系統(tǒng)的穩(wěn)定性

關于系統(tǒng)的穩(wěn)定性熟悉Bode穩(wěn)定判據(jù)的基本原理和應用方法。熟悉系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性概念及其應用

。

掌握穩(wěn)定性的概念；掌握Routh穩(wěn)定判據(jù)的基本原理和應用方法；掌握Nyquist穩(wěn)定判據(jù)基本原理和應用方法。內容提要第2頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

1、系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生

（1）線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內部條件，而與輸入無關。

（2）系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當?shù)姆答佔饔谩?/p>

（3）控制理論中所討論的穩(wěn)定性是指自由振蕩下的穩(wěn)定性。

第3頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義

指系統(tǒng)在使它偏離穩(wěn)定平衡狀態(tài)的擾動消除之后，系統(tǒng)能夠以足夠精度逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

系統(tǒng)的穩(wěn)定性：從空間尺度來考察。

第4頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)xo(0)xo(t)平衡狀態(tài)穩(wěn)定不穩(wěn)定第5頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于零（即回到平衡位置），則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，若在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應隨時間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來越遠），則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性的定義：從時間尺度來考察。第6頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

穩(wěn)定不穩(wěn)定txo(t)txo(t)第7頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則在初始條件不超出允許區(qū)域

(

)的條件下，系統(tǒng)的輸出響應xo(t)最終只能在原平衡工作點附近變化，而與原平衡工作點的偏差不超出預先指定的正數(shù)

，則系統(tǒng)稱為在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定；反之，若對任意給定的正數(shù)，找不到不為零的正數(shù)滿足下式，則系統(tǒng)稱為在李雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性：→第8頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

如果系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“在大范圍內漸近穩(wěn)定”。漸近穩(wěn)定性是對線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性，它要求初態(tài)引起的響應最終衰減到零。漸近穩(wěn)定性：漸近穩(wěn)定性比李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性要求高；漸近穩(wěn)定的一定是李雅普諾夫穩(wěn)定，反之則不盡然。第9頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穩(wěn)定的概念和定義5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

用線性化方程來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，就只限于討論初始偏差不超出某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱為“小偏差”穩(wěn)定性，又稱“小穩(wěn)定”或“局部穩(wěn)定性”。小偏差穩(wěn)定性：第10頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部。3．穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：或者說：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的全部極點均位于[S]平面的左半平面。第11頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．穩(wěn)定的條件5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念

確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有兩種類型：①直接計算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根；②確定保證特征方程的根具有負實部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域；包括：包括：直接求解特征根；根軌跡法。Routh穩(wěn)定判據(jù)，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。第12頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)設線性系統(tǒng)的特征方程為

式中si(i=1,2,3,···,n)

為線性系統(tǒng)的特征根。

第13頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)高階代數(shù)方程的根與系數(shù)的關系為

第14頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)可求得線性系統(tǒng)特征根si(i=1,2,3,···,n)

具有負實部的必要條件為：①特征方程的各項系數(shù)ai(i=1,2,3,···,n)

都不等于0；②特征方程的各項系數(shù)ai的符號都相同。第15頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)列出Routh表，確定Routh穩(wěn)定判據(jù)。

應用Routh穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟是：第一步，將給定的線性系統(tǒng)特征方程的系數(shù)按下列形式排成兩行：

第16頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第二步，根據(jù)上面的系數(shù)排列，通過規(guī)定的運算求取如下的勞斯計算表。

第17頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第18頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)在排列特征方程的系數(shù)時，空位需要以零來填補；凡在運算過程中出現(xiàn)的空位，也必須置零，從而構成一個完整矩陣形式的計算表。注意：第19頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)第三步，根據(jù)勞斯計算表第一列各元素符號的改變次數(shù)確定特征根中具有正實部根的個數(shù)。若第一列各元間依次序數(shù)下來，符號的改變次數(shù)為零，則具有正實部特征根的個數(shù)為零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若第一列各元符號不同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其各元間符號依次改變的次數(shù)等于具有正實部特征根的個數(shù)。第20頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)Routh表中第一列各元的符號均為正，且值不為０。

第21頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例1

判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：改變1次符號;又改變1次符號;2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件有2個具有正實部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第22頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)舉例2

系統(tǒng)特征方程為試確定K取何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第23頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K

的取值范圍為：解得

解得

由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要求：2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第24頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)2．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

