福建省福州市八縣(市、區(qū))一中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

2022～2023學(xué)年第一學(xué)期高二八縣(市)期考聯(lián)考高中二年數(shù)學(xué)科試卷命題學(xué)校：長(zhǎng)樂一中命題教師：高二集備組審核教師：高二集備組考試日期：月日完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1.已知空間向量，，且，則x=()A.1 B.-13 C.13 D.-52.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.3.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8，則C的方程為()A. B. C. D.4.若一圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為()A. B. C.5 D.35.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A.1240 B.1550 C.1860 D.21706.如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，E為PC的中點(diǎn)，則線段PA上的動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離的最小值為()A. B. C. D.7.已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.8.初中時(shí)通常把反比例函數(shù)的圖像叫做雙曲線，它的圖像就是在圓錐曲線定義下的雙曲線，只是因?yàn)樽鴺?biāo)系位置的不同，所以方程的形式才不同，當(dāng)K>0時(shí)只需把反比例函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，便得到焦點(diǎn)在x軸的雙曲線的圖形.所以也可以理解反比例函數(shù)的圖像是以x軸，y軸為漸近線，以直線y=x為實(shí)軸的等軸雙曲線，那么當(dāng)k=4時(shí)，雙曲線的焦距為()A8 B.4 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．)9.正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a，高為h，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，AB與平面BCD所成角為，二面角A-BD-C的大小為，則()A B. C. D.10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，公差，則()A. B. C.有最大值 D.11.已知拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若是線段AB的中點(diǎn)，則()A. B. C.直線的方程為 D.12.在數(shù)列中，若為常數(shù))，則稱為“平方等差數(shù)列”.下列對(duì)“平方等差數(shù)列”的判斷，其中正確的為()A.是平方等差數(shù)列B.若是平方等差數(shù)列，則是等差數(shù)列C.若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))也是平方等差數(shù)列D.若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))也是平方等差數(shù)列第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.在等差數(shù)列中，若，，則______14.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________15.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)蛇形三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，記第行第個(gè)數(shù)為，如，若，則_____.16.如圖，已知一酒杯的內(nèi)壁是由拋物線旋轉(zhuǎn)形成的拋物面，當(dāng)放入一個(gè)半徑為1的玻璃球時(shí)，玻璃球可碰到酒杯底部的A點(diǎn)，當(dāng)放入一個(gè)半徑為2的玻璃球時(shí)，玻璃球不能碰到酒杯底部的A點(diǎn)，則p的取值范圍為______.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．(共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)17.在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線x-y+3=0上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)為等比數(shù)列，且，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.18.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、.(1)求所在直線方程；(2)求平行四邊形的面積.19.如圖，點(diǎn)A(-2，1)，B，C三點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為F，且F是的重心.(1)求拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段BC的長(zhǎng).20.如圖，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱錐，使得.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面距離.21.已知數(shù)列滿足：(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱中底面長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)，為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，，P為的中點(diǎn)，MN為過點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦(不與AB重合).(1)求證：平面PMN(2)求三棱錐的體積的最大值.2022～2023學(xué)年第一學(xué)期高二八縣(市)期考聯(lián)考高中二年數(shù)學(xué)科試卷命題學(xué)校：長(zhǎng)樂一中命題教師：高二集備組審核教師：高二集備組考試日期：月日完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1.已知空間向量，，且，則x=()A.1 B.-13 C.13 D.-5【答案】B【解析】【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，解得，故選：B.2.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由斜率與傾斜角，方向向量關(guān)系求解【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，故選：B.3.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8，則C的方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓的定義知的周長(zhǎng)為，結(jié)合已知條件求出，再由離心率求出，進(jìn)而求出，從而得出答案.【詳解】依題意的周長(zhǎng)為，.則C的方程為.故選:D4.