浙教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列 專題1.5 平行線全章五類必考?jí)狠S題（教師版）

專題1.5平行線全章五類必考?jí)狠S題【浙教版】1．已知，AB∥CD，F(xiàn)、G分別為直線AB、CD上的點(diǎn)，E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接EF、EG．(1)如圖（1），請(qǐng)直接寫出∠AFE、∠CGE與∠FEG之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖（2），過(guò)點(diǎn)E作EM⊥EF、EH⊥EG交直線AB上的點(diǎn)M、H，點(diǎn)N在EH上，過(guò)N作PQ∥EF，求證：∠HNQ=∠MEG．(3)如圖（3），在（2）的條件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度數(shù)．【分析】（1）如圖，過(guò)E作MN∥CD，根據(jù)平行公理得AB∥CD∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，對(duì)角進(jìn)行加減運(yùn)算即可求；（2）根據(jù)垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠FEH=∠HNP，根據(jù)鄰補(bǔ)角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代換即可求得結(jié)果；（3）結(jié)合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，結(jié)合已知和鄰補(bǔ)角得∠HNQ=180°?∠EMF，由（2）的結(jié)論得∠EMF+110°=180°?∠EMF求出∠EMF=35°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠MFE=55°依據(jù)PQ∥EF，AB∥CD利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，即∠AFE+∠CGE=∠FEN；（2）證明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，∴∠MEG+∠FEH=360°?∠MEF+∠HEG∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，∴∠HNQ=∠MEG；（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，∴∠EMF+110°=∠MEG，∵∠HNQ=180°?∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，∴∠HNQ=180°?∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，∴∠EMF+110°=180°?∠EMF，解得：∠EMF=35°，∴∠MFE=180°?∠MEF?∠EMF=180°?90°?35°=55°，∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，∵AB∥CD，∴∠CQP=180°?∠MPQ=180°?55°=125°．2．已知直線AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在直線AB，CD上．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時(shí)，連接PE，QE．探究∠PEQ與∠BPE+∠DQE(2)如圖②，在①的條件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交點(diǎn)為F．求∠PFQ(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD的下方時(shí)，連接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F．若∠E=40°時(shí)，求【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，則∠BPE=∠PEM，EM∥（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根據(jù)角平分線的定義得出∠BPF=1（3）過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CQE=220°?∠BPE，同（1）【詳解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥CD∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，（2）∠PFQ=1∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，∴∠PFQ=1即∠PFQ=1（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN∥∴∠PEN=∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=1∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∥∴∠CQE=180°?∠NEQ=180°?∠PEN?∠PEQ由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD==110°．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，(1)如圖1，求證：EF∥(2)如圖2，EN為∠BEF的角平分線，交GH于點(diǎn)P，連接FN，求證：∠N=∠HPN?∠NFH；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥GH于點(diǎn)M，作∠AGH的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行即可求證；（2）如圖所示（見詳解），過(guò)點(diǎn)N作NR∥CD，根據(jù)平行性的性質(zhì)，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；（3）設(shè)∠ENF=3α，則∠GQH=α+3，根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作NR∥CD，∴∠NFH=∠FNR，∵AB∥CD，∴∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN?∠NFH．（3）解：如圖所示，設(shè)∠ENF=3α，則∠GQH=α+3，∵AB∥CD，∴∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，∴∠BEF=180°?∠AEF=174°?2α，∴∠BEN=1∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∴∠DFM=90°?∠EFD=90°?(2α+6)=84°?2α，∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°?α，∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°?α+3α=42°+2α，∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°?α=42°+2α，∴∴∠AEF=2α+6=36°，故∠AEF的度數(shù)為36°．4．已知：直線AB∥CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、直線CD上，點(diǎn)

