專題9胡不歸（8PA+kPB）型最短問(wèn)題-【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題9胡不歸(PA+kPB)型最短問(wèn)題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】已知拋物線y＝ax2+bx(a，b為常數(shù)，a≠0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)．(Ⅰ)求拋物線的解析式；(Ⅱ)點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC面積的最大值；(Ⅲ)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QA，求QC+QA的最小值．【例2】已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝OA．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)E(m，n)為拋物線上的一點(diǎn)，且0＜m＜6，連接AE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P．點(diǎn)F為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時(shí)，求EF+BF的最小值．(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥CM，交x軸于點(diǎn)Q，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．【例3】如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A(﹣2，m)、B(6，n)兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．(1)求一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PD的值最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將∠ADC沿x軸左右平移到∠AD′C′，在平移過(guò)程中，將該角繞點(diǎn)D′旋轉(zhuǎn)，使它的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊與直線AC交于點(diǎn)C′，若為△AD′C′等腰直角三角形，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)．【例4】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)證明：△ABM≌△EBN．(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)AM+BM+CM的值最小值為+1時(shí)，則正方形的邊長(zhǎng)為．【例5】問(wèn)題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+12(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+12BP的最小值為37(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，13AP+BP的最小值為23(3)拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值．【例6】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA=3OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，12HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求14AQ+．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)的條件下，①證明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值．2．問(wèn)題探究(1)如圖①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EFBE的值為12(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，對(duì)角線BD平分∠ABC，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，求AE+12問(wèn)題解決(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知點(diǎn)C(0，﹣4)，點(diǎn)D(3，0)連接CQ、DQ，那么DQ+22CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此時(shí)點(diǎn)3．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC+AM的最小值．4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x+7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求PM+AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)連接BC，當(dāng)△AOM與△ABC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，直線l1：y＝x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．直線l2：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及點(diǎn)C(1，0)．(1)求出直線l2的解析式．(2)在直線l2上是否存在點(diǎn)E，使△ABE與△ABO的面積相等，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CP以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，求H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最少用時(shí)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+和直線l2：y＝﹣x+b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C．(1)求△ABC的面積；(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF+CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF+OP的最小值；(3)將△OBC沿直線l1平移，平移后記為△O1B1C1，直線O1B1交l2于點(diǎn)M，直線B1C1交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△B1MN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2，0)，B(0，)，C(1，0)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)若M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ME，求MB+ME的最小值．8．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。虎诋?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2+2時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D(0，﹣3)，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AD：DE＝3：2．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，求MD+MA的最小值．10．二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，﹣3)．(1)a＝1，c＝﹣3；(2)如圖1，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D(0，1)在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，若S△MBC＝3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q．在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，當(dāng)6PQ﹣CQ的值最大時(shí)，求PM+MN+NB的最小值；(2)如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個(gè)單位得到△A“B′C“，那么在拋物線的對(duì)稱軸DM上，是否存在點(diǎn)T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)T到x軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．(1)連接BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，交拋物線于點(diǎn)N(點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè))，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求HF+FP+PC的最小值；(2)在(1)中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°＜α＜360°)，得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB的長(zhǎng)度，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點(diǎn)D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點(diǎn)D選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？【特例分析】若n＝2，則時(shí)間t＝+，當(dāng)a為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點(diǎn)D，使得+的值最?。鐖D②，過(guò)點(diǎn)C做射線CM，使得∠BCM＝30°．(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CM，垂足為E，試說(shuō)明：DE＝；(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′．