概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一

關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一全概率公式和貝葉斯公式TotalProbabilityTheoremAndBayes’Rule第2頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天第3頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天引例：已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，問(wèn)這人是色盲患者的概率是多少？第4頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天A定義1設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，

B1，B2，…，Bn為E的一組事件，如果(1)BiBj=

（i≠j）;則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間

的一個(gè)劃分。(2)B1B2B3Bn……定理1全概率公式第5頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天引例：已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，問(wèn)這人是色盲患者的概率是多少？解：A表示“隨機(jī)選一人是色盲患者”表示“隨機(jī)選一人是男性”表示“隨機(jī)選一人是男性”第6頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1一保險(xiǎn)公司據(jù)以往的資料知道來(lái)投保的客戶可分為兩類，一類是容易出事故的，另一類則不是。前一類在一年中出一次事故的概率為0.1，后一類則為0.05。一新來(lái)的投?？蛻魧儆谝壮鍪鹿室活惖母怕蕿?.2。求一新來(lái)投?？蛻粼诘谝荒陜?nèi)出一次事故的概率。第7頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2今有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子內(nèi)有7只紅球和3只黃球；第二個(gè)盒子內(nèi)有5只藍(lán)球5只白球；第三個(gè)盒子內(nèi)有8只藍(lán)球和2只白球?，F(xiàn)在第一個(gè)盒子中任取一球，若取到紅球則在第二個(gè)盒子中任取兩球；若取到黃球則在第三只盒子中任取兩球，求第二次取到的兩球都是藍(lán)球的概率。第8頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)

有朋自遠(yuǎn)方來(lái)，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來(lái)的概率分別為0.3，0.2,0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3,0.1，0；求他遲到的概率．第9頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天123例3有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.第10頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因”這一類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.或者問(wèn):123?第11頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件A）發(fā)生的最可能原因.定理2貝葉斯公式該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.第12頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)某人從外地趕來(lái)參加緊急會(huì)議，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘飛機(jī)來(lái)就不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來(lái)遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12。（1）求他遲到的概率；（2）如果他遲到了，試推斷他是怎么來(lái)的，說(shuō)說(shuō)你的理由。第13頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷糖尿病的試驗(yàn)具有以下的效果：若一被診斷者患有糖尿病則試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.90；若一被診斷者未患糖尿病，則試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.06。又已知受試驗(yàn)的人群患糖尿病的概率為0.03。如果一被診斷者其試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，求此人患糖尿病的條件概率。第14頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi|A)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。第15頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為比如原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(A1|B)知道B發(fā)生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小第16頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5在電報(bào)通信中不斷發(fā)出信號(hào)0和1，統(tǒng)計(jì)資料表明發(fā)出0和1的概率分別為0.6和0.4，由于存在干擾，分別以概率0.7和0.1接收到0和1，以0.2的概率收到模糊信號(hào)“x”；發(fā)出1時(shí)，分別以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信號(hào)“x”。（1）求收到模糊信號(hào)“x”的概率；（2）當(dāng)收到模糊信號(hào)“x”時(shí)，譯成哪個(gè)信號(hào)為好，為什么？第17頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天0

01

x

10.70.850.20.10.050.1

0.60.4（1）求收到模糊信號(hào)“x”的概率；（2）當(dāng)收到模糊信號(hào)“x”時(shí)，譯成哪個(gè)信號(hào)為好，為什么？第18頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)已往的紀(jì)錄有以下數(shù)據(jù)，設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志。（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，求它是次品的概率。（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，試分析此次品最可能出自哪個(gè)制造廠？第19頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天元件制造廠次品率提供晶體管的份額

