函數(shù)的單調(diào)性第二課時(shí)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

函數(shù)的單調(diào)性

（第二課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用復(fù)習(xí)回顧一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

注意

在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)=0恒成立

，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上無(wú)單調(diào).

新課引入判斷函數(shù)的單調(diào)性觀察函數(shù)的圖象函數(shù)單調(diào)性的定義利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問(wèn)題1如何探究函數(shù)的單調(diào)性？問(wèn)題2如何利用導(dǎo)數(shù)研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數(shù)的單調(diào)性？問(wèn)題2：如何利用導(dǎo)數(shù)研究形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函數(shù)的單調(diào)性？原函數(shù)定義域?qū)Ш瘮?shù)求導(dǎo)運(yùn)算導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)原函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性：例3解：x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,－∞)f′(x)f(x)xyO-11?2?和把函數(shù)定義域劃分成三個(gè)區(qū)間，在各個(gè)區(qū)間的正負(fù)，以及的單調(diào)性如表所示：追問(wèn)1對(duì)于且，有函數(shù)的定義域?yàn)?……解：（定義法）追問(wèn)2

相較于利用函數(shù)單調(diào)性定義的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)單調(diào)性有何優(yōu)勢(shì)？不熟悉的、復(fù)雜的函數(shù)熟悉的、簡(jiǎn)單的函數(shù)轉(zhuǎn)化如果不用導(dǎo)數(shù)的方法，直接運(yùn)用單調(diào)性的定義，你如何求解本題？運(yùn)算過(guò)程麻煩嗎？你有什么體會(huì)？方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的一般步驟：第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第1步，確定函數(shù)f(x)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的優(yōu)勢(shì)：不熟悉的、復(fù)雜的函數(shù)熟悉的、簡(jiǎn)單的函數(shù)轉(zhuǎn)化當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間:解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO-1?1?課本P891.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間:解：x1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO?1?課本P89證明：課本P89問(wèn)題1：能否探究函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？問(wèn)題1：能否探究函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？探究研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(0,＋∞)上增長(zhǎng)快慢的情況.xyO1?(1)xyO(2)結(jié)論生成

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上：

如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”；反之，如果導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上變化得較快，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”.追問(wèn)：如何理解函數(shù)y=f(x)增減的快慢與函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值有關(guān)？一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快，這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.f′(x)例4xyO1?解：3.函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，試畫出函數(shù)y=f(x)圖象的大致形狀.xyOabedc解：xyOabedcf′(x)f(x)總結(jié)：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：注意：此關(guān)系常常用于已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)反之1.用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性：2.利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍解法：當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

【練習(xí)1】已知函數(shù)

f(x)＝mx3－2x2（m∈R）.

若函數(shù)

g(x)＝f(x)－mx2在[1,3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

解：由題意得，g(x)＝mx3－(m＋2)x2，則

g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x，

由

g(x)在區(qū)間

[1,3]上是增函數(shù)，得

g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x

≥0對(duì)于1≤x≤3恒成立，所以

m(3x－2)≥4，因?yàn)?x－2＞0，所以m≥，

記

h(x)＝

，則

m≥h(x)max，而函數(shù)

h(x)在

[1,3]上為減函數(shù)，

則

h(x)max＝h(1)＝4，所以

m≥4，故實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

[4,＋∞).3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：f

′(x)＝3x2＋a.∵f

(x)在(1,＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，∴3x2＋a≥0對(duì)x∈(1,＋∞)恒成立，即a≥－3x2對(duì)x∈(1,＋∞)恒成立.又當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí)，－3x2<－3，∴a≥－3.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,＋∞)鞏固訓(xùn)練43.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題：練習(xí)：1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)=0,若當(dāng)x>0時(shí)，xf'(x)+f(x)>0,則不等式xf(x)>0的解集是

.例5已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<－xf'(x),則不等式f(x+1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A.(0,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(1,+∞)2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對(duì)?x∈R,都有2f(x)+xf'(x)<2成立，則使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.{x|x≠±1}B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)B構(gòu)造：令g(x)=xf(x)構(gòu)造：令g(x)=xf(x)構(gòu)造：令g(x)=x2f(x)-x2C(－∞,－2)∪(2,+