【問(wèn)題解決】(3)請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題．(寫出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等)【綜合運(yùn)用】(4)如圖③，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段FC以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止．若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)求出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．14．如圖，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥AC交BC于點(diǎn)O．(1)求證：BO＝BC；(2)設(shè)AB＝k．①以O(shè)B為半徑的⊙O交BC邊于另一點(diǎn)P，點(diǎn)D為CA邊上一點(diǎn)，且CD＝2DA．連接DP，求S△CPD．②點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B合)，連接OQ，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求AQ+2OQ的最小值．15．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象和x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，(1)如圖1，P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)過(guò)P作PQ∥x軸交直線BC于Q，求線段PQ的最大值；(2)如圖2，點(diǎn)G為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，求BG+CG的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖3，在(2)的條件下，M為直線BG上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．16．如圖，△ABC是等邊三角形．(1)如圖1，AH⊥BC于H，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線AH向下移動(dòng)，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形；(3)在(1)的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)x＝AP+2PC，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為y，當(dāng)x取最小值時(shí)，寫出x，y的關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖①，四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，CB＝CD，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為6，則四邊形ABCD的面積為18．問(wèn)題探究：(2)如圖②，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，點(diǎn)D和E都是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足CD＝BE，連接AD、AE．求AD+AE的最小值；問(wèn)題解決：(3)某校準(zhǔn)備組織八年級(jí)同學(xué)開展一次去大明宮遺址公園的考古研學(xué)活動(dòng)．小凱和小鵬在去之前先做了一個(gè)模擬“藏寶圖”的游戲，為了使寶物隱藏得更神秘，小凱利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下方案，讓小鵬破解．如圖③，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向12m處，點(diǎn)P和Q都為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足PA＝8m，PB＝BQ，∠PBQ＝90°，當(dāng)線段AQ長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn)Q的位置即為藏寶地．請(qǐng)你幫助小鵬破解，藏寶地在點(diǎn)A的什么方向？距離點(diǎn)A多遠(yuǎn)？18．閱讀下列材料，然后解決問(wèn)題：和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng)，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．(1)如圖1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是2＜AD＜10；(2)問(wèn)題解決：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC，邊CD上的兩點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，求證：BE+DF＝(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，點(diǎn)D是△ABC外角平分線上一點(diǎn)，DE⊥AC交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)，且DF＝DB．求證：AC﹣AE=12【19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?34x2+94x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP交(1)如圖1，當(dāng)PQOQ值最大時(shí)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，求PN+NM?3(2)如圖2，連接AC，將△AOC沿射線CB方向平移，點(diǎn)A、C、O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作A1、C1、O1，當(dāng)C1B＝O1B時(shí)，連接A1B，O1B，將△A1O1B繞點(diǎn)O1沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得△A2O1B1，在直線x=12上是否存在點(diǎn)K，使得△A2B1K為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)K20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?23x2?23x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交(1)如圖1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線BC的解析式；(2)如圖1，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上找一點(diǎn)P，使得∠PDE＝45°，點(diǎn)M是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是直線EF上一點(diǎn)，MN∥AC，求PM+MN+NB的最小值；(3)如圖2，將△BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B'O'C'的位置，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B'，C'，點(diǎn)B'恰好落在BC上，點(diǎn)T為B'C'的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)H，將點(diǎn)T沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)K．點(diǎn)Q是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，將△QHK沿直線QH折疊為△QHK'，△BKK'是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=24x2+32x﹣22交x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A(1)如圖，點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|xD﹣xA|=22，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，分別與x軸、射線CB交于點(diǎn)F、E，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PD交線段AC于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形PQEF的面積最大時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)M，x軸上找一點(diǎn)N，使得PM+MN?3(2)如圖2，將△BOC沿著直線AC平移得到△B′O′C′，再將△B'O′C′沿B′C′翻折得到△B′O″C′，連接BC′、O″B，則△C′BO″能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)O″的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2+233x+833與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)(1)連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與端點(diǎn)B、D重合)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD，交拋物線于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在對(duì)稱軸的右側(cè))，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F，交BD于G，點(diǎn)M是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQG周長(zhǎng)取得最大時(shí)，求FG+GM+12(2)在(1)中，當(dāng)△PQG周長(zhǎng)取得最大，F(xiàn)G+GM+12MC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)M向下平移33個(gè)單位得到點(diǎn)M'，連接AM'，把△AOM'繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的度α(0＜α＜360°)，得到△A'OM''，其中邊A'M''交坐標(biāo)軸于點(diǎn)I．