2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷07（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）（含答案）

屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷07（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（）A.16 B.24 C.21 D.194.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.D. 5.某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（）A B. C. D.6.早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置如圖所示．地球在位置時(shí)，測出；行星M繞太陽運(yùn)動(dòng)一周回到原來位置，地球運(yùn)動(dòng)到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項(xiàng)中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.7.如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，則（）A. B.1 C. D.8.在三棱錐中，，若是等邊三角形，則三棱錐的外接球的體積是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，若，則的值可以為（）A B. C. D.10.已知是定義在上不恒為0的函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心也是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A.點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.為周期函數(shù)，且4是的一個(gè)周期C.為偶函數(shù)D.11.在矩形中，，，以對(duì)角線BD為折痕將△ABD進(jìn)行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.三棱錐體積的最大值為 B.點(diǎn)都在同一球面上C.點(diǎn)在某一位置，可使 D.當(dāng)時(shí)，第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為.13.已知圓錐軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則__________.14.已知為實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖，在底面為正方形的四棱臺(tái)中，平面平面，已知．（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正切值．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．17．（本小題滿分15分）甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，每次由一人隨機(jī)傳給另外三人中的一人稱為一次傳球，已知甲首先發(fā)球，連續(xù)傳球次后，記事件“乙、丙、丁三人均被傳到球”的概率為．（1）當(dāng)時(shí)，求球又回到甲手中的概率；（2）當(dāng)時(shí)，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）記，求證：數(shù)列從第3項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，并求．18．（本小題滿分17分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線與圓相切于點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求拋物線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是軸上的兩點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與圓均相切，，求的周長最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（本小題滿分17分）若非空集合A與B，存在對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對(duì)于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．（1）若，，寫出Y，并求；（2）若，，求所有的總和；（3）對(duì)于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．2024屆高考考前沖刺系列數(shù)學(xué)模擬試卷07（新高考、新結(jié)構(gòu)、新情境）參考答案一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.12345678CBDCDABA二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.91011BDACABD三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12．15 13．114．6 三、解答題：本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程和解題步驟.15．（本小題滿分13分）【答案】（1）證明見解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.（2）由已知結(jié)合（1）證明平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由直角梯形求出，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用線面角的向量求法計(jì)算得解.小問1詳解】平面平面，且平面平面平面，則平面，而平面，所以．【小問2詳解】由（1）知，而，平面，則平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，過作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，，由，得，又四棱臺(tái)的底面為正方形，，則，則，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，有，則，，所以直線與平面所成角的正切值為2．16．（本小題滿分15分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，故切線方程為，即．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，恒成立，則恒成立，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，．17．（本小題滿分15分）【答案】（1）；（2）分布列見解析，；證明見解析，.【解析】【分析】（1）考慮傳球過程中，是否傳給甲，分類討論，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果；（2）求得的取值，結(jié)合（1）中求解思路，求得對(duì)應(yīng)取值下的概率，即可求得分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可；（3）討論次傳球后，人接過球的人數(shù)情況，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，即可證明并求得通項(xiàng)公式.【小問1詳解】傳球的過程中，不考慮第四次傳給誰，有種；傳球的過程中不傳給甲，第四次傳給甲，有種，傳球的過程中傳給甲，有種；故傳球次，球又回到甲手中的概率為.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，，，故的分布列如下所示：則.【小問3詳解】次傳球后，乙、丙、丁三人中被傳到球，有兩種情況：第一種，時(shí)，次傳球后，此人均接過他人傳球，則其概率為；第二種，時(shí)，次傳球后，此人中只有人接過他人傳球，則第次傳球時(shí)將球傳給剩余的1人，其概率為：；所以當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋?所以數(shù)列從第3項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，，則.（本小題滿分17分）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助準(zhǔn)線方程可得拋物線方程，借助切線性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法計(jì)算可得圓方程；（2）設(shè)、的斜率分別為、，則可用其表示出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出的周長，借助點(diǎn)到直線距離公式可得，則有，即可得、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同根，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得.【小問1詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，即，故，由圓心在直線上，設(shè)，圓的半徑為，則有，，整理可得，，即，故，則，即圓；【小問2詳解】由題意可得，直線、的斜率存在，設(shè)、的斜率分別為、，則，，對(duì)，令，則，即，同理可得，則，同理可得，，即，有，則有，即，,則，，由亦可得，同理可得，故、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同根，，有，，則，則當(dāng)取最大值時(shí)，的周長最小，即，即時(shí)，的周長最小，此時(shí)，即的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助點(diǎn)到直線距離公式，得到，從而得到、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同根，即可借助韋達(dá)定理表示出、與、的關(guān)系，以代入計(jì)算周長.19．（本小題滿分17分）【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；（2）對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行分類討論，求出對(duì)應(yīng)所有Y中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【小問1詳解】由題意知，，所以．【小問2詳解】對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行討論：①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．綜上，所有的總和為．【小問3詳解】對(duì)于給定的，考慮在映射f