2023-2024學(xué)年廣東高一年級(jí)下冊開學(xué)限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東高一下冊開學(xué)限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

第一部分選擇題(共60分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.命題“三》€(wěn)>^,11?之1,,的否定是()

A.3xeN,Inx<1B,VXeN,Inx<1

C.VxeN,lnx>lD.VxeN,Inx<1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.

【詳解】命題“HxeN,hixN1”的否定是:“VxeN,hix<1”.

故選：B.

2.已知/=f-2x,則/(x)=()

2222

A.xB.x-lC.x+lD.X+2

【正確答案】B

【分析】利用湊配法求得了(x)的解析式.

【詳解】由于/(x—l)=》2—2x=(x—I)?—1,

所以f(x)=x2-l.

故選：B

3.已知集合1=1^―>1>,B=|X|X2-14X+45>01,則4U(a8)=()

A.(3,5]B.[5,8)C.(3,9]D.(5,8)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法求出兩集合，再根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義即

可得解.

【詳解】由工>1，解得3<x<8,所以/nlxSAllnkBvxvg},

8-x[8-xJ11?

S=|x|x2-14x+45>o1={x|x>9或x<5},

則48=354》49},

所以ZU(a8)=(3,9].

故選：C.

4.2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予在量子領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的法國、美國、奧地利科學(xué)家，我國于

2021年成功研制出目前國際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之號(hào)”，操控

的超導(dǎo)量子比特為66個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|0>,|1>“2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量

子比特共有“|00>,|01>,|10>>|11>-4種疊加態(tài),3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|000>,|001>,

|010>,|100〉，種疊加態(tài)，…，只要增加1個(gè)超導(dǎo)

量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級(jí)增長.設(shè)66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N種疊加態(tài)，則N

是一個(gè)()位的數(shù).(參考數(shù)據(jù)：修2B0.3010)

A.19B.20C.66D.67

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意可得〃個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)幾個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2"種疊加態(tài)，

所以當(dāng)有66個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N=266種疊加態(tài).

兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得，lgN=lg2m=661g2266x0.3010=19.866,

所以N=1()19866=100.866x1019,由于1=1()。<]。。.<同=](),即10、<N<1()20,

故N是一個(gè)20位的數(shù).

故選：B.

5.己知/&)=三彳，記/(2)+/(3)+…+/(2023)=〃?，

巾+嗎)+…+/

'|一--|=H,則加+〃=()

V2023)

A.-2023B.2023C.-2022D.2022

【正確答案】C

求出+)即可.

【分析】根據(jù)題中所求,

【詳解】當(dāng)xN2時(shí)，

，+2

仆)+/(外篝Yx+21+2x—x+1

—=------+--------=--------=-1,

八一一1

X

Q+/Q卜…+/[2023)一I的?—2022,

則/(2)+/(3)+…+/(2023)+/

所以7+n=-2022.

故選：C.

6.己知tan(:—a),tan(：+a]是關(guān)于X的方程/,—依+左2,一1上3=。的兩個(gè)實(shí)根，

3

—7t<a<3TT,則sina+cosa=()

4

A.交B.巫C.一eD.一逅

2222

【正確答案】D

、1

tan—+a=-----二----------

【分析】利用誘導(dǎo)公式得到(4),T\1，再由韋達(dá)定理求出左的值，從而

/tan-a

14)

求出tan(a-?)，即可求出tana,求出(sina

+cosa)2的值，即可得解.

