變化率問題課件高二上學期數(shù)學人教A版(2019)選擇性

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用

為了描述現(xiàn)實世界中的運動、變化現(xiàn)象,在數(shù)學中引入了函數(shù),刻畫靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫動態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學中非常重要的概念.在對函數(shù)的深入研究中,數(shù)學家創(chuàng)立了微積分,這是具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數(shù)學史上的里程碑.

微積分的創(chuàng)立與處理四類科學問題直接相關.一是已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時間的函數(shù)，求速度與路程;二是求曲線的切線;三是求函數(shù)的最大值與最小值;四是求長度、面積、體積和重心等.歷史上科學家們對這些問題的興趣和研究經(jīng)久不衰,終于在17世紀中葉，牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨立地創(chuàng)立了微積分.

導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念,蘊含著微積分的基本思想;導數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化,是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等性質(zhì)的基本方法，因而也是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具.

在本章，我們將通過豐富的實際背景和具體實例,

學習導數(shù)的概念和導數(shù)的基本運算，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想,感悟極限的思想.通過具體實例感受導數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用,體會導數(shù)的意義.5.1導數(shù)的概念及其意義

在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)單調(diào)性等知識定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對數(shù)增長”是越來越慢的，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多.進一步地,能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢?下面我們就來研究這個問題.5.1.1變化率問題一、探究新知問題1

高臺跳水遠動員的速度

直覺告訴我們，運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動得越來越慢，在下降階段運動得越來越快.我們可以把整個運動時間段分成許多小段，用運動員在每段時間內(nèi)的平均速度v近似地描述他的運動狀態(tài).

在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關系

h(t)=-4.9t2+4.8t＋11.如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢?例如,在0≤t≤0.5這段時間里,

在1≤t≤2這段時間里,一般地,在t1≤t≤t2這段時間里,一、探究新知

計算運動員在0≤t≤

這段時間里的平均速度，你發(fā)現(xiàn)了什么?你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?

為了精確刻畫運動員運動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念．我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

我們發(fā)現(xiàn)，運動員在0≤t≤

這段時間里的平均速度為0.顯然，在這段時間內(nèi)，運動員并不處于靜止狀態(tài).因此，用平均速度不能準確反映運動員在這一時間段里的運動狀態(tài).一、探究新知

瞬時速度與平均速度有什么關系?你能利用這種關系求運動員在t=1s時的瞬時速度嗎?

設運動員在t0時刻附近某一時間段內(nèi)的平均速度是

,可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度,那么

將越來越趨近于運動員在t0時刻的瞬時速度.

用運動變化的觀點研究問題是微積分的重要思想.

為了求運動員在t=1時的瞬時速度,我們在t=1之后或之前，任意取一個時刻1+△t，△t是時間改變量,可以是正值,也可以是負值,但不為0.當△t>0時,1+△t在1之后;當△t<0時,1+△t在1之前.當△t>0時,把運動員在時間段[1，1+△t]內(nèi)近似看成做勻速直線運動,計算時間段[1，1+△t]內(nèi)的平均速度

,用平均速度

近似表示運動員在t=1時的瞬時速度．當△t<0時,在時間段[1+△1，1]內(nèi)可作類似處理.為了提高近似表示的精確度,我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格.一、探究新知△t<0時,在時間段[1+△t,1]內(nèi)△t>0時,在時間段[1,1+△t]內(nèi)△t△t-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5.0000049…………二、瞬時速度與極限

給出△t更多的值，利用計算工具計算對應的平均速度

的值.當△t無限趨近于0時,平均速度

有什么變化趨勢?

我們發(fā)現(xiàn)，當△t無限趨近于0，即無論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時,平均速度

都無限趨近于-5.

事實上，由

可以發(fā)現(xiàn),當△t無限趨近于0時，-4.9△t也無限趨近于0，所以

無限趨近于-5．這與前面得到的結(jié)論一致.

數(shù)學中，我們把-5叫做“當△t無限趨近于0時,

的極限”,記為

從物理的角度看，當時間間隔|△t|無限趨近于0時，平均速度

就無限趨近于t=1時的瞬時速度.因此，運動員在t=1s時的瞬時速度v(1)=-5m/s.三、探究新知問題2

拋物線的切線的斜率

我們知道，如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢?下面我們以拋物線f(x)=x2為例進行研究.

你認為應該如何定義拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線?

與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線，我們通常在點P0(1，1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f(x)=x2的割線P0P的變化情況.

如圖，當點P(x，x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點P0(1，1)時，割線P0P有什么變化趨勢?

我們發(fā)現(xiàn)，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為拋物線f(x)=x2在點P(1，1)處的切線.三、探究新知

我們知道，斜率是確定直線的一個要素.

如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線P0T的斜率k0呢?

從上述切線的定義可見,拋物線f(x)=x2在點P0(1，1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.

記△x=x-1,則點P的坐標是(1＋△x，(1+△x)2)．于是,割線P0P的斜率

△x可以是正值,也可以是負值,但不為0.

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|△x|來提高近似表示的精確度,得到如下表格.三、探究新知△x<0△x>0△xk=△x+2△xk=△x+2-0.011.990.012.01-0.0011.9990.0012.001-0.00011.99990.00012.0001-0.000011.999990.000012.00001-0.0000011.9999990.0000012.000001…………三、探究新知

利用計算工具計算更多割線P0P的斜率k的值，當△x無限趨近于0時，割線P0P的斜率k有什么變化趨勢?

我們發(fā)現(xiàn),當△x無限趨近于0時，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時,割線P0P的斜率k都無限趨近于2.

事實上，由

可以直接看出,當△x無限趨近于0時，△x+2無限趨近于2.

我們把2叫做“當△x無限趨近于0時,

的極限”,記為

從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|△x|無限變小時，點P無限趨近于點P0,于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T.

這時,割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線PT的斜率k0．因此,切線P0T的斜率k0=2.四、切線的斜率與極限

觀察問題1中的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，平均速度的幾何意義是什么?瞬時速度v(1)呢?四、切線的斜率與極限五、典型例題例1

已知物體自由落體的運動方程為s=gt2.求:

(