2023-2024學(xué)年上海市楊浦高二年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市楊浦高二下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.擲一顆公正的六面骰子，觀察向上的面的點數(shù)，則“點數(shù)為偶數(shù)”的對立事件是.

【正確答案】點數(shù)為奇數(shù)

【分析】根據(jù)對立事件的概念即可寫出答案.

【詳解】因為六面骰子的點數(shù)只有偶數(shù)點和奇數(shù)點兩種情況，

故"點數(shù)為偶數(shù)”的對立事件是：點數(shù)為奇數(shù)，

故點數(shù)為奇數(shù)

2.滿足等式比=28號的正整數(shù)?的值為.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式展開，并計算，即可得答案.

【詳解】因為氏=28^,所以2〃(2〃-1)(2〃-2)=28〃(〃-1),

即2〃—1=7,則〃=4,

故4

3.圓上有10個不同的點，以其中任意3個點為頂點，可以組成個不同的三角形.

【正確答案】120

【分析】根據(jù)圓周上任意三點不會共線，任選三點用組合數(shù)公式計算即可.

【詳解】因為三點在圓周上，所以三點是不會共線的，

所以從十個點中任選三個點即可構(gòu)成三角形，

所以可以組成不同的三角形的個數(shù)為C；°==^=120.

3x2x1

故120.

4.已知x是1,2,x,4,5這5個數(shù)的中位數(shù)，又知-1,5,-24，y這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)

x"

為3,則x+y的最小值為.

【正確答案】12

【分析】根據(jù)中位數(shù)得到24x44,根據(jù)平均數(shù)得到-24+^=8,再利用均值不等式計算得

x

到答案.

【詳解】X是1,2,X,4,5這5個數(shù)的中位數(shù)，故24xW4：

444

-1,5,一一，y這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,故一1+5--+歹=12,即―一+歹=8,

XXX

x+y=x+—+8>2.xx—+8=12,當且僅當x=2時等號成立.

xVx

故12

5.已知烏勺,與不共面，Q=q+2gB=-3,+/+2/，c=e1-e2-e3,若

d=2q—弓+3/=xa+yb+zc,貝!J1+歹一？=.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)題意，化簡得至lJxa+yB+zc=(x-3y+z)e[+(2x+y-z)/+(—x+2y-z)%，再

由

d=2e1-e2+3e3=xa+yb+zc,得出關(guān)于工，，，z的方程組，求得的值，即可求解.

【詳解】由題意，向量^?心不共面，ci=ex+2e2-e3,b=-3e1+e2+2e3,c=el-e2-e3,

則xa+yb+zc=x(e1+2/-e3)+y(-3e1+e2-i-2e3)+z(el-e2-e3)

=(x-3y+z)e[+(2x+y-z)e2+(-x+2y-z)ei

因為d=2q-e2+3%=xa+yb+zc,

x-3y+z=2

則，2x+y-z=-lf解得x=_3,y=_5,z=_10,

-x+2y-z=3

所以x+y-z=-3-5+10=2.

故答案為.2

6.已知點力(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,2),P(l,-l,0),則過點尸平行于平面48c的平面與平

面Z3C的距離為.

【正確答案】I

.Z印詞

【分析】求得平面力8C的一個法向量〃=(xj,z,由d求解

H

【詳解】解：因為點】(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,2),P(l,-l,0),

所以海=(-1,1,0),元=(-1,0,2)舒=(0,-1,0),

設(shè)平面ABC的一個法向量為〃=(x,y,z),

令x=l,得y=l,z=；,則N=(1,L；

2

所以過點P平行于平面ABC的平面與平面Z8C的距離為d=

3

44,2

故3

7.某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標的概率為

【正確答案】一##0.648

【分析】由獨立重復(fù)試驗的概率公式計算即可.

【詳解】由題意，設(shè)X表示擊中目標的次數(shù)，X?8(3,0.6),

Q1

P(X>2)=P(X=2)4-P(X=3)=C/0.62X0.4+C/0.63=0.648=—

V81

故——

125

8.已知常數(shù)機>0.在卜+的二項展開式中，一項的系數(shù)是*項的系數(shù)的4倍，則

m=>

【正確答案】g##0.5

【分析】通過展開式得出一項和二項的系數(shù)，利用等量關(guān)系建立方程，解方程組即可得出機

X

的值.

【詳解】解：由題意加>0,

在+的二項展開式中，展開式為CKx)6-[?]=am"6-2,，

當6-2廠=2即r=2時,€>“6-2,=c獷f=j5/—,

/.丁項的系數(shù)為15m2

62r4242

當6-2r=-2即，?=4時，C'6m'x-=C>%-=15mX-,

???了項的系數(shù)為前

：一項的系數(shù)是:項的系數(shù)的4倍

15加2=4x15〃/1

…解得:m=—

2

故答案為.5

9.已知三位數(shù)“命滿足:以“，b,c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形,

則有個滿足條件的三位數(shù).