(71)兀(兀)]

■、”不■?-1,tan—Fci—tan——ct—

【詳解】因?yàn)?4J|_2(4)(71),

tanQ-aJ

71，tan(27t+a］是關(guān)于x的方程——云+小一12=0的兩個(gè)實(shí)根,

又tan~~a

43

71.71_13

所以tanI：-a1+tan一+a=%,tana卜an仁+a2

4)-T

所以k2一12=1,解得左=±述,

33

473473

3或

因?yàn)閁7t<a<37t,所以*兀<a—工<,

4244

/、(吟14百

所以tan<-1,貝!]I4J(后3

14)、7tanI?——I

解得tan(a-?)=-x/§■或tan(a-E)=-半(舍去),

n

tana—tan一

即-----------￡6即tana-l=一百,解得tana=2-6,

1+tanatan—兀1+tana

4

所以(sina+cosa)2=l+2sinacosa

(一百)

2sinacosa2tanor+22_3

sin?a+cos?atan%+l(2-荷+13

土國

所以sina+cosa

2

n

又sina+cosaV2sinla+一且口兀<0<3兀，

44

n

所以3兀<。+工<”四，所以sina+cosa=J^sina+——<0,

444

所以sina+cosa=-----

2

故選：D

7.己知函數(shù)〃x)>0,若對(duì)定義域內(nèi)任意為、/，/(x)均滿足

［/(西)?/(》2七玉)，則稱/(X)為幾何函數(shù)，下列選項(xiàng)中不是幾何函數(shù)的是

()

A.f(x)=x2(x>0)B./(x)=lgx,xe(l,+oo)

C./(x)=e*D./(x)=tanx,xe(。仁)

【正確答案】D

【分析】利用基本不等式可判斷AB選項(xiàng)，利用指數(shù)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)，利用特殊值法可判

斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)任意的為、％e(0,+8),

由基本不等式可得［/(西)?/.(%)］；=(x1￥)；=x/2<(也手Y三、，

當(dāng)且僅當(dāng)X|=》2時(shí)，等號(hào)成立，即/(x)=x2(x>0)為幾何函數(shù)；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的X］、X26(1,+OO),Igx,>0,lgx2>0,

由基本不等式可得［/(再>/(匕)j=底砧W度"毀=；ig(X/2)=lgJM

Vig詈=/(號(hào))，

當(dāng)且僅當(dāng)玉=々時(shí)，兩個(gè)等號(hào)成立，所以，/(X)=lgX,XG(l,+00)為幾何函數(shù)；

11占+-2/r?r\

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的x-zeR，［/(x)〃X2)［5=("e，2We2=f,

7

即〃x)=e'為幾何函數(shù);

/、tanx+tanx.

對(duì)于D選項(xiàng)，由兩角和的正切公式可得tan(否+x,)--——}!~~j

1-tanX]tanx2

itanx,+tanx,

所以，tanx「tanx2=l-^~^-----f,

tan(玉+%2)

j[I7T

n7if(x)-/(x)=tan--tan—=1-tan—4-tan

W取r7玉=W，*2=H'則nil八1"'〃743I4

作出函數(shù)/（》）=1211%》€(wěn)（0,5）的圖象如下圖所示：

又tan*。，所以，/（再）共2）>“后受」，即卜（再"仇）/>/（宥

所以函數(shù)/（x）=tanx,xw10,a）不是幾何函數(shù).

故選：D.

易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則

這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

8.將函數(shù)N=sinx的圖象向右平移一兀個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的1上（。>0）得

6CD

到函數(shù)y=/（x）的圖象.若y=/（x）在0,y上的最大值為則口的取值個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

TT

【分析】利用函數(shù)圖象的平移與伸縮變換求得/（X）的解析式，再由X的范圍求得5--的

6

范圍，結(jié)合y=/（x）在0,5上的最大值為吆，分類求解得答案.

【詳解】將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移看個(gè)單位長度，可得歹=sin（x-t）的圖象.

再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,（o>0）得到函數(shù)V="X）=sin（ox-4的圖象，

CO\6；

八兀1ze兀兀兀兀

由?XW0,—上，CDX——€——,—69——，

L3J6636J

當(dāng)三0-分三，即⑦22時(shí)，則？=1,求得3=5,

3625

當(dāng)即0</<2時(shí)，由題意可得=

3626y5

作出函數(shù)^=0吊（3工一?］與歹='的圖象如圖：

136；5

X

與y的圖象在xe(0,2)上有唯一交點(diǎn),

5

則$布仁/一e)=￡有唯一解,

綜上，。的取值個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

本題考查夕=Nsin(ox+G)型的函數(shù)圖象的變換，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)形結(jié)合

的解題思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，屬難題.

