向量的數(shù)量積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

第6章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積課程目標(biāo)

1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，了解投影向量并會求投影向量，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3．體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。一、平面向量數(shù)量積的物理背景力所做的功的計算★如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力的方

向與位移的方向的夾角為θ，則力F所做的功為

其中

是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

【1】功W是一個數(shù)量，既涉及長度又涉及角度，且只與這兩個量有關(guān)；【2】當(dāng)0≤θ＜90°時，W＞0；當(dāng)θ=90°時，力的方向和位移的方向互相

垂直，W=0，力F不做功；當(dāng)90°＜θ≤180°時，W＜0，既力F做負(fù)功.二、向量的夾角OABOAB已知兩個非零向量

和，作，，則叫做向量和的夾角．OABOAB找向量夾角，要保證兩向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)O（1）根據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量夾角是將兩個向量的

起點(diǎn)移到同一起點(diǎn)（或同一終點(diǎn)），這樣兩向量所成的角才是這兩個向量的夾角

例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA與AB的夾角，∠BAD才是CA與AB的夾

角.其中AD是CA平移所得.（找向量夾角，要保證兩向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)）（2）向量與之間的夾角θ的取值范圍是[0，π]，這與兩直線夾角的范圍

是不一樣的(向量有方向)，注意從定義上理解.

（4）向量與的夾角也可以表示為

注意：（3）三、平面向量數(shù)量積的概念平面向量數(shù)量積的定義【規(guī)定】零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）向量的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，但兩個向量的數(shù)量積卻是一個數(shù)量，而不是向量，其

大小與兩個向量的長度以及夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值決定.（1）在書寫數(shù)量積時，與之間用實心圓點(diǎn)“·”連接，不能寫成“×”,更不能不寫.

（3）設(shè)兩個非零向量之間的夾角為θ，則當(dāng)θ=0°時，；當(dāng)θ為銳

角時，；當(dāng)θ為直角時，；當(dāng)θ為鈍角

時，;當(dāng)θ=180°時，

思考：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負(fù)？當(dāng)0°≤θ＜

90°時為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時為負(fù)。當(dāng)θ=90°時為零。數(shù)量積符號由cos

的符號所決定①兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，

其結(jié)果是數(shù)量(而不是向量)，可以為正，可以為負(fù)，也可以為零.②前面學(xué)習(xí)的向量的加法、減法和數(shù)乘，其結(jié)果全都是向量，但兩個向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量③我們規(guī)定了與任意向量的數(shù)量積為0，但由=0，不能推出或

一定是零向量，這是因為兩個向量垂直時，其夾角為90°，此時，

故也有=0

.

④要注意=0，但0

注意：例1：例2：練習(xí)常用知識點(diǎn)四、投影及投影向量

如圖①，設(shè)和是兩個非零向量，AB=，CD=，我們考慮如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1、B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量

上的投影向量.

如圖②，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM=，ON=.過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量在向量上的投影向量.

當(dāng)θ為銳角或0度時，投影的數(shù)量為正值；當(dāng)θ為鈍角或180度時，投影的數(shù)量為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時，投影的數(shù)量為0；（1）投影的數(shù)量由此可得數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在的方向上的投影的數(shù)量的乘積。（2）投影向量思考：例3、如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點(diǎn)．E五、數(shù)量積的性質(zhì)六、數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個向量，注：例4：例5：

向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項式的乘法運(yùn)算．例題講解例6：

求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用

，勿忘記開方．(2)

，可以實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．課堂練習(xí)1、判斷下列各題是否正確(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)2、如圖,邊長為1的等邊三角形ABC中,求：

ABC方法總結(jié)：

【解