【正確答案】165

【分析】利用排列組合的方法，分等邊三角形和等腰（非等邊）三角形兩類情況分類討論求

解.

【詳解】若構(gòu)成等邊三角形，則這樣的三角形的個數(shù)為〃1=9個;

若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三角形有〃2個,

由于三位數(shù)中只有兩個不同數(shù)碼，設(shè)為。力,

注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組有2C；,

但是當大數(shù)為底時，設(shè)a>6,必須滿足6<a<2b.

此時，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是:

a987654321

b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111

共20種情況，同時:每個數(shù)碼組（。,b）中的二個數(shù)碼填上三位數(shù)，有C；種情況,

故〃2=C（2C；-20）=6（C；-10）=156,

綜上"i+〃2=165,

故答案為:165.

10.已知圓錐的頂點為S,O為底面中心，A,B,C為底面圓周上不重合的三點，AB為

底面的直徑，SA=AB,〃為S4的中點.設(shè)直線與平面”8所成角為則sina的最

大值為

【正確答案】G-i

【分析】由題意建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的結(jié)論和均值不等式確定s〃以的最大

值即可.

【詳解】以的中點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)S/=48=4,

則：

M（0,-1,百）,C（xj,O）,如圖所示，由對稱性不妨設(shè)x>0）<0且/+/=4,

則研=+易知平面S/8的一個法向量為初=。,0,0）,

MC?麗_x

據(jù)此有：""何同二4+（一）2+3

=JQX_（y+4）-----+8<-74-2-73=A/3-1>

當且僅當y=20-4時等號成立,

綜上可得：si〃a的最大值為6-1.

本題主要考查空間向量及其應(yīng)用，學(xué)生的空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和

計算求解能力.

二、單選題

11.以下5個命題，其中正確的是（）

①從1,2,3,L,9九個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)，組成三位數(shù)的個數(shù)為C：；

②4封信投入3個信箱，有3,種投法；

③從a,b,c,"四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，有C；種選法：

④5個人相互通電話一次，通電話的總次數(shù)為C；次；

⑤5個人相互寫一封信，所有信的數(shù)量C；封.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【正確答案】B

【分析】根據(jù)各命題有無順序，選擇是排列還是組合問題，逐一判斷.

【詳解】①3個不同的數(shù)，組成三位數(shù)是排列問題，有順序，組成三位數(shù)的個數(shù)為A）故

①錯誤；

②4封信投入3個信箱，每封信有3種選擇，共有T種投法，故②正確；

③從a,b,c,"四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，因為是同一份工作，沒有順序，有C：

種選法正確，故③正確；

④5個人相互通電話一次，兩人通一次電話就是互通，沒有順序，通電話的總次數(shù)為C；次正

確，故④正確；

⑤5個人相互寫一封信，兩人相互寫信指各寫一封信，所有信的數(shù)量A；封，故⑤錯誤：

綜上②③④正確，有3個正確.

故選：B.

12.設(shè)4、B、C、。是空間不共面的四點，且滿足，ADAC-O>%.%=0，點M為

8c的中點，則4MD是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不能確定

【正確答案】C

【分析】由題，可得?平面后由平面/8C,可得答案.

__.UU1UU11

【詳解】由力。-NC=0，ABAD=Q>可知彳。1AC,AD1AB.

又NCu平面NBC,平面N8C,ACCiAB=A,則ZD_L平面Z8C.

因8Cu平面力8C,則陸lu平面/8C.

故即是直角三角形.

故選：C

13.為創(chuàng)建“全國文明城區(qū)“，某市隨機抽取了甲、乙兩區(qū)，派出一個考核組對這兩個區(qū)的創(chuàng)

建工作進行量化考核.量化考核過程中，在兩個區(qū)各隨機抽取20個單位量化考核成績，得

到下圖數(shù)據(jù)，以此作為依據(jù)對甲乙兩個區(qū)的工作進行分析.關(guān)于甲、乙兩個區(qū)的考核成績，

下列結(jié)論正確的是()

A.甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是80

B.甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)小于乙區(qū)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)

C.不低于80的數(shù)據(jù)個數(shù)，甲區(qū)多于乙區(qū)

D.甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是83

【正確答案】D

【分析】對于A：計算甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可判斷；對于B：分別計算兩區(qū)的眾數(shù)即可

判斷；對于C：分別計算兩區(qū)不低于80的數(shù)據(jù)個數(shù)即可判斷；對于D：計算甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)

的75%分位數(shù)即可判斷.