二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，未選或有選錯(cuò)的

得0分.

9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(-8,0)上是增函數(shù)的是()

A..._-3B.y=x3C.y=3-|x|D.

y=Inx2+1

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與定義域判斷即可.

_21

【詳解】對(duì)于A：y=/(x)=x3=,定義域?yàn)閧X|XH0},且

即y=x*為偶函數(shù)，函數(shù)在(0,+力)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞增，故A

正確;

對(duì)于B：歹=X3為奇函數(shù)，且在定義域R上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：歹=/（》）=3/，則/（一切=3+，1=3卡1=〃司，即函數(shù)y=3十為偶函數(shù)，

又/（》）=3訓(xùn)=<；故函數(shù)歹=3/在（—8,0）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D：y=/'（x）=lnx2+l定義域?yàn)閧x|xxO},且

f（-x）-ln（-x）2+1=Inx?+1=/（x）,

故y=Inf+1為偶函數(shù)，又y=x2與y=lnx在（0,+e）上單調(diào)遞增，

所以y=In/+1在（0,+力）上單調(diào)遞增，

所以y=ln/+i在（—8,0）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

10.已知正實(shí)數(shù)*6滿足ab+a+b=8,下列說法正確的是（）

A.ab的最大值為2B.a+b的最小值為4

C.a+2力的最小值為6a—3D.“〃+］）+7的最小值為「

【正確答案】BCD

【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將代入a+28,化簡,

Q+1

利用基本不等式求解可判斷C,利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍b+a+b=8Nab+2^^，

即卜!ab）+2Job—8<0,解得—4?,x/ub<2?

又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。，b,所以0<J%（2，

則有當(dāng)且僅當(dāng)Q=6=2時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ab+a+b=8W（、？）+（,+6）,

即（a+6）2+4（Q+6）-3220,解得a+b4-8（舍）a+b24,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2時(shí)取得等號(hào)，故B正確;

8—Q

對(duì)于C,由題可得b(“+l)=8-。所以b=——>0,解得0<。<8,

a+\

n,-,8-a18).18-nE18_,rr

a+2b=a+2----=aH-------2=a+1H------3N2j(a+l)-----3=6。2—3>

a+1a+\a+\ya+1

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)a+l=——HPa=372-1時(shí)取得等號(hào)，故C正確；

a+1

—

對(duì)于D,[a(b+l)+可

a(6+l)b8Q(6+1)b

ba(6+l)b,A4

當(dāng)且僅當(dāng)丁一M=L=。=[=6=4,4=丁時(shí)取得等號(hào)，故D正確，

a(b+\)bb+\5

故選:BCD.

11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米

德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用[可表示不

超過x的最大整數(shù)，則丁=[可稱為高斯函數(shù)，W：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又稱

為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”

進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)''的描述，正確的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]B.VxeR,[x]+x+；=[2x]

C.Wx/eR,若=則有x—y>—1D.方程/=3[x]+l的解集為

(V7,V10)

【正確答案】CD

【分析】取x=1.5,[2x]=3,2[x]=2,A錯(cuò)誤，取x=0,[x]+x+；=；,[2x]=0,

B錯(cuò)誤，[x]=[y]=m，則xNm,y<加+1,故x-y>T,C正確，計(jì)算2<x43十岳.，

2

[x]=2或[x]=3,D正確,得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：取x=1.5,則[2x]=3,2國=2,錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B：取x=0,[x]+x+g=；,[2x]=0,錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：[x]=[y]=m,則加，y<m+\,故工一》>-1,正確；

對(duì)選項(xiàng)D：X2=3[X]+1,故3x—2<Y=3[幻+I43X+I,解得土上叵，

12

故[x]=2或[x]=3,故工=近或1=^^,正確.