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)I，使得∠M''＝∠M''OI23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2+233x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與(1)如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q．在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，當(dāng)6PQ﹣CQ的值最大時(shí)，求PM+MN+55(2)如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個(gè)單位得到△A“B′C“，那么在拋物線的對(duì)稱軸DM上，是否存在點(diǎn)T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)T到x軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2?233x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y(1)若點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，當(dāng)△PCE的面積S△PCE最大時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)T從點(diǎn)Q開始出發(fā)，沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至y軸上的點(diǎn)F處，再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至x軸上的點(diǎn)G處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)至直線AC上的點(diǎn)H處，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及QF+FG+33(2)將△BOC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，邊BO所在直線與直線AC交于點(diǎn)M，將拋物線沿射線CA方向平移233個(gè)單位后，頂點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)R在y軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以點(diǎn)D′，R，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D，B(﹣3，0)，A(0，(1)求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，P為線段OB上(不與O、B重舍)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)N作NK⊥BA交BA于點(diǎn)K，當(dāng)△MNK與△MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q，使得12CQ+QN最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及12CQ+(3)如圖2，在(2)的條件下，將△ODN沿射線DN平移，平移后的對(duì)應(yīng)三角形為△O′D′N′，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1OC1的位置，且點(diǎn)C1恰好落在AC上，△A1D′N′是否能為等腰三角形，若能求出N′的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?33x2+233x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)(1)求直線BC的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接PB、PC．當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，在線段BC上找一點(diǎn)E(不與B、C重合)，使PE+12BE的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE+(3)如圖3，點(diǎn)G是線段CB的中點(diǎn)，將拋物線y=?33x2+233x+3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為F．在拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題9胡不歸(PA+kPB)型最短問(wèn)題經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】已知拋物線y＝ax2+bx(a，b為常數(shù)，a≠0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)．(Ⅰ)求拋物線的解析式；(Ⅱ)點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC面積的最大值；(Ⅲ)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QA，求QC+QA的最小值．【分析】(1)由頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)列方程即可得答案；(2)設(shè)P橫坐標(biāo)為m，用m的代數(shù)式表示△PAC面積即可得出答案；(3)將QC+QA化為(QC+QA)，屬“胡不歸”問(wèn)題，作sin∠ECD＝，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求垂線段即可．【解析】(1)∵拋物線y＝ax2+bx頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x，(2)過(guò)P作PQ交AC于Q，如答圖1：∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x，∴令y＝0得x1＝0，x2＝4，∴A(4，0)，設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將A(4，0)、C(2，4)代入得：，解得，∴直線AC解析式為y＝﹣2x+8，設(shè)P(m，﹣m2+4m)，則Q(m，﹣2m+8)，∴PQ＝(﹣m2+4m)﹣(﹣2m+8)＝﹣m2+6m﹣8，∴S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ＝PQ?(xA﹣xC)＝(﹣m2+6m﹣8)×(4﹣2)＝﹣m2+6m﹣8，當(dāng)m＝＝3時(shí)，S△PAC最大為1，∴△PAC面積的最大值是1；(3)∵QC+QA＝(QC+QA)，∴要使QC+QA最小，即是QC+QA最小，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于D，以C為頂點(diǎn)，CD為一邊，在對(duì)稱軸左側(cè)作∠ECD，使sin∠ECD＝，過(guò)A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，過(guò)Q作QF⊥CE于F，如答圖2：∵sin∠ECD＝，QF⊥CE，∴QF＝QC，∴QC+QA最小即是QF+QA最小，此時(shí)F與B重合，Q與Q′重合，QC+QA的最小值即是AB的長(zhǎng)度，∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°，∴∠ECD＝∠Q′AD，∵sin∠ECD＝，∴sin∠Q′AD＝，可得tan∠Q′AD＝，cos∠Q′AD＝，而A(4，0)、C(2，4)知DA＝2，∴Q′A＝，Q′D＝1，∴Q′C＝3，∵sin∠ECD＝，∴Q′B＝，∴AB＝Q′A+Q′B＝，∴QC+QA最小為，∴QC+QA最小為(QC+QA)＝8．【例2】已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝OA．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)E(m，n)為拋物線上的一點(diǎn)，且0＜m＜6，連接AE，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P．點(diǎn)F為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時(shí)，求EF+BF的最小值．(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥CM，交x軸于點(diǎn)Q，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．【分析】(1)令y＝0可得A坐標(biāo)，由OC＝OA得OC，即可得C的坐標(biāo)，代入y＝ax2﹣4ax﹣12a求出a，即可得拋物線解析式；(2)過(guò)E作EH⊥x軸于H，交BC于F'，過(guò)F作FQ⊥x軸于Q，Rt△BOC中，可得sin∠CBO＝＝，Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，可得FQ＝BF，要求EF+BF的最小即是求EF+BF的最小值，也是EF+FQ最小，此時(shí)E、F、Q共線，即F與F'重合，Q與H重合，EH的長(zhǎng)度即是EF+BF的最小值，求出E點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案；(3)將線段CQ向上平移，當(dāng)Q落到拋物線上的Q1處時(shí)，線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，繼續(xù)將線段向上平移，當(dāng)線段與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，Q移動(dòng)到Q2處，分別求出Q移動(dòng)到Q1、Q2處時(shí)的t值，即可得到答案．