(1)如圖1，請(qǐng)寫出∠AME、∠E、∠ENC之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(2)如圖2，利用（1）的結(jié)論解決問(wèn)題，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如圖3，點(diǎn)G為CD上一點(diǎn)，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于點(diǎn)H，請(qǐng)寫出∠GEK，∠BMN，∠GEH之間的數(shù)量關(guān)系（用含【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EE′∥AB，根據(jù)題意和平行線的判定得EE′∥（2）根據(jù)題意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠QEN=∠ENP=1（3）根據(jù)題意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根據(jù)EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN【詳解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，證明如下：證明：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作EE∵AB∥CD，∴EE′∥AB∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN∵EQ∥NP，∴∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN?∠ENC=∠AME=30°，∴∠FEQ=∠NEF?∠NEQ=12∠MEN?12∠ENC（3）∠GEK+∠BMN?m∠GEH=180°，證明如下：證明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，∴∠ENM=1m∠AMN∵EH∥MN，∴∵∠GEH=∠GEM?∠HEM=1m∠GEK?1m∵∠AMN=180°?∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK?(180°?∠BMN)，∴∠BMN+∠GEK?m∠GEH=180°．5．已知：直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MPN=90°．過(guò)點(diǎn)N作射線NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如圖1所示，當(dāng)射線NQ與NM重合，∠QND=50°時(shí)，則∠AMP=；(2)如圖2所示，當(dāng)射線NQ與NM不重合，∠QND=α°時(shí)，求∠AMP的度數(shù)；（用含α的代數(shù)式表示）(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出∠QND與∠AMP之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMP+∠PNC＝90°，結(jié)合平角的定義可求解∠PNC＝65°，進(jìn)而可求解；（2）過(guò)P作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMP+∠PNC＝90°，結(jié)合平角的定義可求解∠PNC＝90°－12（3）過(guò)P作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMP+∠PNC＝90°，結(jié)合平角的定義可求解∠PNC＝90°－12（1）解：過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；故答案為：25°（2）過(guò)P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°?α°＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝即∠AMP＝12（3）過(guò)P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝即∠QND＝2∠AMP．6．如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為AB上方一點(diǎn)，E在直線AB上．(1)如圖1，求證：∠P=∠PEB-∠C；(2)如圖2，點(diǎn)F為直線CD上一點(diǎn)，∠PEB、∠CFP的角平分線所在直線交于點(diǎn)Q，求∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，N為AB、CD之間一點(diǎn)，且在∠CPE內(nèi)部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，當(dāng)2∠CNP-∠PEA=180°恒成立時(shí)，n=．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，則PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE=180°，兩式相減可得答案；（2）由（1）的結(jié)論可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，設(shè)∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α?180°?2β（3）由題意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，當(dāng)2∠CNP-∠PEA=180°恒成立時(shí)，通過(guò)化簡(jiǎn)可得答案．（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，即∠C+∠CPE+∠MPE=180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；（2）解：由（1）的結(jié)論可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，設(shè)∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠Q=180°?α?β，∴∠P+2∠Q=2α+2β?180°+2180°?α?β即∠P+2∠Q=180°（3）解：n=1如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GN∥CD，則PQ∥CD，GN∥CD，∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)=180°+∠DCN-(∠PCD+∠CPN)=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°-∠PCN-∠CPN，∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，同理∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）∠CPN+(n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，∴∠PEA=180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，當(dāng)2∠CNP-∠PEA=180°恒成立時(shí)，即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，故答案為17．如圖：(1)如圖1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，點(diǎn)E在兩平行線之間，求證：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如圖2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE、BE交于點(diǎn)E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度數(shù)；②將線段AD沿DC方向平移，使得點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，如圖3所示.若∠ADQ＝n°，則∠BED的度數(shù)是度（用關(guān)于n的代數(shù)式表示）.【分析】（1）如圖1中，作EH∥PQ．利用平行線的性質(zhì)和判定求解即可．（2）①利用（1）中結(jié)論只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中結(jié)論只要求出∠PDE，∠MBE即可．（1）如圖1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．（2）①如圖2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC=40°∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA=25°∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．②如圖3中，∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-12∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12n故答案為220°-12n°