故選：CD

x

12.已知/(x)=^^(x〉l),若a,尸分別是方程/(x)=/和〃x)=lnx的根，則下列說

x-1

法正確的是()

A.a<2In2B.—+^->1C.a/3<6D.

ap

夕+In夕24

【正確答案】AC

【分析】先分析得/(x)、g(x)與〃(x)的圖像關(guān)于直線N=x對(duì)稱，從而作出它們的圖像;

對(duì)于A,結(jié)合圖像分析x〉l且趨近于1與x=21n2時(shí)，/'(X)與g(x)大小關(guān)系得到

a<21n2；對(duì)于B,利用/(x)的對(duì)稱性得到的=￡+6，從而得以判斷；對(duì)于C,先結(jié)

合圖像分析x=2與x=4時(shí)，/(X)與“X)大小關(guān)系得到。<4,再結(jié)合選項(xiàng)B即可判斷;

對(duì)于D,利用<=5夕與基本不等式判斷即可.

p-[

X1

【詳解】因?yàn)椤╔)=’一=1+——(%>1),則/(x)〉l,

x-1x-1

所以/(x)的圖像是由的圖像向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位而得，則/(X)

在(1,+0。)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)點(diǎn)(。,勾(?！?/〉1)是/。)上的一點(diǎn)，則6=—3—，即ab—b=a,

a-1

微ab—a=b,則。=—竺，所以他也是〃x)上的點(diǎn)，

h-\

故/(X)的圖像關(guān)于直線y=X對(duì)稱,

y=xr。

\x=2

聯(lián)立x(…解得

尸一［y=2

又g(x)=e*與〃(x)=lnx互為反函數(shù)，

所以g(x)=e，與〃(x)=Inx的圖像也關(guān)于直線V=x對(duì)稱，

因?yàn)閍,〃分別是方程/(x)="和"X)=Inx的根，

所以畫出函數(shù)y=e1y=lnx與/(x)=——^的圖像，如圖,

對(duì)于A,當(dāng)x>l且趨近于1時(shí)，由y的性質(zhì)可知/'(X)趨于無窮大，g(l)=e,則

/(x)>g⑴；

當(dāng)x=21n2時(shí)，/(21n2)=l+^-y-],g(21n2)=e2ln2=(eln2)-=4,

41

因?yàn)閑4<43,所以4<ln43=31n4,則三<加4,即一+I<21n2,

33

所以，<21n2—l,則--------<3,即1+―-—<4,則/(21n2)<g(21n2)；

32In2-12In2-1

由圖像可知，/(X)與g(x)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在區(qū)間(1,2In2)中，

因?yàn)閍是方程/(x)=，的根，即。為/(x)與g(x)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

所以ae(l,21n2),故a<21n2,故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)閍,￡分別是方程/(%)=/和〃x)=Inx的根,

所以/(x)與g(x)的圖像的交點(diǎn)為a,一臺(tái),/(x)與6(x)的圖像的交點(diǎn)為

I?一\)

又/（X）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

所以（a,二]與（民/^關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則&=上■或夕=a

Ia-\）I（3-\）p-1a-1

cc11a+B[

所以羽=a+P，故一+/=T^=1,故B錯(cuò)誤；

apap

對(duì)于C,當(dāng)x=2時(shí)，/（2）=2,A（2）=ln2,則/⑵〉〃⑵；

當(dāng)x=4時(shí)，/（4）=—=y,/?（4）=ln4,

由選項(xiàng)A知g<ln4,則/（4）<〃（4）；

所以f（x）與/z（x）的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在區(qū)間（2,4）中，即夕<4,

又a<21n2<2,所以必=?+尸<6,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)橄κ欠匠?（x）=lnx的根，則生;瓜夕，

p-[

=31)+2+看22+2也.1).高

所以/?+ln/二夕+-4，

當(dāng)且僅當(dāng)4一1=即/=2時(shí)，等號(hào)成立,

"一1

而由選項(xiàng)C可知夕>2,即等號(hào)不成立，所以￡+ln〃>4,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得函數(shù)/'（無）、g（x）與h（x）的圖像關(guān)于直線V=x對(duì)稱,

從而結(jié)合圖像判斷得c<2In2、夕<4與M=a+/7,從而得解.