【解析】(1)在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C(0，3)，將C(0，3)代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；(2)過(guò)E作EH⊥x軸于H，交BC于F'，過(guò)F作FQ⊥x軸于Q，如圖：∵y＝﹣x2+x+3對(duì)稱軸為直線x＝2，∴P橫坐標(biāo)為2，即ON＝2，∴AN＝2﹣(﹣2)＝4，∵AP＝2PE，∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E橫坐標(biāo)為4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E(4，3)，由(1)可知：OC＝3，OB＝6，Rt△BOC中，BC＝＝3，∴sin∠CBO＝＝＝，∵EH⊥x軸，∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，∴FQ＝BF，而EF+BF＝(EF+BF)，∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此時(shí)E、F、Q共線，即F與F'重合，Q與H重合，EH的長(zhǎng)度即是EF+BF的最小值，∵EH＝|yE|＝3，∴EF+BF的最小值為3，∴EF+BF的最小值為；(3)將線段CQ向上平移，當(dāng)Q落到拋物線上的Q1處時(shí)，線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，繼續(xù)將線段向上平移，當(dāng)線段與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，Q移動(dòng)到Q2處，如圖：∵y＝﹣x2+x+3頂點(diǎn)M(2，4)，又C(0，3)，∴CM的解析式為y＝x+3，由MQ⊥CM，設(shè)MQ解析式為y＝﹣2x+b，將M(2，4)代入得：4＝﹣2×2+b，∴b＝8，∴MQ解析式為y＝﹣2x+8，在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，∴Q(4，0)，而C(0，3)，∴CQ解析式為y＝﹣x+3，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，與C1Q1重合時(shí)，則Q1(4，t)，代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，與C2Q2重合時(shí)，C2Q2解析式為y＝﹣x+3+t，由只有一個(gè)解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判別式Δ＝0，即()2﹣4×(﹣)?(﹣t)＝0，解得t＝，∴將線段CQ向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，3≤t＜．【例3】如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A(﹣2，m)、B(6，n)兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．(1)求一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PD的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將∠ADC沿x軸左右平移到∠AD′C′，在平移過(guò)程中，將該角繞點(diǎn)D′旋轉(zhuǎn)，使它的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊與直線AC交于點(diǎn)C′，若為△AD′C′等腰直角三角形，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；(2)在y軸上取一點(diǎn)E(0﹣，3)，作PH⊥DE于H．在Rt△ODE中，由OD＝4，OE＝3，推出DE＝5，可得sin∠ODE＝＝＝，推出PH＝PD，推出PA+PD＝PA+PH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，P，H共線且垂直DE時(shí)，PA+PD的值最小；(3)當(dāng)邊AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)有兩種情形：①如圖，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接AF交x軸于點(diǎn)D′，則F(2，﹣2)．由∠AD′C′＝45°，可知當(dāng)D′C′⊥AC時(shí)，△AC′D′是等腰直角三角形；②如圖，當(dāng)D′A⊥AC時(shí)，△AD′C′是等腰直角三角形．當(dāng)邊AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，有兩種情形：③當(dāng)△AD′C′是等腰直角三角形時(shí)，作AF⊥x軸于F，C′⊥AF交FA的延長(zhǎng)線于E．④當(dāng)AC′＝C′D′，△AD′C′是等腰直角三角形時(shí)，作C′F⊥x軸于F，C′E∥x軸，AE⊥A′E，則△C′FD′≌△C′EA．【解析】(1)∵A(﹣2，m)、B(6，n)兩點(diǎn)在y＝﹣上，∴m＝6，n＝﹣2，∴A(﹣2，6)，B(6，﹣2)，把A(﹣2，6)，B(6，﹣2)代入y＝ax+b，則有，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4．令y＝0，得到x＝4，∴D(4，0)，∵C，D關(guān)于y軸對(duì)稱，∴C(﹣4，0)．(2)在y軸上取一點(diǎn)E(0﹣，3)，作PH⊥DE于H．在Rt△ODE中，∵OD＝4，OE＝3，∴DE＝5，∴sin∠ODE＝＝＝，∴PH＝PD，∴PA+PD＝PA+PH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，P，H共線且垂直DE時(shí)，PA+PD的值最小．∵直線DE的解析式為y＝x﹣3，設(shè)AH′⊥DE于H′，∴直線AH′的解析式為y＝﹣x+，令y＝0，得到x＝，∴P′(，0)，由，解得，∴AH′＝＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)時(shí)，PA+PD的最小值為．(3)當(dāng)邊AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)有兩種情形：①如圖，將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接AF交x軸于點(diǎn)D′，則F(2，﹣2)．∵∠AD′C′＝45°，∴當(dāng)D′C′⊥AC時(shí)，△AC′D′是等腰直角三角形，∵A(﹣2，6)，C(﹣4，0)，∴直線AC的解析式為y＝3x+12，直線AF的解析式為y＝﹣2x+2，∴D′(1，0)，∴直線D′C′的解析式為y＝﹣x+，由，解得，∴C′(﹣，)．②如圖，當(dāng)D′A⊥AC時(shí)，△AD′C′是等腰三角形．∵直線AC的解析式為y＝3x+12，∴直線AD′的解析式為y＝﹣x+，∴D′(16，0)，設(shè)C′(m，3m+12)，∵AC′＝AD′，∴(m+2)2+(3m+12﹣6)2＝(16+2)2+62，解得m＝﹣8或﹣4(舍棄)，∴C′(﹣8，﹣12)，當(dāng)邊AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，有兩種情形：③當(dāng)△AD′C′是等腰直角三角形時(shí)，作AF⊥x軸于F，C′E⊥AF交FA的延長(zhǎng)線于E．∵D′(16，0)，∴OD′＝18，OA＝6，∵△AFD′≌C′EA(AAS)，∴EC′＝6，AE＝FD′＝18，∴C′(4，24)．④當(dāng)AC′＝C′D′時(shí)，作C′F⊥x軸于F，C′E∥x軸，AE⊥A′E，則△C′FD′≌△C′EA．設(shè)C′(m，3m+12)，∵C′F＝C′E，∴﹣3m﹣12＝﹣2﹣m，∴m＝﹣5，∴C′(﹣5，﹣3)．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣8，﹣12)或(4，24)或(﹣5，﹣3)．【例4】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)證明：△ABM≌△EBN．(2)當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)AM+BM+CM的值最小值為+1時(shí)，則正方形的邊長(zhǎng)為．【分析】(1)由題意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易證出△AMB≌△ENB；(2)根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)；(3)過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出∠EBF＝30°，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為．【解析】(1)∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN，即∠BMA＝∠NBE又∵M(jìn)B＝NB，∴△AMB≌△ENB；(2)如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最?。碛扇缦拢哼B接MN，由(1)知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．(3)正方形的邊長(zhǎng)為．如圖，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴，解得，(舍去負(fù)值)∴正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【例5】問(wèn)題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP、BP，求AP+12(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+12BP的最小值為37(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的情況下，13AP+BP的最小值為23(3)拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值．【分析】(1)利用勾股定理即可求出，最小值為AD=37(2)連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=23，則有CDCP=CPCA=13，可證△PCD∽△ACP，得到PD=13AP，即：13AP+BP(3)延長(zhǎng)OA到點(diǎn)E，使CE＝6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值．