1．先閱讀再解答：(1)如圖1，AB∥CD，試說(shuō)明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如圖2，AB∥CD，求證：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如圖3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求證：∠BFE=∠FEC．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠B=（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠B+（3）延長(zhǎng)BF和反向延長(zhǎng)CD相交于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)可得∠ABF=∠G，進(jìn)而可得∠【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∵∠BED=∴∠BED＝（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∵∠BED=∴∠B+（3）證明：延長(zhǎng)BF和反向延長(zhǎng)CD相交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠ABF=∵∠ABF=∴∠G=∴BG∥CE，∴∠BFE=2．綜合與實(shí)踐(1)問(wèn)題情境：圖1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______；（直接寫出答案）(2)問(wèn)題遷移：圖2中，直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，試求∠APD的度數(shù)；(3)問(wèn)題拓展：圖3中，直線AB∥CD，則∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為______．【分析】對(duì)于（1），作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；對(duì)于（2），作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度數(shù)；對(duì)于（3），作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．（1）如圖1，過(guò)P作PE∥AB，∵AB//CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110°；（2）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．如圖，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．故答案為：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．3．如圖1，小明和小亮在研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，探索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系．小明是這樣證明的：請(qǐng)?zhí)顚懤碛勺C明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在圖2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，則∠APC的度數(shù)為；(3)在圖3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，則∠APC的度數(shù)為；(4)在圖4中，AB∥CD，探索∠P與∠C，∠PAB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，用相似的證明方法運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPQ＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，∴∠APE＝60°，∵PE∥AB，AB∥CD．∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，∴∠CPE＝40°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，∴∠APF＝∠A，∵PF∥AB，AB∥CD．∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠C∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；（4）如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，∴∠APG+∠A＝180°，∴∠APG＝180°﹣∠A∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPG+∠C＝180°，∴∠CPG＝180°﹣∠C∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．4．直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點(diǎn)F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時(shí)，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大?。痉治觥浚?）延長(zhǎng)DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延長(zhǎng)AB交FQ于M，延長(zhǎng)DC交BE于N，設(shè)∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．（1）解：證明：延長(zhǎng)DC交BE于K，交BP于T，如圖：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，證明如下：延長(zhǎng)AB交FQ于M，延長(zhǎng)DC交BE于N，如圖：∵射線BP、CQ分別平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，設(shè)∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．8．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程．解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決．(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在直線AB與①如圖3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，若∠ABC=36°，求∠BED的度數(shù)．②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）【分析】（1）由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得結(jié)果；（2）過(guò)C作CF∥AB，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（3）①過(guò)E作EG∥AB，利用角平分線的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝18°，再利用【詳解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；故答案為：∠EAB；∠DAC（2）解：過(guò)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB=180°，∴∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）解：①過(guò)E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝12∠ADC＝∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝②過(guò)E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB=180°，∴∴∠BED＝1．