【詳解】對于A：甲區(qū)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

丁=(57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x6+87+88x2+89+98)+20=74.8,A錯誤;

對于B：由圖可知甲區(qū)眾數(shù)為79,乙區(qū)眾數(shù)為西羅=75,B錯誤；

對于C：因為不低于80的數(shù)據(jù)個數(shù)，甲區(qū)為5個，乙區(qū)為：(0.02+0.005)x10x20=5,C錯

誤；

對于D：因為75%x20=15,甲區(qū)的75%分位數(shù)為：當79+8~7=83,D正確.

故選：D

14.如下圖，已知四邊形43cD,ADEF,4FGH均為正方形,先將矩形ED//G沿折起,

使二面角的大小為30。，再將正方形ZF'GT/沿4尸，折起，使二面角H—4F-D

的大小為30。，則平面/F'GT/'與平面488所成的銳二面角的余弦值為()

【正確答案】B

【分析】根據(jù)射影面積法找到平面/8C。，平面/尸￡。，平面ZkGTT所成的銳二面角的

關(guān)系，進而求的結(jié)果.

【詳解】如圖，作/n/_LZ)E',G"N1DE'.

H'MVDE'"

在平面/尸內(nèi)，由>nJ■平面4尸E'Z).

DE'cAD=D

G"N1DE'

在平面/尸￡￡)內(nèi)，由NO_LGW,=631面//的。.又因為△4?！迸c

DE'2D=D'

△■F'E'N全等，

設(shè)平面力8。為平面a,平面為平面丑，平面NF'G7T為平面》

由面積射影定理知：COS仍M=:-=，邊,

?四邊形/尸'GY/'七邊形4尸'GYT

同理可得cos(a,#=阻些3,cos(a,y)=c”

S四邊形/尸￡勿S四邊形/FG7T

所以cos〈a,夕〉.cos〈夕,7)=cos〈a,7)，故有cos(a,/)=cos30°-cos30°=—.

故選：B.

射影面積法求二面角大小的方法點睛：

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可

利用射影面積公式cos6=平，求出二面角的大小.

三、解答題

15.2男3女排成一排，求：

(1)2個男生相鄰的概率；

(2)3個女生都相鄰的概率；

(3)判斷(1)和(2)中的兩個事件是否是獨立事件，并說明理由.

2

【正確答案】(1)《

⑵上

-10

(3)不是，理由見解析

【分析】(1)(2)利用“捆綁法”求解即可：

(3)利用獨立事件的乘法公式求解即可.

【詳解】(1)5個人排成一排共有A；種情況，

先把2個男生看作一個整體，共有A；種情況，

再將這個“整體”與3個女生排列，共有A：種情況，

A2A42

所以2個男生相鄰的概率尸(4)=2?=：.

(2)先把3個女生看作一個整體，共有A；種情況，

再將這個“整體”與2個男生排列，共有A；種情況，

所以3個女生相鄰的概率P(8)=+=.

A51V

(3)將2個男生看作一個整體，3個女生看作一個整體，

由此可得2個男生和3個女生都相鄰的概率Ppn8)=然"=!，

因為尸(/n8)wP(⑷P(B),所以⑴和(2)中的兩個事件不是獨立事件.

16.如圖，在四棱錐中，底面正方形/8C。的邊長為2,尸4_L底面/BCD,E為

8c的中點，PC與平面必。所成的角為arctanm.

2

(1)求處的長度;

(2)求異面直線4E與PD所成角的大小.

【正確答案】(1)2

(2)arccos^^-

10

【分析】(1)由線線垂直進而可得。_L平面尸進而是NCP。是PC與平面所成的

角，因此tanNCPD=92=2=走，求出尸￡)=2狡，由此能求出P/.

PDPD2

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線4E與PO所成角的大小.

【詳解】(1)?.?在四棱錐P-/8C。中，底面正方形/8C。的邊長為2,尸N_L底面

C￡)u底面488,CDA.PA,又CDLAD,

又.P4c4D=4,24/。<=平面產(chǎn)/。

\CD*平面PAD,

:.ZCPD是直線PC與平面PAD所成的角，

???PC與平面/MO所成的角為arctan—.

2

tanZCP￡>=—=—=—.解得PZ)=2/，

PDPD2

PA=>]PD2-AD2=7(2A/2)2-22=2?

(2)以A為原點，以方，-AD，而為正方向分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐

標系，

A0,0,0),EQ,1,0),P(0,0,2),0(0,2,。)，

AE=(2，1,0),麗=(0,2,-2),

設(shè)異面直線ZE與尸。所成角為&?！?胃

\AEPD\271b

則cos6=

\AE\-\PD\~45-y/s-10

???異面直線AE與PD所成角的大小0=arccos典.

17.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表.

