC的重心；

因為網(wǎng)=P8=PC,

所以，點?為.MC的外接圓圓心，即為一ABC的外心

綜上，點。尸依次是ABC的重心，外心.

故選：A

A\

ADB

9.（2023?全國?高三專題練習）在一ABC中，點E為AC的中點，AF=2FB>BE與CF交于點P,且滿足BP=ABE，

則2的值為（）

A.-B.1C.|D.-

3234

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用AfAC表示人尸即可得答案.

【詳解】解：如圖，因為點E為AC的中點，AF=2FB，

所以，AP=AF+FP=AF+xFC=AF+x^AC-AF^=(l-x)AF+xAC,

AP=AB+BP=AB+ABE=AB+^AE-AB^=(l-A)AB+AAE=-^-^-AF+^AC,

’3。叫

所以，2即2二國+&=±坦=],解得彳=L

z2222

—=X

所以，入的值為g

故選：B

二、多選題

10.（2023春?遼寧?高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）在ABC所在的平面上存在一點尸，

AP=XAB+〃AC（X,〃eR）,則下列說法錯誤的是（）

A.若2+〃=1,則點尸的軌跡不可能經(jīng)過"1BC的外心

B.若4+〃=1,則點。的軌跡不可能經(jīng)過的垂心

C.若2+〃=；,則點P的軌跡不可能經(jīng)過jABC的重心

D.若X?0,l],//G[0,1],則點尸的軌跡一定過ABC的外心

【答案】ABD

【分析】由彳+〃=1,結合向量共線的推論判斷尸的軌跡，討論A