10.020.1520.010.8030.030.05（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，求它是次品的概率。（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，試分析此次品最可能出自哪個(gè)制造廠？第20頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：設(shè)某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的45%、35%、20%，且各車間的合格品的概率依次為96%、98%、95%?，F(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出了一個(gè)次品，問(wèn)該次品是由哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大？第21頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早晨機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？第22頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天這一節(jié)我們介紹了全概率公式貝葉斯公式它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用,同學(xué)們可通過(guò)進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們.值得一提的是，后來(lái)的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”.可見(jiàn)貝葉斯公式的影響.第23頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)全概率公式：由因遡果貝葉斯公式：由果索因第24頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天第五節(jié)事件的獨(dú)立性EventIndependenceNew第25頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天A,B是試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，若P(B)>0,

可以定義P(A|B)B已發(fā)生影響A發(fā)生的概率很多時(shí)候還有P(A|B)=P(A)此時(shí)有P(AB)=P(A)P(B)一般P(A|B)≠P(A)

B已發(fā)生對(duì)A發(fā)生的概率沒(méi)有影響第26頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

顯然P(A|B)=P(A)這就是說(shuō),已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)第27頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.P(AB)=P(A|B)P(B)第28頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、兩個(gè)事件相互獨(dú)立mutualindependence

定義1定理1第29頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1設(shè)P(A)>0,P(B)>0,則A，B相互獨(dú)立與A，B互不相容不能同時(shí)成立。事件獨(dú)立的例題：例2甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別是0.5和0.4?，F(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是乙射中的概率是多少？例3設(shè)0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A)，試證：A、B相互獨(dú)立.第30頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、多個(gè)事件相互獨(dú)立性mutualindependence

定義2定義3定理2第31頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4現(xiàn)有四張卡片，其中第一張只寫有1，第二張只寫有2，第三張只寫有3，第四張上寫有1，2，3三個(gè)數(shù)字?，F(xiàn)從中任取一張卡片，設(shè)A，B，C分別表示抽到寫有數(shù)字1，2，3的卡片，則有P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=1/4.顯然P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C兩兩相互獨(dú)立，但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)第32頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義3：對(duì)n個(gè)事件,若下面的等式同時(shí)成立則稱相互獨(dú)立。定理2第33頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5某電路由電子元件A和兩個(gè)并聯(lián)的電子元件B，C串聯(lián)而成，已知元件A，B，C能正常工作的概率依次為0.8，0.9和0.7，假定各電子元件能否正常工作是相互獨(dú)立的。(1)求整個(gè)電路能正常工作的概率；(2)若整個(gè)電路正常工作，分別求A，B能正常工作的概率。第34頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6某工人照看甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床，在任意時(shí)刻這三臺(tái)機(jī)床不需要照管的概率為0.8,0.9,0.6,設(shè)這三臺(tái)機(jī)床是否需要照管是相互獨(dú)立的，且這名工人同時(shí)只能照管一臺(tái)機(jī)床。試求在任意時(shí)刻：（1）“有機(jī)床需要工人照管”的概率；（2）“機(jī)床因無(wú)人照管而停工”的概率.第35頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7一架長(zhǎng)機(jī)與兩架僚機(jī)一起飛往某目的地進(jìn)行轟炸，三架飛機(jī)中只有長(zhǎng)機(jī)有導(dǎo)航設(shè)備，若無(wú)導(dǎo)航設(shè)備，則飛機(jī)不能到達(dá)目的地。在飛機(jī)到達(dá)目的地之前，必須飛過(guò)敵方的高射炮陣地上空，這時(shí)任何一架飛機(jī)被擊落的概率都是0.2。到達(dá)目的地后，各架飛機(jī)獨(dú)立地進(jìn)行轟炸，炸毀目標(biāo)的概率都是0.3。（1）求目標(biāo)被炸毀的概率；（2）如果目標(biāo)被炸毀，問(wèn)是被哪種情況炸毀的可能性最大？第36頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8一批產(chǎn)品共100件，其中有4件次品，其余皆為正品。每次任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)檢驗(yàn)3次。如發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，但檢驗(yàn)時(shí)，一件正品被誤判為次品的概率為0.05