【解析】(1)如圖1，連結(jié)AD，∵AP+12BP＝AP+PD，要使AP+∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值為在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD=AAP+12BP的最小值為37，故答案為：(2)如圖2，連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PDAP∴PD=13∴13AP+BP＝BP+PD∴同(1)的方法得出13AP+BP的最小值為BD=故答案為：23(3)如圖3，延長(zhǎng)OA到點(diǎn)E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，連接PE、OP，∵OA＝3，∴OAOP∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP＝2PA，∴2PA+PB＝EP+PB，∴當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為：BE=O【例6】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA=3OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，12HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求14AQ+【分析】(1)求出A、B、C的坐標(biāo)，利用兩根式求出拋物線的解析式即可；(2)求出直線AH的解析式，根據(jù)方程即可解決問(wèn)題；(3)首先求出⊙H的半徑，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK=14，此時(shí)K(?738，?158)，由HQ2＝HK?HA，可得△QHK∽△AHQ，推出KQAQ=HQAH=14，可得KQ=14AQ，推出14AQ+QE＝KQ+【解析】(1)由題意A(3，0)，B(﹣33，0)，C(0，﹣3)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+33)(x?3把C(0，﹣3)代入得到a=1故拋物線的解析式為y=13x2+(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC=OC∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D(0，﹣1)，∴直線AD的解析式為y=33由題意P(m，13m2+233m﹣3)，H(m，33m∵FH＝PH，∴1?33m=33m﹣1﹣(13解得m=?3或3∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為?3(3)如圖，∵PF是對(duì)稱軸，∴F(?3，0)，H(?∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO=3OA∴E(0，3)，∵C(0，﹣3)，∴HC=(3)2+∴QH=12在HA上取一點(diǎn)K，使得HK=14，此時(shí)K(?7∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴HQAH∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴KQAQ∴KQ=14∴14AQ+QE＝KQ+EQ∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，14AQ+QE的值最小，最小值=培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．(1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)的條件下，①證明：AE⊥DE；②若CD＝2，AB＝4，點(diǎn)M，N分別是AE，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值．【分析】(1)利用尺規(guī)作出∠ADC的角平分線即可；(2)①延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F．只要證明AD＝AF，DE＝EF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB＝MK，推出MB+MN＝KM+MN，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)；【解析】(1)如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示．(2)①解法一：在DA上截取DG＝CD，連接GE，由(1)知∠GDE＝∠CDE，又DE＝DE，∴△GDE≌△CDE，∴∠DGE＝∠C＝90°，∠DEC＝∠DEC，在△AGE和△ABE中，∠AGE＝∠ABE＝90°，而AD＝AG+DG＝AB+CD，DG＝CD，∴AG＝AB，又AE＝AE，∴Rt△AEG≌Rt△AEB∴∠AEG＝∠AEB，∴∠DEG+∠AEG＝∠DEC+∠AEB＝90°，即∠AED＝90°，故AE⊥DE．解法二：延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F．∵CD∥AF，∴∠CDE＝∠F，∵∠CDE＝∠ADE，∴∠ADF＝∠F，∴AD＝AF，∵AD＝AB+CD＝AB+BF，∴CD＝BF，∵∠DEC＝∠BEF，∴△DEC≌△FEB，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DE．②作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，∴AK＝AB＝4，在Rt△ADG中，DG=AD2∵KH∥DG，∴KHDG∴KH4∴KH=8∵M(jìn)B＝MK，∴MB+MN＝KM+MN，∴當(dāng)K、M、N共線，且與KH重合時(shí)，KM+MN的值最小，最小值為KH的長(zhǎng)，∴BM+MN的最小值為822．問(wèn)題探究(1)如圖①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EFBE的值為12(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，對(duì)角線BD平分∠ABC，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，求AE+12問(wèn)題解決(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知點(diǎn)C(0，﹣4)，點(diǎn)D(3，0)連接CQ、DQ，那么DQ+22CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此時(shí)點(diǎn)【分析】(1)由已知可得BE＝2EF；(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，交BD于點(diǎn)E，則EF=12BE，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+12BE的值最小，在Rt△ABF中，求出(3)由P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以確定Q點(diǎn)在直線AC上，求出直線AC的解析式為y＝x﹣4，作D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，過(guò)點(diǎn)D'作D'H⊥y軸，交直線AC于點(diǎn)Q，則HD'即為所求；可得HQ=22CQ，由對(duì)稱性可得：DQ＝D'Q，所以DQ+22CQ＝D'Q+HQ＝HD'即為最??；求得D'(4，﹣1)，則HD'＝4，所以DQ+22CQ的最小值為4；此時(shí)Q(3，﹣1)，設(shè)P(x，4﹣x)，則有x2+(【解析】(1)∵∠B＝30°，EF⊥BC，∴BE＝2EF，∴EFBE故答案為12(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，交BD于點(diǎn)E，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴EF=12∴AE+12BE＝AE+當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+12在Rt△ABF中，AB＝6，∴AF＝33，∴AE+12BE的最小值3(3)∵等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°，P點(diǎn)在直線y＝﹣x+4上，∴Q點(diǎn)在直線AC上，∵A(4，0)，C(0，﹣4)，∴直線AC的解析式為y＝x﹣4，作D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，過(guò)點(diǎn)D'作D'H⊥y軸，交直線AC于點(diǎn)Q，則HD'即為所求；∵∠BCA＝45°，∴HQ=22由對(duì)稱性可得：DQ＝D'Q，∴DQ+22CQ＝D'Q+HQ＝∵D(3，0)，∴D'(4，﹣1)，∴HD'＝4，∴DQ+22此時(shí)Q(3，﹣1)，設(shè)P(x，4﹣x)，則有x2+(x﹣4)2＝10，∴x＝1或x＝3，∴P(1，3)或P(3，﹣1)(舍)；綜上所述：DQ+22CQ的最小值為4，此時(shí)3．已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC+AM的最小值．【分析】(1)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，利用tan∠CAB?tan∠CBA＝1和一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系求解；(2)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，得到x軸是角平分線，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'(0，﹣2)，直線AC'的解析式，聯(lián)立拋物線求交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)此題為胡不歸模型，構(gòu)建模型求解．【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，∴x1?x2＝﹣2C，∵tan∠CAB?tan∠CBA＝1，即＝1，∴OC2＝OA?OB＝(﹣x1)?x2＝2C，即C2＝2C，解得C1＝0(舍去)，C2＝2，∴拋物線y＝﹣x2﹣x+2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，故點(diǎn)A(﹣4，0)，點(diǎn)B(1，0)；(2)△PAC的內(nèi)切圓圓心正好落在x軸上，則x軸為∠CAP的角平分線，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'(0，﹣2)，設(shè)直線AC'的解析式為y＝kx+b，將點(diǎn)A(﹣4，0)，C'(0，﹣2)代入，得，解得，∴直線AC'的解析式為y＝x﹣2，聯(lián)立拋物線與直線得，解得，，故點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣2，3)；(3)過(guò)點(diǎn)A作直線AD，使sin∠OAD＝，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，如圖，在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，∴ME＝AM，∴MC+AM＝MC+ME，當(dāng)點(diǎn)M、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，MC+ME最小為CE，∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，∴∠EAM＝∠OCM，在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，∴tan∠OCM＝＝＝，cos∠OAD＝＝，∴OM＝1，CM＝，∴AM＝4﹣1＝3，在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，∴EM＝3?sin∠OAD＝，∴MC+ME＝+＝．