第25頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．應用Routh判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)（1）如果在Routh表中任意一行的第一個元為零，而其后各元均不為零或部分地為零，則在計算下一行第一個元時，該元必將趨于無窮大，于是Routh表計算將無法進行。為了克服這一困難，可用一個很小的正數(shù)

來代替第一列等于０的元，然后計算Routh表的其余各元。第26頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例3

判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：改變1次符號;又改變1次符號;3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況有2個具有正實部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第27頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)（2）如果當Routh表的任意一行中的所有元均為零時，系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個符號相異，絕對值相同的實根；或存在一對共軛純虛根；或上述的兩種類型的根同時存在；或存在實部符號相異，虛部數(shù)值相同的兩對共軛復數(shù)根。第28頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)在這種情況下，可利用該行的上一行的元構成一個輔助多項式，并用這個多項式方程導數(shù)的系數(shù)組成Routh計算表的一行代替全０行的元，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運算下去，直到得出完成的Routh計算表。這些數(shù)值相同，符號相異的成對的特征根，可通過解輔助方程得到，即２p階的輔助多項式有這樣的p對特征根。第29頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程為舉例4

用Routh表判別其穩(wěn)定性。解：

根據(jù)特征方程的系數(shù)列Routh表如下：3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況第30頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)將系數(shù)帶入Routh表第三行，繼續(xù)進行運算

3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況輔助方程

求導得

第31頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)3．應用勞斯判據(jù)的特殊情況改變1次符號;有1個具有正實部的特征根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。第32頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為

開環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的全部特征根位于

S

平面的左半部。

第33頁,共85頁，2024年2月25日，星期天Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是通過閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應G(jω)H(jω)與閉環(huán)特征方程

1+G(jω)H(jω)=0

的根在[s]

平面上分布之間的聯(lián)系,根據(jù)開環(huán)頻率響應G(jω)H(jω)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準則。

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)第34頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1.幅角原理5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)引入輔助函數(shù)，令

式中，pi為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)極點，zi

為閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點

第35頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)F(s)具有以下特點：（1）F(s)

與G(s)H(s)只相差1；（2）F(s)

的極點pi為開環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)極點；其零點zi

為閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點；（3）對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)分母多項式的階數(shù)n大于或等于其分子多項式的階數(shù)m，因此，F(xiàn)(s)的極點、零點數(shù)目相同，都等于n。第36頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)幅角原理：設F(s)是復變函數(shù)，以[F]復平面上的s為復變量，以[s]平面上的表示。表示。第37頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)幅角原理：如果在[s]平面任取一個不穿過F(s)的零點和極點的封閉軌線LS，它包圍的零點數(shù)和極點數(shù)分別為Z和P，封閉軌線

LS通過F(s)

映射到[F]平面上也是一條封閉軌線

LF。那么，當復變量s在[s]平面中以順時針方向沿

LS旋轉一周時，復變函數(shù)

F(s)在[F]平面上的映射軌跡

LF將按順時針的方向包圍原點

N=Z-P

次。第38頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)ImReF(s1)LFF(s2)[F]jωσs1Lss2[s]第39頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)jωσsLs[s]ImReF(s)LF[F]z1z2s-z1s–z2第40頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)向量F(s)的相位為

：假設LS

內只包圍了F(s)的一個零點zi，其他零點和極點均在LS

之外，當s沿LS

順時針方向移動一周時，向量（s-zi）的相位角變化-2π弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即F(s)在[F]平面上沿映射軌跡LF

繞原點順時針轉了一周。

第41頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)若［s］平面上的封閉曲線LS內包圍著F(s)的Z

個零點，則在[F]平面上的映射曲線LF

將繞原點順時針轉Z

周。同理，若［s］平面上的封閉曲線LS

內包圍著F(s)的P

個極點，則在[F]平面上的映射曲線LF

將繞原點逆時針轉P周。若LS

包圍了F(s)的Z

個零點和P

個極點，則F(s)平面上的映射曲線LF

將繞原點順時針轉N=Z-P

周。第42頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．幅角原理

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)N>０，表示LF按順時針方向包圍原點N次；N<０，表示LF

按逆時針方向包圍原點N次；N=０，表示LF

不包圍原點。第43頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)2．Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（1）[s]平面上的Nyquist軌跡