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P為平面內(nèi)AB、CD間一點(diǎn)，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，證明：AB∥CD；（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F、G分別在直線CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，請(qǐng)?zhí)骄俊螮PF、（3）如圖3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直線MN交FK、EG分別于點(diǎn)M、【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)角的和差得到∠PFD=∠FPQ，即可判定AB∥CD；（2）∠EPF=2∠PEG?∠DGE+180°，過(guò)點(diǎn)P作PT∥AB，則PT∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)M作MH∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NI∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠BEP=∠EPQ，∵∠EPF＝∠PEB+∠PFD，∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，∴∠PFD=∠FPQ又PQ∥AB，∴AB∥CD；（2）解：∠EPF=2∠PEG?∠DGE+180°，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PT∥AB，則PT∥AB∥CD，設(shè)∠FGP=∠EGP=x，∠PEG=∠PFG=y，∵AB∥CD，∴∵PT∥AB，∴∠EPT=∠BEP=∠PEG+∠BEG=2x+y，∵PI∥CD，∴∠FPT=∠PFG=y，∴∠EPF=∠EPT+FPT=2x+y+y=2x+2y，∵x=12×180°?∠DGE即∠EPF=2∠PEG?∠DGE+180°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NI∥CD，∵AB∥CD，∴MH∥AB∥NI∥CD，∠EPF=∠PEB+∠PFD，∴∠HMN=∠INM，設(shè)∠BEG=x，∠CFK=y，∠HMN=∠INM=β∵∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK即y?xn+1∵∠FMN=y?β，∠ENM=x?β，∠FMN?∠ENM=25°即y?x=25°②，由①②得，n=2．已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、(1)如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)．(3)如圖3，若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，連接EM、EN，且GM的延長(zhǎng)線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)G作GH∥AB，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得到（2）過(guò)G作GK∥AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，設(shè)∠GND=α，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，求得∠MGN=30°+α，（3）過(guò)G作GK∥AB，過(guò)E作ET∥AB，設(shè)∠AMF=x，∠GND=y，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得∠MEN=∠TEN?∠TEM=90°?1【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)G作GH∥∵AB∥CD，∴∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，∵M(jìn)G⊥NG，∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；（2）解：如圖2，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∵GK∥AB，∠BMG=30°，∴∵M(jìn)G平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP=∠BMG=30°，∴∠BMP=60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=60°，∵ND平分∠GNP，∴∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN=∠DNP=α，∴∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°?α=90°；（3）解：如圖3，過(guò)G作GK∥AB，過(guò)E作ET∥AB，設(shè)∵AB，F(xiàn)G交于M，MF平分∠AME，∴∠FME=∠BMA=∠BMG=x，∴∵GK∥AB，∴∠MGK=∠BMG=x，∵ET∥AB∵GK∥AB∥CD，∴∠KGN=∠GND=y∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG=180°?y，∠CNE=1∵ET∥AB∥CD∴∠MEN=∠TEN?∠TEM=90°?12y?2x∵2∠MEN+∠MGN=120°，∴2(90°?12y?2x)+x+y=120°，∴x=20°，3．如圖，直線AB、CD被EF所截，直線EF分別交AB、CD于G、H兩點(diǎn)，∠AGE=∠FHD．(1)如圖1，求證：AB∥(2)如圖2，HQ、GN分別為夾在AB、CD中的兩條直線，∠AGN=∠QHD，求證：GN∥(3)如圖3，在（2）的條件下，連接HN，M為AB上一點(diǎn)，連接MN，V為AB上一點(diǎn)，連接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于點(diǎn)K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求【分析】（1）只需要證明∠AGE=∠CHE即可證明AB∥CD；（2）先由平行線的性質(zhì)得到∠AGH=∠DHG，進(jìn)而證明∠QHG=∠NGH，即可證明GN∥（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作直線LI∥AB，則AB∥IL∥CD，設(shè)∠VNP=x，先證明∠HNG=x+36°，再由平行線的性質(zhì)得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，則∠VGN=30°，∠GNI=30°，進(jìn)而求出∠KVN=66°，則∠QHN=132°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠GNH=48°，從而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根據(jù)VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12°．【詳解】（1）證明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，∴∠AGE=∠CHE，∴（2）證明：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵∠AGN=∠QHD，∴∠AGN?∠AGH=∠QHD?