故MC+AM的最小值．4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x+7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求PM+AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)連接BC，當(dāng)△AOM與△ABC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】(1)在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0，解得x＝﹣7或x＝1，即得A(﹣7，0)，B(1，0)；(2)過(guò)P作PN⊥x軸于N，交AC于M，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣3，在y＝﹣x2﹣6x+7中，得C(0，7)，可得sin∠CAB＝＝＝，在Rt△AMN中，MN＝AM，故PM+AM最小，即是PM+MN最小，PM+AM的最小值即為PN的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)P，C(0，7)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝﹣3對(duì)稱，即得PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值為7，由A(﹣7，0)，C(0，7)得直線AC解析式為y＝x+7，可求出M(﹣6，)；(3)過(guò)M作MH⊥x軸于H，過(guò)M'作M'G⊥x軸于G，△AOM與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△ABC∽AMO時(shí)，＝，可得AM＝，由△AMH∽△ACO，即得M(﹣，)，②當(dāng)△ABC∽△AOM'時(shí)，＝，得AM'＝，同理可得M'(﹣，)．【解析】(1)在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，∴A(﹣7，0)，B(1，0)；(2)過(guò)P作PN⊥x軸于N，交AC于M，如圖：拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣3，在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，∴C(0，7)，∴AC＝＝7，∴sin∠CAB＝＝＝，在Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠CAB＝AM，∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂線段最短可知PM+AM的最小值即為PN的長(zhǎng)，∵點(diǎn)P，C(0，7)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝﹣3對(duì)稱，∴PN與OC關(guān)于拋物線y＝﹣x2﹣6x+7的對(duì)稱軸直線x＝﹣3對(duì)稱，P(﹣6，7)，∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值為7，由A(﹣7，0)，C(0，7)得直線AC解析式為y＝x+7，在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，∴M(﹣6，)；(3)過(guò)M作MH⊥x軸于H，過(guò)M'作M'G⊥x軸于G，如圖：∵A(﹣7，0)，B(1，0)，C(0，7)，∴AB＝8，AC＝7，∵∠MAO＝∠BAC，∴△AOM與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△ABC∽AMO時(shí)，＝，∴＝，∴AM＝，∵M(jìn)H⊥x軸，∴MH∥OC，∴△AMH∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，∴AH＝，MH＝，∴OH＝OA﹣AH＝，∴M(﹣，)，②當(dāng)△ABC∽△AOM'時(shí)，∴＝，即＝，∴AM'＝，同理可得＝＝，∴＝＝，∴AG＝，M'G＝，∴OG＝OA﹣AG＝，∴M'(﹣，)，綜上所述，當(dāng)△AOM與△ABC相似時(shí)，M坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣，)．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，直線l1：y＝x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．直線l2：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及點(diǎn)C(1，0)．(1)求出直線l2的解析式．(2)在直線l2上是否存在點(diǎn)E，使△ABE與△ABO的面積相等，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CP以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，求H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最少用時(shí)．【分析】(1)利用C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+b，解方程組即可解決問(wèn)題；(2)存在．如圖1中，作OE∥AB交CD于E．由AB∥OE，可得S△ABE＝S△ABO，構(gòu)建方程組求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可；(3)如圖2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由題意H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間t＝+＝(PC+)，易知∠MDA＝∠BAO＝45°，推出PH＝，推出t＝(PC+PH)，根據(jù)此線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)H與H′共線時(shí)，t的值最小，最小值＝CH′；【解析】(1)由題意A(﹣2，0)，B(0，2)，D(4，6)，C(1，0)，則有，解得，∴直線l2的解析式為y＝2x﹣2．(2)存在．①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，如圖1中，作OE∥AB交CD于E．∵AB∥OE，∴S△ABE＝S△ABO，∵直線OE的解析式為y＝x，由，解得，∴E(2，2)．②當(dāng)點(diǎn)E′在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，由，解得，∴E′(6，10)．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為(2，2)或(6，10)．(3)如圖2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由題意H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間t＝+＝(PC+)，∵A(﹣2，0)，B(0，2)，∴OA＝OB，∴∠MDA＝∠BAO＝45°，∴PH＝，∴t＝(PC+PH)，根據(jù)此線段最短可知，點(diǎn)H與H′共線時(shí)，t的值最小，最小值＝CH′＝3s，∴H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最少用時(shí)為3s．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+和直線l2：y＝﹣x+b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C．(1)求△ABC的面積；(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF+CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF+OP的最小值；(3)將△OBC沿直線l1平移，平移后記為△O1B1C1，直線O1B1交l2于點(diǎn)M，直線B1C1交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△B1MN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)．【分析】(1)根據(jù)題意分別求出A，C點(diǎn)的坐標(biāo)，S△ABC＝×AC×OB．(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′(﹣1，2)，連接C'E交直線l1于F，作二、四象限的角平分線l3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l3于Q，則PQ＝OP，可得PF+OP＝FP+PQ，推出當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)最小，即過(guò)F作PQ⊥l3于Q交y軸于P，作FG∥OB交直線l3于G．求出FQ即可；(3)分四種情形分別求解即可解決問(wèn)題；【解析】(1)由題意知：b＝∴直線l2：y＝﹣x+當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1∴C(1，0)∵直線l1：y＝∴當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，∴x＝﹣3∴A(﹣3，0)∴S△ABC＝×[1﹣(﹣3)]×＝2；(2)在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝32+()2＝12在Rt△BOC中，BC2＝OC2+OB2＝12+()2＝4∵在△ABC中，AB2+BC2＝12+4＝16＝AC2∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥BC作C點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′(﹣1，2)，連接C'E交直線l1于F，∵C'(﹣1，2)E(5，0)∴直線C'E：y＝﹣x+解得：∴F(1，)作二、四象限的角平分線l3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l3于Q，則PQ＝OP，∴PF+OP＝FP+PQ，當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)最小，即過(guò)F作PQ⊥l3于Q交y軸于P，作FG∥OB交直線l3于G．