空間向量與空間角距離

關(guān)于空間向量與空間角距離第三章空間向量與立體幾何學習導航學習目標1.理解直線與平面所成角的概念．2．能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題．3．體會向量法在求空間距離中的作用．4．體會用空間向量解決立體幾何問題的三步曲.學法指導空間中的各種角都可以轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角，可以通過兩個向量的夾角求得，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸思想．通過本節(jié)的學習進一步體會空間向量解決立體幾何中的平行、垂直、空間角、距離等問題的三步曲.第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1．空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝_____________________直線與平面所成的角設直線l與平面α所成的角為θ,l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則sinθ＝___________________________二面角設二面角α-l-β的平面角為θ,平面α,β的法向量為n1,n2,則|cosθ|＝________________________________[0，π]第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.空間距離的向量求法分類向量求法兩點距設A，B為空間中任意兩點，則d＝___________點面距第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1．判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成角的范圍相同．(

)(2)直線與平面所成角就是對應直線的方向向量與平面的法向量所成角．(

)(3)直線到平面的距離指直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離．(

)××√第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天B第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150°,則l1與l2這兩條異面直線所成的角等于(

)A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均錯4．已知空間兩點A,B的坐標分別為(1,1,1),(2,2,2),則A,B兩點間的距離為________．A第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天求異面直線所成的角D第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1．四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°.在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出點B、P的坐標；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天求直線與平面所成的角如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點．(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成角的大?。?3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，AB＝AC＝1，PA＝2.求直線PA與平面DEF所成角的正弦值．第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天求二面角(2013·高考北京卷節(jié)選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值．[解]

(1)證明：因為AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天方法歸納向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz.第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天利用空間向量求點到面的距離四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點．(1)求證：DE∥平面PFB；(2)求點E到平面PFB的距離．第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天方法歸納求點到平面的距離的四步驟第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，求點A到平面EFG的距離．第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天易錯警示混淆平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系致誤(2014·衡水高二檢測)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小為________．120°第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天[錯因與防范]

用向量法求二面角的大小時，在求出〈n1，n2〉后，一定要觀察分析圖形，看所求二面角是與〈n1，n2〉相等的，還是互補的，如本例中所求二面角A-BD1-C為鈍角，而向量法所求得的為銳角，故結(jié)論應為120°.第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學思想化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天規(guī)范解答向量法求空間角(本題滿分12分)(2013·高考遼寧卷)如圖,AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共46頁，2024年2月25日，星期天[規(guī)范與警示]

(1)解答本題的兩個關(guān)鍵點．①作出CM∥AP，證明出過點C三條直線兩兩垂直，可建空間坐標系．②正確計算出法向量n1，n2是計算二面角的關(guān)鍵．(2)解答本題的易錯點：一是證明線面關(guān)系時，步驟不規(guī)范，二是法向量計算出錯．(3)解決立體幾何問題一般有三