第二部分非選擇題（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)p：4x-3<l,q:x-2a-1<0,若p是g的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是?

【正確答案】（0,+8）

【分析】首先化簡命題P、q，分別記所對(duì)應(yīng)的不等式的解集為A、8,依題意可得AB,

即可得到不等式，解得即可.

【詳解】由4x-3<l,解得x<l,即p：x<l,記/={x|x<l}；

由x-（2a+l）<0,解得X〈2Q+1,

即“：x<2a+i,記8={x|x<2a+l},

因?yàn)镻是9的充分不必要條件，所以AB,即2a+l〉l,

解得a>0,

所以a的取值范圍是（0,+8）.

故答案為.（0,+8）

14.函數(shù)/（x）=lg（4-*）+Jjtanx的定義域是.

【正確答案】,將口已2）

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零和開偶數(shù)次方根號(hào)里的數(shù)大于等于零，再結(jié)合正切函數(shù)的單

調(diào)性即可得解.

【詳解】由/（船）=愴（4一/）+J1—tanx,

4-x2>0

得《，解得—<x<一或一<x<2,

1-tanx>0242

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋èD

（兀兀/兀-1

15.函數(shù)/（;<）=岳05（，冰+9）口〉0^〈時(shí)〈兀的部分圖象如圖所示，直線V=m

（加<0）與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為4，X?,x3,則

sin（2演+x2-x3）=.

【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點(diǎn)及余弦函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合

sin(2XI+》2-X3)=sin(2(X]+x2)-(x2+/))即可求值

5兀；05(460+夕)=1,即COS|子5無0+0

【詳解】由圖可知，/V2ci

4

57171_.

——69+9=—+2K71

82

5兀7兀/r、

4刃+°_4+兀，解得力=2,(p=~—,故/(x)=":os(2x---1

則〈

414j

僅＞0

1〈閘<兀

則/(0)=VIcos,爸27r

=-l,/(x)最小正周期為w=7T.

直線y=〃？（加<0）與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為4，X?,演，

,x.5兀兀371x.+x,5兀717兀

則mI由圖可知」~I,=~1二一+―二一

28482848

sin(2X]+x2-x3)=sin(2(玉+x2)-(x2+x3))=sin

2

故—也

2

[|ln(x+2)|x<m

16.己知函數(shù)/'(x)=<2,若方程/(X)=加有且僅有4個(gè)解，則實(shí)數(shù)加

|(xT)x>m

的取值范圍是.

r3-0

【正確答案】0,^—

I2J

【分析】畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像確定1>〃?>(),且加<(1)二解得答案.

【詳解】y=|ln(x+2)|是由函數(shù)y=ln(x+2)的圖像的x軸下方的圖像向上翻折形成,

畫出y=|ln(x+2)|和y=(x—的圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知：1>加>0,且加<(1-機(jī))~,當(dāng)時(shí)，〃？<ln(m+2)成立,

解得0<m<-~，

2

故「，學(xué)、

四、解答題:本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

(3兀

sin(兀一a)cos(2兀一o)sin—a+——

17.己知〃a)=-------------(力叫2

cos(-a-7t)cosI-a+-I

(1)化簡/(a)；

3

(2)若a是第三象限角，且COS求/(a).

5

【正確答案】(1)/(?)=-cosa

⑵嚓

【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.

3兀、3

3兀

(2)根據(jù)cosa=cosa--+-rt求解即可.