工人編號工人編號工人編號工人編號

年齡年齡年齡年齡

A.4036S.27AB.34

B.44K.31T.43AC.39

C.40L.38IL41AD.43

D.41M.39匕37AE.38

￡.33N.4334AF.42

F.40O.45X.42AG.53

G.45P.39E37AH.37

H.42Q.38Z.44AL49

/.43R.3644.42AJ.39

(1)計算按隨機抽樣法抽取到樣本44,40,36,43,36,37,44,43,37樣本的平均值x和

方差52;

(2)36名工人中年齡在于-s與元+s之間有多少人？所占的百分比足多少(精確到0.01%)?

【正確答案】(1)平均值x為40,方差『為與

(2)在f-s和H+s之間的人數(shù)有23人,所占的百分比為63.89%

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解；

(2)利用頻率公式求解.

-44+40+36+43+36+37+44+43+37“八

［詳解1(1)x=-----------------------------------=40,

9

s1=1［(44-40)2+(40-40)2+?.+R3-40j+07-40?！共?/p>

(2)因為S2=與，所以5=與43,4),

所以36名工人中年齡在畫-s和于+s之間的人數(shù)等于在區(qū)間［37,43］內(nèi)的人數(shù),

即40,40,41,…,39,共23人，

23

所以36名工人中年齡再亍-s和三+s之間的人數(shù)所占的百分比為7T“63.89%.

18.如圖，已知直三棱柱/8C-4耳G中，CA=CB=CC、=2,CA1CB,分別是48

、山、網(wǎng)的中點，點尸在直線64上運動，且盤尸=撫％,(北［0,1］)

(1)證明：無論2取何值，總有8J_平面尸EF；

(2)是否存在點P,使得平面PE”與平面Z8C的夾角為60。？若存在，試確定點尸的位置,

若不存在，請說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

7-3A/5

(2)存在,位置滿足qp=

2

【分析】（1）以C為坐標原點，C/、C8、CG所在的直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直

角坐標系，計算麗.麗，麗.而可得證；

（2）假設(shè)存在，由空間向量法求二面角可得.

【詳解】（1）證明：如圖，以C為坐標原點，以、。8、。6所在的直線分別為》軸、y軸、2軸

建立空間直角坐標系，C（0,0,0）,G（0,0,2）,4（2,0,2）,"（0,2,1）,￡（1,1,0）,尸（0,1,0）

由于=2Q4="（2,0,0）=（22,0,0）,可得P（22,0,2）,

所以麗=（1-241,-2）,即=（一241,-2）,又麗=（0,2,1）

所以麗.而=0+2-2=0，CH-PF=0+2-2=Q，

所以C4LPE,CHLPF,.又PERPF=P,平面尸，

所以CHL平面PEF,

所以無論2取何值，總有C”,平面PEF.

（2）解：設(shè)7=（醐/）是平面PE4的法向量麗=（-1,1,1）,

n-EH=0-x+y+z=0

則__.即八。八，記

n-PE=0[[\-2A）x+y-2、z=Q

令x=3,所以1=（3,1+2九2-22）是平面PEa的一個法向量,

取平面ABC的一個法向量為m=（0,0,1）

I--Itn-n

假設(shè)存在符合條件的點尸，則|COS<；M,”>|=百而\2-2A\

\m\\n\^9+(1+2^)2+(2-22)22

化簡得4萬-14；1+1=0，解得胃J二③嶼或4=7+3”(舍去).

44

綜上，存在點P,且當0叵時，滿足平面PE"與平面/8C的夾角為60。.

'2

19.將連續(xù)正整數(shù)1,2,3,L,〃(〃eZ+)從小到大排列構(gòu)成一個123…〃，尸(〃)為這個數(shù)

的位數(shù).例如：當〃=12時，此時為123456789101112,共有15個數(shù)字，則尸(12)=15.現(xiàn)

從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，尸(〃)為恰好取到0的概率.

⑴求尸(100):

(2)當“W2023時,求尸⑻得表達式;

(3)令g(〃)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，/(〃)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，〃(〃)=/(")-g(〃),

5={M|A(/?)=l,n<100,neZ*},求當時，P(")的最大值.

【正確答案】(1)工

77,1</?<9

2/7-9,10</?<9

⑵尸(〃)=，

3/7-108,100</?<999

4/?-1107,1000</?<2023

【分析】(1)計算F(100)=9+90X2+3=192,數(shù)字。的個數(shù)為11,得到概率.

(2)考慮1W〃W9,104〃499,1004〃4999,10004”42023四種情況，依次計算得到

答案.

(3)考慮〃=b(l<649,6eN")時，當"=10左+604左M9,0Mb49,%eN*,6eN*)時，當

〃=100時三種情況，得到g(〃)和/(")的解析式,得到5={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},

再計算概率的最值得到答案.

【詳解】(1)當"=100時，尸(100)=9+90x2+3=192,

即這個數(shù)中共有192個數(shù)字，其中數(shù)字0的個數(shù)為11,

則恰好取到0的概率為P(IOO)=需；

(2)當1W〃W9時，這個數(shù)