設在[s]平面上有封閉的曲線LS，其中，L1

段由ω＝－∞到＋∞的整個虛軸組成，L2

段是由半徑為R趨于無窮大的圓弧組成。因此LS

就封閉的包圍了整個[s]平面的右半平面。第44頁,共85頁，2024年2月25日，星期天jωσ0[s]LsR→∞5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)j∞-j∞2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

第45頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)由于應用幅角原理時，LS

不能通過函數(shù)的任何極點，所以當函數(shù)F(s)有若干個極點處于[s]平面的虛軸或原點上時，LS

應被認為是以這些點為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向從這些點的右側繞過。由于這些小段圓弧緊貼極點繞過，因此，可以認為LS曲線包圍了整個[s]平面的右半平面，這一LS封閉曲線即為[s]平面上的Nyquist軌跡，當ω由－∞變到＋∞時，軌跡的方向為順時針方向。

第46頁,共85頁，2024年2月25日，星期天jωσ[s]LsR→∞5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)j∞-j∞00+0-ε2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

第47頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)[F]平面上的Nyquist軌跡按F(s)函數(shù)作出，由前述可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0。已知的F(s)函數(shù)，可以先求得F(s)位于[s]平面的右半平面的極點數(shù)P，從而可求得Z=N+P。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，應使Z=0，即N=Z-P=-P。也就是，當[F]平面的Nyquist軌跡LF

逆時針包圍原點的圈數(shù)為N等于F(s)函數(shù)位于[s]平面的右半平面的極點數(shù)P時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）[F]平面上的Nyquist軌跡第48頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（可見[GH]平面是將[F]平面的虛軸右移1個單位之后所構成的新復平面。[GH]平面上的（-1,j0）點就是[F]平面上的原點。所以在[GH]平面上包圍點（-1,j0）的圈數(shù)N，就等于在[F]平面上LF

包圍原點的圈數(shù)N。（3）[GH]平面上的Nyquist軌跡由可得第49頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

0ImRe[GH]LGH1G(s)H(s)(-1,j0)0ImRe[F]LF1F(s)(1,j0)第50頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)[s]平面上半徑為∞的半圓映射到[GH]平面上為原點或實軸上的一點。[s]平面上的虛軸j

映射到[GH]平面上的開環(huán)Nyquist軌跡G(j

)H(j

)作為包圍點（-1，j0）的評判依據(jù)。第51頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當ω由-∞到+∞時，若在[GH]平面的開環(huán)頻率特性GK(jω)，即G(jω)H(jω)逆時針方向包圍點（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

第52頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（1）當P=0，ω從-∞變到+∞時，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)不包圍原點（-1,j0），即N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（2）當P≠0，ω從-∞變到+∞時，若[GH]平面上的G(jω)H(jω)逆時針包圍點（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若逆時針包圍點（-1,j0）的圈數(shù)不到P圈或順時針包圍點（-1,j0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第53頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)舉例

穩(wěn)定不穩(wěn)定ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞p=0

=-∞ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞p=0

=-∞第54頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（1）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)不是在[s]平面，而是在[GH]平面判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。是通過幅角原理將[s]平面的Nyquist軌跡（虛軸）映射為[GH]平面上的Nyquist軌跡G(jω)H(jω),然后根據(jù)G(jω)H(jω)軌跡包圍（-1,j0）點的情況來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而G(jω)H(jω)正是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性GK(jω)。

幾點說明

第55頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（2）Nyquist判據(jù)的證明比較復雜，但應用簡單。由于一般系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，當P=0，故只要看開環(huán)Nyquist軌跡是否包圍點（-1,j0），若不包圍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）當開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P≠0，先求出P，再看Nyquist軌跡包圍點（-1,j0）的圈數(shù)，并注意ω由小到大的軌跡方向，若是逆時針包圍點（-1,j0）P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第56頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（4）在P=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面無極點時，有時稱為開環(huán)穩(wěn)定；在P≠0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面有極點時，有時稱為開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)仍可穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定,閉環(huán)系統(tǒng)也可能不穩(wěn)定。但開環(huán)穩(wěn)定而其閉環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，在實用上有時是不可靠的。