44J4

【小問1詳解】

sin(zcosa-(-cosa

/⑷=(-)?(-sina)-cosa

【小問2詳解】

3

因?yàn)樨?2左兀<a<—兀+2版,左￡Z,

2

TT3713

所以一+2lai<a----<—7t+2kn,keZ.

444

(3兀3.f3兀4

又因?yàn)閏osa---所以sina---

I45145

33兀cos"371).3

所以cosa=cos+一兀a----sin—7t

444I4

4，即/9)=吟

--xV2-772

5210

r7T

18.已知函數(shù)/'(x)=12-2xtan夕一1,其中。工^+E，4eZ.

(1)當(dāng)，=一色，xe[—1,J可時(shí)，求函數(shù)"X)的最大值與最小值;

6

(2)求使y=/")在區(qū)間[-1,6]上是單調(diào)函數(shù)的0的取值范圍.

【正確答案】⑴/(X)的最大值為4,最小值為-g

(2)]一5+左耳一微+^U]+E,^+hr],keZ

【分析】(1)代入數(shù)據(jù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.

(2)確定函數(shù)的時(shí)稱軸為x=tan。，根據(jù)單調(diào)性得到tan?；騮an82JJ，解得答案.

【小問1詳解】

n〃、—226,(百丫4

當(dāng)8_-%，f(X)=XHX_1=IXH—I—-,

函數(shù)在4］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

［3」I3」

/(X)，皿=max{/(-l),/(V3))=max-^,4>=4,f(x)min==.

即函數(shù)/(x)的最大值為4,最小值為-：

【小問2詳解】

/(x)=x2-2xtan^-l,對(duì)稱軸為x=tan。，函數(shù)在區(qū)間［—1,6］上是單調(diào)函數(shù)，

故tan?！?或tan0>G，

JiJIJI

解得----^kn<6<---i-后兀,左或一+左兀4。<一+kn,左eZ,

2432

故6一巴+加,一四+左兀U—+hr,—+ht|,keZ

I24」［32)

19.已知/(x)=/sin((yx+e)］/〉0,|c|<>0)的部分圖象如下圖.

(1)求/(x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=/(x)cos2x,求g(x)的最小正周期，及其在畫)上的對(duì)稱中心和單調(diào)增

區(qū)間.

【正確答案】(1)/(x)=2sinf2x-^j

【分析】(1)A=2,/(x)=2sin(0x+e),f⑼=一6,得到e=—：,根據(jù)周期得到

33

=2得到口=2,得到解析式.

(2)g(x)=sinf4%--,計(jì)算周期7="=工，取4x-二=E和

,，(4)2424

TTTTTT

--+2kn<4x--<-+2kit得到對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間.

242

【小問1詳解】

根據(jù)圖像知Z=2,/(x)=2sin((yx+e),

兀

/(0)=2sine=—y/2,sin^?=-—,|夕|<2，故9=

22-4

TT2兀3兀2兀、48

一<一<—,即一<一<——，解得一<①<一,

4824G82a)33

(3兀、c.(3兀兀、c-3兀兀?！?，r口LC16,,r

——2sin—CD——2,故—CD—=-+2kn,4wZ,即69=2H----k,k￡Z.

I8JI84)8423

當(dāng)k=0,0=2時(shí)滿足條件，故/(x)=2sin2x—；

【小問2詳解】

g(x)-f{x}cos2x=2sin2x~—cos2x=A/2(sin2x-cos2x)cos2x

=-^-sin4x--^-(cos4x+1)=sin

g(x)的最小正周期為r=y=p

_.71.71kit.亞］(5兀&、

取4%一二=左兀，x——GZ,對(duì)稱中心為—,——,—,——

4164I162II162

7T...7U兀/d兀%兀3兀kjZ.—

取——+2/ai<4x——<一+2E,解得----+—<x<一+一€Z,

242162162

,,,八?兀3TI?7兀1In

當(dāng)上=0時(shí)，----<x<.—,當(dāng)左=1時(shí)，—<x<，

16161616

故函數(shù)在（0,]]的單調(diào)增區(qū)間為（0,帶77171

和

76,2

20.已知函數(shù)/（x）=5，q（aeR）.

