2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷★?？荚図樌?含答案)一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合，集合，，則（）A． B． C． D．2．已知為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．3．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、千燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，每人只能去一個(gè)地方，周莊一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．5．關(guān)于直線，有下列四個(gè)命題：甲：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 乙：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；丙：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)； ?。海绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．已知的外心為，，則的值是（）A． B． C． D．7．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，線段與另一條漸近線交于點(diǎn)，且的面積是面積的倍，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分．）9．已知，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．10．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）A．三棱錐的體積是B．平面C．平面與平面所成的二面角為D．異面直線與所成角的范圍是11．已知函數(shù)的圖象上，對(duì)中心與對(duì)稱軸的最小距離為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，則D．若，，則的值為12．函數(shù)，若時(shí)，有，是圓周率，…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．，，，，，，則最大三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)是．14．請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件“對(duì)任意的恒成立，且在上不是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)：．15．已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的公共點(diǎn)是，則直線的斜率．16．無(wú)人偵察機(jī)在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中扮演著非常重要的角色，我國(guó)最新款的無(wú)人偵察機(jī)名叫“無(wú)偵-”．無(wú)偵-（如圖1所示）是一款以偵察為主的無(wú)人機(jī)，它配備了臺(tái)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，動(dòng)力強(qiáng)勁，據(jù)報(bào)道它的最大飛行速度超過(guò)馬赫，比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快如圖2所示，已知空間中同時(shí)出現(xiàn)了，，，四個(gè)目標(biāo)（目標(biāo)和無(wú)人機(jī)的大小忽略不計(jì)），其中，，，且目標(biāo)，，所在平面與目標(biāo)，，所在平面滿足二面角的大小是，若無(wú)人機(jī)可以同時(shí)觀察到這四個(gè)目標(biāo)，則其最小偵測(cè)半徑為．圖1圖2四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．）17．設(shè)，，分別是中角，，的對(duì)邊，．（1）求；（2）若，求面積的最大值．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．19．已知中，，，，，為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，將三角形沿折起至如圖所示，使平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值的取值范圍．20．隨著我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，自媒體業(yè)飛速發(fā)展起來(lái)，抖音、快手、微信視頻號(hào)等等視頻自媒體APP，幾乎是全民參與．某中學(xué)社會(huì)調(diào)研社團(tuán)研究抖音在生活中的普及程度，走向街頭巷尾、公園，各行各業(yè)辦公室，對(duì)市民進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的人發(fā)過(guò)抖音小視頻．為進(jìn)一步研究，從這些被采訪的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個(gè)人被選到的可能性相等．（1）記表示發(fā)過(guò)抖音視頻的人數(shù)，求的分布列；（2）隨著研究人群范圍的擴(kuò)大，為提高效率，研究組在對(duì)某些行業(yè)人群集中調(diào)研時(shí)，先隨機(jī)抽取一人，如果他發(fā)過(guò)抖音小視頻，就不再對(duì)該群體中其他人進(jìn)行調(diào)查，如果沒(méi)有發(fā)過(guò)抖音小視頻，則繼續(xù)隨機(jī)抽取，直到抽到一名發(fā)過(guò)抖音小視頻的人為止，并且規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過(guò)次，（其中小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù)），在抽樣結(jié)束時(shí)，抽到的沒(méi)發(fā)過(guò)抖音視頻的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．21．已知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且在直線的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線分別交直線于，兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2021年5月2021屆湖北省鄂東南省示范高中改革聯(lián)盟學(xué)校高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1-8BBABCDCD9-12BCABBDABD13．14．【答案不唯一】15．16．17．解：（1），，，，．，．（2），，即．，，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．面積的最大值為．18．解：（1）由，得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，．當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．（2），，，，．因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以，即．19．解：（1）證明：由題意知，，而平面，平面，，平面，，平面．又平面，平面平面．（2）【解法一】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為平面和平面的交線．過(guò)作于，連接．平面，，又，平面，所以即為平面與平面所成的角；設(shè)，則，，且，在中，，．令，則．【解法二】設(shè)，則，，且．由（1）知，，兩兩互相垂直，分別以，，為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則，解得．取，又平面的法向量為，所以，，所以．所以平面和平面所成的銳二面角的余弦值的取值范圍是．20．解：（1）由題意知，故的所有可能為，，，．，，，，的分布列為（2）依題意，的所有可能的值是，，，…，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，①，②由①②，得，，．21．解：（1）設(shè)，則，解得（負(fù)值舍去）．（2）不妨設(shè)，，，，．設(shè)過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線方程為，①由，得，由得，所以，，在①中令得，，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．22．解：（1），，所以是的一個(gè)零點(diǎn)．令，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．又，且，所以在上存在唯一零點(diǎn)，則在上亦存在唯一點(diǎn)．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上也存在唯一零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．（2）不等式恒成立，即不等式恒成立．令，則等價(jià)于不等式……（1）恒成立，①若，即時(shí)，不等式（1）顯然成立，此時(shí)；②若時(shí)，不等式（