∠DHG，∴∠QHG=∠NGH，∴GN∥（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作直線LI∥AB，則AB∥IL∥CD，設(shè)∠VNP=x，∵∠HNK=2∠GNK，∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，∵AB∥CD∥IL，∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH∴∵∠NHD=∠VNK+6°，∴∠VGN+x+6°=x+36°，∴∠VGN=30°，∴∠GNI=30°，∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，∴∠QHN=2∠KVN=132°，∵GN∥QH，∴∠GNH=180°?∠QHN=48°，∴x+36°=48°，∴x=12°，∴∠VNP=12°，∵NP平分∠VNM，∴∠PNM=∠VNP=12°，∵VP∥MN，∴∠VPN=∠PNM=12°．4．問(wèn)題探究：如圖①，已知AB∥CD，我們發(fā)現(xiàn)∠E＝∠B+∠D．我們?cè)趺醋C明這個(gè)結(jié)論呢？張山同學(xué)：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF與∠DEF的和，然后分別證明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同學(xué)：如圖③，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，則∠E＝∠EBF，再證明∠ABF＝∠D．問(wèn)題解答：(1)請(qǐng)按張山同學(xué)的思路，寫出證明過(guò)程；(2)請(qǐng)按李思同學(xué)的思路，寫出證明過(guò)程；問(wèn)題遷移：(3)如圖④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，F(xiàn)D平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）如圖②中，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根據(jù)∠BED＝∠BEF+∠DEF證明即可；（2）如圖③中，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交CD的延長(zhǎng)線于G，利用平行線的性質(zhì)求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根據(jù)∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF證明即可；（3）設(shè)∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y(tǒng)，則∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根據(jù)∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，構(gòu)建方程求出x＋y可得結(jié)論．（1）解：如圖②中，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；（2）如圖③中，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交CD的延長(zhǎng)線于G．∵DE∥FG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵AB∥CG，∴∠G＝∠ABF，∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；（3）如圖④中，∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，設(shè)∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y(tǒng)，則∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．5．如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB，(1)求證：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG．①如圖2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若HF平分∠CFG，請(qǐng)直接寫出∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作直線EN∥AB，得到EN∥CD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等推出∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN即可；（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；②設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°?x，如圖2，過(guò)點(diǎn)H作l∥∴l(xiāng)∥AB∥CD②∠AHF=90°+12∠AEC②設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，過(guò)點(diǎn)H作l∥AB，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∴∠AHF=90°+（x+y），∴∠AHF=90°+12∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°6．已知：AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，在兩直線間取一點(diǎn)E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內(nèi)部一點(diǎn)H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)I在直線AB、CD內(nèi)部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I?∠H=m°，∠E=n°，請(qǐng)直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系，不必證明．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明即可；（2）①利用（1）中結(jié)論求解即可；②結(jié)論：n＝180?2m，過(guò)點(diǎn)I作IJ∥AB，設(shè)∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y(tǒng)°，則n°＝（x＋y）°．利用（1）中結(jié)論求解即可．（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作MN∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．（2）解：①∵∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內(nèi)部一點(diǎn)H，∴∠APH=12∠APE∵FG由EQ平移而來(lái)，∴FG∥EQ，∴∠CGF=∠CQE，由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，∴∠H=∠APH+∠CGH=②n=180?2m．理由如下：過(guò)點(diǎn)I作IJ∥AB，如圖所示：設(shè)∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y(tǒng)°，則n°＝（x＋y）°．∵AB∥CD，∴IJ∥CD，同法可證∠H＝∠CGH＋∠JIH，∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，∵∠PIH?∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH?（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴12（180°?x°）?12y°＝m∴90°?12（x＋y）°＝m°，∴90°?12n°＝m°，即1．