若一圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為()A. B. C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為，且，代入點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則設(shè)圓心為，，，所以設(shè)圓的方程為且，則圓心到直線的距離為.故選：A5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A.1240 B.1550 C.1860 D.2170【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得成等差數(shù)列，即可求得的值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等差數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.6.如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，E為PC的中點(diǎn)，則線段PA上的動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求向量在上的投影的大小，再求點(diǎn)M到直線BE的距離，由此可求其最小值.方法二：證明為異面直線的公垂線段，由此可求動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離的最小值.【詳解】連接，記直線的交點(diǎn)為，由已知平面，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，所以，則，所以，，，設(shè)，則，所以在上的投影向量的模為，又，所以動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離最小，最小值為，故選：D.方法二：因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，由已知，所以，所以，所以為異面直線，的公垂線段，所以的長(zhǎng)為動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離最小值，所以動(dòng)點(diǎn)M到直線BE的距離最小值為，故選：D.7.已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，求得，設(shè)設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，利用勾股定理可求得，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】易知點(diǎn)或，所以，，即，將代入拋物線方程可得，則，設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，因?yàn)檩S，則，由橢圓的定義可得，所以，橢圓的離心率為.故選：C.8.初中時(shí)通常把反比例函數(shù)的圖像叫做雙曲線，它的圖像就是在圓錐曲線定義下的雙曲線，只是因?yàn)樽鴺?biāo)系位置的不同，所以方程的形式才不同，當(dāng)K>0時(shí)只需把反比例函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，便得到焦點(diǎn)在x軸的雙曲線的圖形.所以也可以理解反比例函數(shù)的圖像是以x軸，y軸為漸近線，以直線y=x為實(shí)軸的等軸雙曲線，那么當(dāng)k=4時(shí)，雙曲線的焦距為()A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合所給信息，可得旋轉(zhuǎn)后，雙曲線變?yōu)榈容S雙曲線，再由繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得坐標(biāo)在等軸雙曲線上可得等軸雙曲線方程.【詳解】由所給信息，可知旋轉(zhuǎn)后雙曲線以兩條相互垂直的直線作為漸近線，則雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)為.又注意到在函數(shù)圖像上，其與原點(diǎn)連線與x正半軸夾角為，則將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，該點(diǎn)落在x正半軸，設(shè)為，因旋轉(zhuǎn)前后到原點(diǎn)距離不變，則.即將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，可得，則滿足.可得雙曲線方程為，則，則焦距為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．)9.正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a，高為h，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，AB與平面BCD所成角為，二面角A-BD-C的大小為，則()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)結(jié)合外接球、內(nèi)切球的性質(zhì)以及線面、面面夾角逐項(xiàng)分析運(yùn)算.【詳解】取的中點(diǎn)，的中心，連接，對(duì)A：∵為正四面體，則平面，故外接球的球心(也為內(nèi)切球的球心)在上，則，A正確；對(duì)B：∵平面，平面，∴，故，即，解得，故，則，B錯(cuò)誤；對(duì)C：由平面，可得AB與平面BCD所成角為，故，C正確；對(duì)D：∵為的中點(diǎn)，且，則，故二面角A-BD-C的大小為，在中，則，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，公差，則()A. B. C.有最大值 D.【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，，，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】因?yàn)闈M足，公差，所以，，且，即.對(duì)選項(xiàng)A，，即，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以，，所以?dāng)或時(shí)，有最大值.故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，取得最大值，所以，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若是線段AB的中點(diǎn)，則()A. B. C.直線的方程為 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可判斷B；利用點(diǎn)差法求解得直線斜率，從而可判斷C；由點(diǎn)在直線上可求得m，可判斷A；利用弦長(zhǎng)公式可判斷D.【詳解】由題知，，故拋物線方程為.設(shè)，易知，則，由點(diǎn)差法可得又是線段AB中點(diǎn)，所以，所以直線l的斜率因?yàn)橹本€l過焦點(diǎn)，所以l的方程為，即對(duì)于A：將代入可得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：B正確；對(duì)于C：C正確；對(duì)于D：將代入得，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.在數(shù)列中，若為常數(shù))，則稱為“平方等差數(shù)列”.下列對(duì)“平方等差數(shù)列”的判斷，其中正確的為()A.是平方等差數(shù)列B.若是平方等差數(shù)列，則是等差數(shù)列C.若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))也是平方等差數(shù)列D.