（1）當(dāng)且<1時(shí)，利用單調(diào)性定義證明/（x）在R上單調(diào)遞增；

（2）若存在再<0<芍，使/（石）+/（》2）=1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵「高

（a-1）（2』-2"2）

【分析】（1）取王<工2,則/（》2）—/（xjno；:a-1<0,2$—2*2<0，

+1）（2須+1），

212+l>0.2*'+1>0,得到證明.

11113

（2）考慮a〉l,a=\,a<1三種情況，得到-----1-----e_L2,-<<-,

2處+12X,+12,22\-a2

解得答案.

【小問1詳解】

z12>22

2、2+。2』+a_G-)('~')

取玉<々，則/。2

2處+1T'+1(2,+1”+1)，

a<1,故a-1<0,王<%，故2$-2*2<0，2*+1>0，2"+1>0，

故/（工2）_/（石）〉0，即/（工2）〉/.（玉），函數(shù)單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

2"+a2、+a11

/'(%)+/(七)=1，故----------1=1,即(”1)2與+1+2』+1

2J1---2X'+1

當(dāng)a>l時(shí)，("1)("：

不成立;

\2t2+12X,+1)

當(dāng)a=l時(shí)，不成立;

w0，￡|，111j_3

當(dāng)a<1時(shí)，—------e,故------1------G,故

T2+12』+12次+12M+1252

113皿9,1

-<----<一，解得一1<a（一,

2\-a23

綜上所述：

21.如圖為某大江的一段支流，岸線4與4近似滿足4〃4,寬度為7筋?.圓。為江中的一

個(gè)半徑為2左機(jī)的小島，小鎮(zhèn)A位于岸線4上，且滿足岸線4_L。/,0A=3km.現(xiàn)計(jì)劃建

造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島0至對(duì)岸4的水上通道48。(圖中粗線部分折線段，B在A右側(cè)),

為保護(hù)小島，8c段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)N/8C=萬一。

(1)試將通道48c的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域;

(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元?

9—3cos0(7t

【正確答案】(1)口。)=:,定義域是為,彳.(2)6近百萬

sin。V2；

【分析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Z8=a(a>0),利用直

2_3coq0

線與圓相切得到。=二------，再代入￡=43+8。這一關(guān)系中，即可得答案；

sm6

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案：

【詳解】以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

y

設(shè)則8（。,0）,0（0,3）,/2:y=7.

因?yàn)?ABC=汽—夕（0<6<-^\,

所以直線BC的方程為y=tan夕?（x—。），

即x?tan3-y-atan0=0,

1—3—citan01

因?yàn)閳A。與8C相切，所以/,=2,

V1+tan2^

□3cose+asin82..2-3cos^

即n--------------二-----，從而得zrlQ二----------，

cos6cos。sin。

77cos0

在直線BC的方程中，令y=7,得%=。+——=。+------，

tan0sin0

2

所以BC=V1+tan0\xB—xc\=---九。"=—--,

1Bc|cos。sin。sin<9

所以1=N8+8C=q+-^-=93cos6>

sin。sin。

27

當(dāng)a=0時(shí)，cos6=§,設(shè)銳角4滿足cos〃=§,則。0<。<萬,

9—3cos0（

所以L關(guān)于。的函數(shù)是以。）=--------,定義域是e,-.

sin。<{}2J

（2）要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長度即L最小.

3sin2-（9-3cos0）cos63-9cos。

以⑶

sin20sin?。，/

令z/（e）=o,得cos6=」，設(shè)銳角a，滿足cosq=2<2,得可{1%,工

333I2

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