等差數(shù)列與等比數(shù)列

等差數(shù)列與等比數(shù)列基本公式等差數(shù)列an-an-1=d(常數(shù))an=a1+(n-1)da,A,b等差,則A=等比數(shù)列an/an-1=q(常數(shù))an=a1qn-1a,G,b等比,則G2=abSn=na1(q=1)Sn=2021/10/10星期日1等差數(shù)列{an},{bn}的性質(zhì):m+n=k+l,則am+an=ak+al;{nk}等差,則等差;{kan+b}等差;{k1an+k2bn}等差;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等差.{an}等差

Sn=cn2+bn(c≠0).2021/10/10星期日2等比數(shù)列{an},{bn}的性質(zhì):

m+n=k+l(m,n,k,l∈N),則aman=akal;{nk}等差,則{kan}等比;{k1ank2bn}等比;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;{an}等比

Sn=c(qn-1)(c≠0){an}等比且an>0,則{lgan}等差;等比;2021/10/10星期日3例1:四個數(shù),前三個成等比數(shù)列,它們的和是19;后三個成等差數(shù)列,和是12,求此四個數(shù).解法1:如圖:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或2021/10/10星期日4例1:四個數(shù),前三個成等比數(shù)列,它們的和是19;后三個成等差數(shù)列,和是12,求此四個數(shù).如圖:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,a已知和為12=>a-d+a+a+d=12已知三數(shù)和為19=>=>或四數(shù)為:9,6,4,2或25,-10,4,18.192021/10/10星期日5

為了便于解方程，應(yīng)該充分分析條件的特征,盡量減少未知數(shù)的個數(shù),用最少的未知數(shù)表達出數(shù)列的有關(guān)項的數(shù)量關(guān)系，促使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，獲得最佳的解決方法。歸納

練習(xí)12021/10/10星期日6練習(xí)11.已知等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=()(A)5(B)10(C)15(D)202.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且S10=100,S100=10,則S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-1103.ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三內(nèi)角的公差為()(A)0(B)150(C)300(D)450ADA2021/10/10星期日71.已知等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=>a3+a5=5(an>0)提示:2021/10/10星期日82.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且S10=100,S100=10,則S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-110S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差數(shù)列,公差100d.解:∴(S20-S10)-S10=100d)∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-110=>10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)100d2021/10/10星期日93.ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則三內(nèi)角的公差為()解:∵A+B+C=18002B=A+C,b2=ac∴B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故A=B=C,公差d=0.2021/10/10星期日10例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn即得出新數(shù)列的公比:q=3

再由∴可解出kn,進而求出根據(jù)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,通項可寫作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根據(jù)a1,a5,a17成等比數(shù)列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.將解出的d代入a1,a5,a17,分析:2021/10/10星期日11例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn解:{an}為等比數(shù)列,設(shè)其首項為a1,則an=a1+(n-1)d故(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d2021/10/10星期日12例2:已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d≠0,{an}的部分項組成下列數(shù)列:

恰好為等比數(shù)列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn故又q=3,d=(1/2)a12021/10/10星期日13歸納1.本題是一個綜合型的等差、等比數(shù)列問題，在解題過程中，分清那一步是用等差數(shù)列條件，那一步是用等比數(shù)列條件是正確解題的前提。2。仔細觀察，找到兩個數(shù)列序號間的聯(lián)系，是使問題得解的關(guān)鍵。練習(xí)22021/10/10星期日14練習(xí)21.如果a,b,c成等差數(shù)列,而a.c.b三數(shù)成等比數(shù)列,則a:b:c=________________2.若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100項之和為0,則θ的值為________1:1:1或4:1:(-2)2kπ±(2π/3)(k∈Z)2021/10/10星期日151.如果a,b,c成等差數(shù)列,而a.c.b三數(shù)成等比數(shù)列,則a:b:c=________________

a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab①②代①入②,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或a=-2c1:1:1或4:1:(-2)解:2021/10/10星期日162.若數(shù)列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100項之和為0,則θ的值為________解:經(jīng)觀察知,該數(shù)列是等比數(shù)列,首項為1,公比為2cosθ,它的前100項和:Cosθ=-1/2Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.2021/10/10星期日17例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列分析:本題已知Sn,需求p及an,所以必須根據(jù)公式求出a1,an.因為條件中有a1≠a2,又可推測知:本題需同時求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.故第一問的解答從計算a1,a2開始:2021/10/10星期日18例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列（1）令n=1，s1=pa1，因為S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，則由n=2時，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，這與a1≠a2矛盾故p≠1所以a1=0，則由n=2，得a2=2pa2因為a1≠0，∴a2≠0，p=1/2解:2021/10/10星期日19例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列(2)根據(jù)已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差數(shù)列定義,滿足an-an-1=d(常數(shù))的數(shù)列是等差數(shù)列所以第一步求通項,第二步“作差”.證明:n≥2時,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-12021/10/10星期日20例3.已知數(shù)列{an}中,a1≠a2,若存在常數(shù)p,

使得對任意自然數(shù)n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)證明{an}成等差數(shù)列

由(1)可得a1=0∴a2-a1=a2練習(xí)32021/10/10星期日21練習(xí)31.數(shù)列則是該數(shù)列的第________項.2.數(shù)列{an}對任意自然數(shù)n都滿足且a3=2,a7=4,則a15=_______11162021/10/10星期日22教學(xué)目的1。系統(tǒng)掌握等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)。2。通過對問題的討論，提高分析解決問題的能力。2021/10/10星期日23小結(jié)對等差等比綜合問題1。要正確分清題目究竟是等差還是等比，不能混淆。2。掌握設(shè)元的技巧；3。要掌握分析數(shù)列問題的基本思想方法：抓兩頭，湊中間。2021/10/10星期日24習(xí)題分析:6.三數(shù)成等比數(shù)列,若將第三數(shù)減去32,則成等差數(shù)列,若再將等差數(shù)列的第二個數(shù)減去4,又成等比數(shù)列,原來三個是:____________________.2021/10/10星期日25習(xí)題分析:7.數(shù)列{an}各項均為正數(shù),前n項和為An,數(shù)列{bn}的前n項和為Bn,