第57頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（5）開環(huán)Nyquist軌跡是關于實軸對稱的，所以，一般只需繪出ω由0到+∞的曲線即可判別穩(wěn)定性。第58頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（奈奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)（6）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有特性。現(xiàn)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母是1+G(s)H(s)，即F(s).而F(s)包圍[F]平面上原點的情況與G(s)H(s)包圍[GH]平面上（-1,j0）點的情況完全一樣，因此，G(s)H(s)這一開環(huán)傳遞函數(shù)包圍[GH]平面上（-1,j0）點的情況就反映了閉環(huán)系統(tǒng)的固有特性，因此，用它來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即由Nyquist判據(jù)用開環(huán)傳遞數(shù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從物理意義上來說也是容易解釋的。第59頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)1．Nyquist圖和Bode圖的對應關系

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|1234ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1234+-

g第60頁,共85頁，2024年2月25日，星期天1．奈奎斯特圖與伯德圖關系

①極坐標的單位圓相當于Bode圖上的0分貝線，即對數(shù)幅頻特性圖的橫軸。②極坐標圖上的負實軸相當于Bode圖上的-180°線，即對數(shù)象相頻特性圖的橫軸。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第61頁,共85頁，2024年2月25日，星期天（ωc為Nyquist軌跡與單位圓交點的頻率，即對數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點的頻率，亦即輸入與輸出幅值相等時的頻率，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，幅值交界頻率。

ωg為Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率，亦即對數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率。

1．奈奎斯特圖與伯德圖關系

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第62頁,共85頁，2024年2月25日，星期天開環(huán)Nyquist軌跡在（-1，j0）點以左穿過負實軸稱為穿越。2．穿越的概念

若沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過（-1，j0）點以左的負實軸稱為正穿越；若沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^（-1，j0）點以左的負實軸稱為負穿越。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第63頁,共85頁，2024年2月25日，星期天若沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自（-1，j0）點以左的負實軸開始向下稱為半次正穿越；若沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自（-1，j0）點以左的負實軸開始向上稱為半次負穿越2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第64頁,共85頁，2024年2月25日，星期天反之，沿頻率ω增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自上而下（相位減?。┐┻^-180°線為負穿越。對應于Bode圖上，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿頻率ω增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自下而上（相位增加）穿過-180°線為正穿越；2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第65頁,共85頁，2024年2月25日，星期天反之，沿頻率ω增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自-180°線開始向下，為半次負穿越。若沿頻率ω增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自-180°線開始向上，為半次正穿越；2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第66頁,共85頁，2024年2月25日，星期天2．穿越的概念

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)

-180o

GH正半次穿越負半次穿越第67頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．Bode穩(wěn)定判據(jù)

設P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在[S]平面的右半平面的極點數(shù)。

P=0時，若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性先交于橫軸，即ωc<ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性后交于橫軸，即ωc>ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若ωc=ωg，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第68頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．伯德穩(wěn)定判據(jù)

P≠0時，在Bode圖上，當ω由0變到+∞時，開環(huán)對數(shù)相頻特性在0到ωc的頻率范圍內，正穿越和負穿越-180°軸線的次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第69頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．伯德穩(wěn)定判據(jù)

若開環(huán)對數(shù)幅頻特性對橫軸有多個剪切頻率，則取剪切頻率最大值來判別穩(wěn)定性，因為最大頻率判別系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則低于它的頻率自然是穩(wěn)定的。5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)

-180o

GH

c30

20lg|GH|

c1

c20o第70頁,共85頁，2024年2月25日，星期天4．Bode圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點①Bode圖可以用做漸進線的方法作出，比較簡便；②用Bode圖上的漸進線可以粗略地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第71頁,共85頁，2024年2月25日，星期天3．伯德圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點

④在調整開環(huán)增益K時，只需將Bode圖中的對數(shù)幅頻特性上、下平移即可，因此很容易看出為保證穩(wěn)定性所需的增益值。

③在Bode圖中，可以分別作出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻、對數(shù)相頻特性曲線，以便明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定性的主要因素，從而對其中參數(shù)進行合理選擇或校正；5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第72頁,共85頁，2024年2月25日，星期天舉例3．伯德圖判別穩(wěn)定性的優(yōu)點

5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)第73頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1/Kg

φ(

c)

g

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|-90o

Kg(dB)>0相位裕度、幅值裕度為正第74頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

ImRe(-1,j0)

=00[GH]

=∞

c1/Kg

φ(

c)

g

-180o

GH

c0

g

20lg|GH|-90o

Kg(dB)<0相位裕度、幅值裕度為負第75頁,共85頁，2024年2月25日，星期天5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)