此時(shí)△FQG為等腰直角三角形，斜邊FG＝，∴PF+OP的最小值為：FQ＝FG＝+(3)①如圖2中，當(dāng)B1M＝B1N時(shí)，∵點(diǎn)C1中直線y＝x﹣上運(yùn)動(dòng)，設(shè)C1(m，m﹣)，B1O1交x軸于E，則EB1＝+m﹣＝+m，OE＝＝+m，MB1＝NB1＝2OE＝+m，∴M(m﹣1，+m++m)，把點(diǎn)M坐標(biāo)代入直線y＝﹣x+，得到：+m++m＝﹣(m﹣1)+，解得m＝．②如圖3中當(dāng)MN＝MB1時(shí)，同法可得M(m﹣1，+m)，把點(diǎn)M代入y＝﹣x+得到，+m＝﹣(m﹣1)+，解得，m＝．③如圖4中，當(dāng)B1M＝B1N時(shí)，同法可得M(m﹣1，﹣+m﹣m)，把點(diǎn)M代入y＝﹣x+得到，﹣+m﹣m＝﹣(m﹣1)+，解得m＝．④如圖5中，當(dāng)NM＝NB1時(shí)，同法可得M(m﹣1，+m)，把點(diǎn)M代入y＝﹣x+得到，﹣(+m)＝﹣(m﹣1)+，解得m＝4，綜上所述，C1的橫坐標(biāo)為：或或或4．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2，0)，B(0，)，C(1，0)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)若M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ME，求MB+ME的最小值．【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)分CP＝BC、BP＝BC、CP＝BP三種情況，利用菱形的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)，分別求解即可；(3)如圖，連接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此時(shí)BM+MD最小，進(jìn)而求解．【解析】(1)將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x+；(2)由函數(shù)的表達(dá)式知，函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣，故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，m)．∵C(1，0)，B(0，)，∴BC2＝1+3＝4，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+，①以C為圓心BC為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)CP＝BC，則(+1)2+m2＝4，解得m＝±，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(﹣，)或P2(﹣，﹣)(舍去)；②以B為圓心BC為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BP＝BC，則()2+(m﹣)2＝4，解得m1＝+或m2＝﹣，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P3(﹣，+)或P4(﹣，﹣)(舍去)；③線段BC的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)CP＝BP，則(+1)2+m2＝()2+(﹣m)2，解得m＝，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P5(﹣，)；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣，+)或(﹣，)；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣，)時(shí)，∵BC∥PQ，故直線PQ的表達(dá)式為y＝﹣x+t，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式得：＝﹣×(﹣)+t，解得t＝，故直線PQ的表達(dá)式為y＝﹣x+，則設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，其中y＝﹣x+，由菱形的性質(zhì)知，BP的中點(diǎn)即為CQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：(x﹣)＝(0+1)，解得x＝﹣，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣x+＝，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣，)，同理可得，點(diǎn)P(﹣，+)或(﹣，)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(，)或(，)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣，)或(，)或(，)；(3)如圖，連接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此時(shí)BM+ME最?。碛桑骸逴C＝1，OB＝，∴tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，∴MH＝BM，∴BM+MD＝MH+EM＝EH，∴此時(shí)BM+MD最短，在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝，∠HCE＝60°，∴sin60°＝，∴EH＝，∴BM+MD的最小值為．8．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2+2時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．【分析】(1)由題意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易證出△AMB≌△ENB；(2)①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最??；②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)(如圖)；(3)作輔助線，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出∠EBF＝30°，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為2．【解答】(1)證明：∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵M(jìn)B＝NB，∴△AMB≌△ENB(SAS)．(2)解：①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小．②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最?。碛扇缦拢哼B接MN，由(1)知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，若E、N、M、C在同一條直線上時(shí)，EN+MN+CM取得最小值，最小值為EC．在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，∴若連接EC，則∠BEC＝∠BCE，∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同時(shí)在直線EC上．∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．(3)解：過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF＝x，EF＝．在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴()2+(x+x)2＝(2+2)2．解得x1＝2，x2＝﹣2(舍去負(fù)值)．∴正方形的邊長(zhǎng)為2．9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c(a≠0)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D(0，﹣3)，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且AD：DE＝3：2．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，求MD+MA的最小值．【分析】(1)先把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x+b中求得b，則一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，于是可確定A(﹣6，0)，作EF⊥x軸于F，如圖，利用平行線分線段成比例求出OF＝4，接著利用一次函數(shù)解析式確定E點(diǎn)坐標(biāo)為(4，﹣5)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；(2)作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，如圖，則D′(0，3)，利用勾股定理得到AD＝3，再證明Rt△AMH∽R(shí)t△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA的值最小，然后證明Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA，利用相似比求出D′H即可．【解析】(1)把D(0，﹣3)代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A(﹣6，0)，作EF⊥x軸于F，如圖，∵OD∥EF，∴＝＝，∴OF＝OA＝4，∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x﹣3＝﹣5，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4，﹣5)，把A(﹣6，0)，E(4，﹣5)代入y＝ax2+4ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x+3；(2)作MH⊥AD于H，作D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，如圖，則D′(0，3)，在Rt△OAD中，AD＝＝3，∵∠MAH＝∠DAO，∴Rt△AMH∽R(shí)t△ADO，∴＝，即＝，∴MH＝AM，∵M(jìn)D＝MD′，∴MD+MA＝MD′+MH，當(dāng)點(diǎn)M、H、D′共線時(shí)，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時(shí)MD+MA的值最小，∵∠D′DH＝∠ADO，∴Rt△DHD′∽R(shí)t△DOA，∴＝，即＝，解得D′H＝，∴MD+MA的最小值為．10．二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，﹣3)．