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°問(wèn)題遷移：(1)如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由(2)在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合，請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α,∠β間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD，則可得出PE∥AD∥（2）分兩種情況討論：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AD，則可得出PE∥AD∥【詳解】（1）解：∠CPD=α+β證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD又∵∠BCP=β，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=α+β；（2）解：當(dāng)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)∠CPD=β?α，證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD又∵∠BCP=β，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=β?α；如圖，當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∵PE∥AD,AD∥BC，∴PE∥BC，又∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=α?β；綜上所述：∠CPD=α?β或∠CPD=β?α．2．已知AB∥CD．(1)如圖1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，則∠EDK=______．(2)如圖2，EF⊥BE于點(diǎn)E，∠HBE、∠KDE的角平分線交于點(diǎn)P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍還多5°，求∠GEF的度數(shù)．(3)如圖3，在（1）的條件下，在同一平面內(nèi)的點(diǎn)M、N滿足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直線MB與直線【分析】（1）過(guò)E作EF∥AB，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)和內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）設(shè)∠GEF=x，則∠BPD=5x+5，根據(jù)題意可得（3）分四種情況解答，分別利用內(nèi)錯(cuò)角相等解答即可．（1）解：過(guò)E作EF∥AB，如圖，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠∴∠2=∠BED?∠（2）設(shè)∠GEF=x，則∠BPD=5x+5，分別過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)P作EM∥AB，PN∥則BH∥PN∥DK，∴∠PBH=∠∵∠HBE、∠KDE∴∠BPD=1∵AB∥EM∥CD，∴∠HBE=∠∴∠∵∠BEF=90°，∠DEF=2∠GEF=2x，∴所以∠GEF=10°（3）分四種情況：①如圖，此時(shí)，∠BQD=∠MBH+∠NDK∴∠②如圖，此時(shí)，∠BQD=∠ABQ+∠CDQ=∴∠③如圖，此時(shí)，∠BQD=∵∠MBH=12∠④如圖，此時(shí)，∠BQD=∵∠MBH=1∴∠綜上，∠BQD的度數(shù)是35°或45°或55°或135°．3．如圖，已知直線AB∥射線CD，∠CEB=100°．P是射線EB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥EC交射線CD于點(diǎn)Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點(diǎn)F，CG平分∠ECF．(1)若點(diǎn)P，F(xiàn)，G都在點(diǎn)E的右側(cè)．①求∠PCG的度數(shù)；②若∠EGC?∠ECG=40°，求∠CPQ的度數(shù)．(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的情形，使∠EGC∠EFC=32【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECQ=80°，再根據(jù)角平分線的定義即可得到∠PCG的度數(shù)；②根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根據(jù)PQ∥EC即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）設(shè)∠EGC=3x，則∠EFC=2x，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G,F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G,F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，得出等量關(guān)系，列方程求解即可．（1）解：①∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=180°?∠CEB=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCF=∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=1②∵AB∥CD，∠CEB=100°，∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=180°?∠CEB=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC?∠ECG=40°，∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠ECG=40°，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=1∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=60°，∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=60°．（2）解：設(shè)∠EGC=3x，則∠EFC=2x，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)G,F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x,∠QCF=∠EFC=2x，∴∠GCF=∠QCG?∠QCF=x，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=1∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=3x，∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=3x，∵∠ECD=80°，

∴∠ECF+∠QCF=80°，即2x+2x=80°，解得x=20°，∴∠CPQ=3x=60°；②如圖，當(dāng)點(diǎn)G,F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，∵AB∥CD，∴∠QCG=180°?∠EGC=180°?3x,∠QCF=180°?∠EFC=180°?2x，∴∠GCF=∠QCF?∠QCG=x，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=1∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠PCF?∠ECF=90°?3x，∵PQ∥EC，