若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))也是平方等差數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合平方等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，所以，即不符合平方等差數(shù)列的定義，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故正確；對(duì)于C，若是平方等差數(shù)列，則為常數(shù))，則，即，當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，，則為平方等差數(shù)列，當(dāng)不為等差數(shù)列時(shí)，則不為平方等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭瞧椒降炔顢?shù)列，所以，把以上的等式相加，得，，則，即數(shù)列是平方等差數(shù)列，故正確；故選:BD第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.在等差數(shù)列中，若，，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知先求公差，然后由通項(xiàng)公式可得.【詳解】記等差數(shù)列的公差為，則有又，所以，解得所以故答案為：14.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，代入解得，所以雙曲線的方程為.故答案為：15.將全體正奇數(shù)排成一個(gè)蛇形三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，記第行第個(gè)數(shù)為，如，若，則_____.【答案】69【解析】【分析】觀察數(shù)陣的排列規(guī)律，先確定在數(shù)陣中的行的值，再確定在該行的項(xiàng)數(shù)，由此可求.【詳解】觀察可得數(shù)陣的第行排個(gè)數(shù)，從第3行起，奇數(shù)行的數(shù)從左至右排列為公差為-2的等差數(shù)列，偶數(shù)行的數(shù)從左至右排列為公差為2的等差數(shù)列，將數(shù)陣中的所有數(shù)從小到大排列記為數(shù)列，則，令，可得，因?yàn)?023在數(shù)陣的第行，所以，，所以，，所以，所以2023排在第45行，前45行共排了個(gè)數(shù)，即1035個(gè)數(shù)，所以第45最大數(shù)為，將第45行的數(shù)從左至右排列記為，則，所以，即，因?yàn)?023為數(shù)列的第項(xiàng)，故，所以，故.故答案為：69.16.如圖，已知一酒杯的內(nèi)壁是由拋物線旋轉(zhuǎn)形成的拋物面，當(dāng)放入一個(gè)半徑為1的玻璃球時(shí)，玻璃球可碰到酒杯底部的A點(diǎn)，當(dāng)放入一個(gè)半徑為2的玻璃球時(shí)，玻璃球不能碰到酒杯底部的A點(diǎn)，則p的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得：圓與只有一個(gè)交點(diǎn)，圓與只有兩個(gè)交點(diǎn)，分別聯(lián)立方程分析運(yùn)算.【詳解】如圖，由題意可得：圓與只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去x得，解得或，故，則，圓與只有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去x得，∵，可得若有根，則兩根同號(hào)，根據(jù)題意可知：有且僅有一個(gè)正根，故，則可得，解得，綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理實(shí)際問題時(shí)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)，這樣交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)，利用方程或函數(shù)的知識(shí)分析求解.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．(共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)17.在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線x-y+3=0上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)為等比數(shù)列，且，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由條件根據(jù)等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)；(2)由條件求數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，因?yàn)椋?，故，所以；【小?詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由(1)知，所以，所以，所以.,18.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分析可知，則，可求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；(2)求出直線的方程，可計(jì)算得出點(diǎn)到直線的距離，并求出，再利用平行四邊形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，則，所以，直線的方程為，即.【小問2詳解】解：直線的方程為，即，且，點(diǎn)到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為.19.如圖，點(diǎn)A(-2，1)，B，C三點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為F，且F是的重心.(1)求拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段BC的長(zhǎng).【答案】(1)拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)，【解析】【分析】(1)由點(diǎn)A在拋物線上可得拋物線方程，后可得焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)BC直線方程為，將其與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)公式可得答案.【小問1詳解】因在拋物線上，則.則拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】設(shè)BC線段所在直線方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，由題.設(shè)，則由韋達(dá)定理.因F是的重心，則，則BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，.又M在直線上，則，故.則.20.如圖，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱錐，使得.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)到平面的距離為.【解析】【分析】(1)先證明平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和，再由距離公式求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，故，又，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在等腰梯形ABCD中，，所以，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?詳解】由(1)平面，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，