(1)a＝1，c＝﹣3；(2)如圖1，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D(0，1)在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，若S△MBC＝3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】(1)利用待定系數(shù)法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組即可即可；(2)如圖1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝(PD+PC)＝(PD+PH)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)DP+PC最小，最小值為DH′；(3)如圖2中，取點(diǎn)E(1，0)，作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝?BC?EG＝?3＝3，推出過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于M1，M2，則＝3，＝3，求出直線M1M2的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題，同法求出M3，M4的坐標(biāo)．【解析】(1)把C(3，0)，B(0，﹣3)代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案為1，﹣3．(2)如圖1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝(PD+PC)＝(PD+PH)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)DP+PC最小，最小值為DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值為?2＝4．(3)如圖2中，取點(diǎn)E(1，0)，作EG⊥BC于G，易知EG＝．∵S△EBC＝?BC?EG＝?3＝3，∴過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于M1，M2，則＝3，＝3，∵直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴直線M1M2的解析式為y＝x﹣1，由解得或，∴M1(，)，M2(，)，根據(jù)對(duì)稱性可知，直線M1M2關(guān)于直線BC的對(duì)稱的直線與拋物線的交點(diǎn)M3、M4也滿足條件，易知直線M3M4的解析式為y＝x﹣5，由解得或，∴M3(1．﹣4)，M4(2，﹣3)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為∴M1(，)，M2(，)，M3(1．﹣4)，M4(2，﹣3)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q．在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，當(dāng)6PQ﹣CQ的值最大時(shí)，求PM+MN+NB的最小值；(2)如圖2，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個(gè)單位得到△A“B′C“，那么在拋物線的對(duì)稱軸DM上，是否存在點(diǎn)T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)T到x軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)待定系數(shù)法求得直線BC解析式為y＝x+，設(shè)P(m，m2+m+)，可得：PQ＝m2+m，CQ＝m；由6PQ﹣CQ＝6(m2+m)﹣m＝﹣2(m﹣)2+，可得P(，)，利用直角三角形作出線段NT＝NB，作點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)P′，∵PM+MN+NB＝P′M+MN+NT，故PM+MN+NB最小值，即P′，M，N，T在同一直線上，并且P′T⊥BK時(shí)，垂線段P′T的長(zhǎng)度即為所求最小值．(2)存在．先求得：A′(3，﹣4)，B′(4，0)，設(shè)T(1，t)，由△A′B′T為等腰三角形，可以分三種情形進(jìn)行討論：①A′T＝B′T，②A′T＝A′B′，③B′T＝A′B′，分別求得點(diǎn)T的縱坐標(biāo)，即可得點(diǎn)T到x軸的距離．【解析】(1)在拋物線y＝﹣x2+x+中，令x＝0，得y＝，∴C(0，)，令y＝0，得0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，BC＝2，設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線BC解析式為y＝x+，設(shè)P(m，m2+m+)，則Q(m，m+)，PQ＝m2+m，CQ＝m∴6PQ﹣CQ＝6(m2+m)﹣m＝﹣2(m﹣)2+，∵﹣2＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，6PQ﹣CQ的值最大，此時(shí)，P(，)，由y＝﹣x2+x+＝(x﹣1)2+，得拋物線對(duì)稱軸為：x＝1，作點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)P′(，)，在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)K(0，﹣)，連接BK交對(duì)稱軸于S，則BK＝過(guò)P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y軸交BK于點(diǎn)W，在△BNT中，＝tan∠OBK＝，∴NT＝NB，∴線段P′T長(zhǎng)度為PM+MN+NB最小值，∵B(3，0)，K(0，﹣)，∴直線BK解析式為y＝x，∴W(，)，P′W＝﹣()＝，∵P′W∥y軸，∴∠P′WT＝∠BKO∵∠P′TW＝∠BOK＝90°∴△P′WT∽△BKO∴＝，P′T＝×＝，∴PM+MN+NB最小值＝．(2)存在．∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個(gè)單位得到△A“B′C“，∴A′(3，﹣4)，B′(4，0)，∵點(diǎn)T在拋物線對(duì)稱軸直線x＝1上，∴設(shè)T(1，t)∵△A′B′T為等腰三角形，∴分三種情形：①A′T＝B′T，(3﹣1)2+(﹣4﹣t)2＝(4﹣1)2+(0﹣t)2，解得：t＝，∴此時(shí)T到x軸的距離為；②A′T＝A′B′，(3﹣1)2+(﹣4﹣t)2＝(3﹣4)2+(﹣4﹣0)2，解得：t＝﹣4+或﹣4﹣，∴此時(shí)T到x軸的距離為4﹣或4+；③B′T＝A′B′，(4﹣1)2+(0﹣t)2＝(3﹣4)2+(﹣4﹣0)2，解得：t＝2或﹣2，∴此時(shí)T到x軸的距離為2；綜上所述，T到x軸的距離為或4﹣或4+或2．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．(1)連接BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，交拋物線于點(diǎn)N(點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè))，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求HF+FP+PC的最小值；(2)在(1)中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°＜α＜360°)，得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)先確定點(diǎn)F的位置，可設(shè)點(diǎn)N(m，m2﹣2m﹣3)，則點(diǎn)F(m，2m﹣6)，可得|NF|＝(2m﹣6)﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2+4m﹣3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得m＝＝2時(shí)，NF取到最大值，此時(shí)MN取到最大值，此時(shí)HF＝2，此時(shí)F(2，﹣2)，在x軸上找一點(diǎn)K(，0)，連接CK，過(guò)點(diǎn)F作CK的垂線交CK于點(diǎn)J點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：y＝，從而得到直線FJ的解析式為：y＝聯(lián)立解出點(diǎn)J(，)得FP+PC的最小值即為FJ的長(zhǎng)，且|FJ|＝最后得出|HF+FP+PC|min＝；(2)由題意可得出點(diǎn)Q(0，﹣2)，AQ＝，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半”取AQ的中點(diǎn)G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時(shí)，∠AQO＝∠GOQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°＜α＜360°)，得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G，則用OG＝GQ'，分四種情況求解．【解析】(1)如圖1∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)∵點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，且＝＝1，＝＝﹣4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(1，﹣4)∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，由題意，可設(shè)點(diǎn)N(m，m2﹣2m﹣3)，則點(diǎn)F(m，2m﹣6)∴|NF|＝(2m﹣6)﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2+4m﹣3∴當(dāng)m＝＝2時(shí)，NF取到最大值，此時(shí)MN取到最大值，此時(shí)HF＝2，此時(shí)，N(2，﹣3)，F(xiàn)(2，﹣2)，H(2，0)在x軸上找一點(diǎn)K(，0)，連接CK，過(guò)點(diǎn)F作CK的垂線交CK于點(diǎn)J點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，∴sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：y＝，且點(diǎn)F(2，﹣2)，∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：y＝∴點(diǎn)J(，)∴FP+PC的最小值即為FJ的長(zhǎng)，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝；(2)由(1)知，點(diǎn)P(0，)，∵把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q∴點(diǎn)Q(0，﹣2)∴