∴∠CPQ=∠ECP=90°?3x，∵∠ECD=80°，∴∠QCF?∠ECF=80°，即180°?2x?2x=80°，解得x=25°，∴∠CPQ=90°?3x=15°；綜上，存在這樣的情形，使∠EGC∠EFC=32，此時(shí)∠CPQ的度數(shù)為4．如圖1，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G，∠BCD=90°．(1)試說(shuō)明：∠BAG=∠BGA；(2)如圖2，點(diǎn)F在AG的反向延長(zhǎng)線上，連接CF交AD于點(diǎn)E，若∠BAG?∠F=45°，求證：CF平分∠BCD；(3)如圖3，線段AG上有點(diǎn)P，滿足∠ABP=3∠PBG，過(guò)點(diǎn)C作CH∥AG.若在直線AG上取一點(diǎn)M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠GAD=∠BGA，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAG=∠GAD，然后根據(jù)等量代換即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC于M，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，從而可得∠BAG?∠GFC=∠MFC，則∠BCF=∠MFC=45°，再根據(jù)角平分線的定義即可得證；（3）設(shè)∠ABC=4xx>0，則∠ABP=3x，∠PBG=x，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=180°?4x，從而可得∠BGA=90°?2x，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BCH=∠BGA=90°?2x，從而可得∠PBM=∠DCH=2x，然后分①點(diǎn)M在BP的下方和②點(diǎn)M在BP的上方兩種情況，根據(jù)角的和差可得∠ABM和∠GBM（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA．（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC于M，∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，由（1）已證：∠BAG=∠BGA，∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC，即∠BAG?∠GFC=∠MFC，又∵∠BAG?∠GFC=45°，∴∠MFC=45°，∴∠BCF=45°，又∵∠BCD=90°，∴CF平分∠BCD．（3）解：設(shè)∠ABC=4xx>0，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x∵AD∥BC，∴∠BAD=180°?∠ABC=180°?4x，由（1）已得：∠BGA=∠BAG=1∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°?2x，∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°?90°?2x由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BP的下方時(shí)，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM?∠PBG=2x?x=x，∴∠ABM∠GBM②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BP的上方時(shí)，∴∠ABM=∠ABP?∠PBM=3x?2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM綜上，∠ABM∠GBM的值是5或11．如圖，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM交CD于點(diǎn)M，AB∥CD，且(1)當(dāng)∠AEF=70°時(shí)，∠FME=__________°．(2)判斷EM是否平分∠AEF，并說(shuō)明理由．(3)如圖，點(diǎn)G是射線FD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)F重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EGF=α．探究當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠MHN?∠FEH和α之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得出∠AEM=∠FME，結(jié)合題意即可推出∠AEM=∠FEM，即得出∠AEM=∠FEM=1（2）由（1）即可說(shuō)明EM平分∠AEF；（3）由平行線的性質(zhì)可得出∠BEG=∠EGF=α，∠BEH=∠EHF．再根據(jù)角平分線的定義即得出∠FEH=∠GEH=12∠FEG，即得出∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．又易求∠MEH=12∠AEG=90°?12α，結(jié)合HN⊥EM，可求出∠EHN=90°?∠MEH=【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠FME．∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠FEM．∵∠AEF=∠AEM+∠FEM=70°，∴∠AEM=∠FEM=1故答案為：35；（2）由（1）可知∠AEM=∠FEM=12∠AEF，即EM（3）∠MHN?∠FEH=1∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF=α．∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH=12∠FEG，∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，∴∠MEH=1∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°?∠MEH=90°?(90°?1∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EHF，即∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，∴α+∠FEH=12α+∠MHN，2．如圖1，一塊直尺和一塊含30°的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分別交AC、BC于點(diǎn)E、F、∠BAC的角平分線AD交MN于點(diǎn)D，H為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接FH交AD于點(diǎn)K．(1)當(dāng)∠BFH=12∠BFN(2)H在線段AB上任意移動(dòng)時(shí)，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之間的關(guān)系．(3)在（1）的條件下，將△DKF繞著點(diǎn)F以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t0≤t≤36，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△DKF的其中一邊與△CEF的某一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)t【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=180°?∠BAC?∠C=30°，由MN∥AB，得到∠BFN=30°，由∠BFH=12∠BFN，則∠BFH=15°（2）由MN∥AB得到∠HAK=∠FDK，由∠AKF=∠HFD+∠KDF即可得到結(jié)論；（3）分五種情況畫圖求解即可．【詳解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠B=180°?∠BAC?∠C=30°，∵M(jìn)N∥AB，∴∠BFN=∠B=30°，∵∠BFH=12∠BFN，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=1∵M(jìn)N∥AB，∴∠ADE=∠BAD=30°，∴∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN=30°+15°+30°=75°，即∠AKF=75°；（2）∵M(jìn)N∥AB，∴∠HAK=∠FDK，∵∠AKF=∠DFH+∠KDF，∴∠AKF=∠HAK+∠DFH；（3）由（1）知，∠FDK=30°，∠KFD=45°，∴∠DKF=180°?∠FDK?∠KFD=105°，如圖1，當(dāng)DF∥CE時(shí)，∠CFD=∠ECF=90°，∵∠CFE=30°，∴此時(shí)是旋轉(zhuǎn)了180°?30°?90°=60°，此時(shí)，t=60°÷5°=12s如圖2，當(dāng)DK∥CF時(shí)，∵∠CFD=∠KDF=30°，∴此時(shí)是旋轉(zhuǎn)了180°?30°?30°=120°，此時(shí)，t=120°÷5°=24s如圖3，當(dāng)KF∥CE時(shí)，∵∠EFK=180°?∠CEF=120°，∴此時(shí)是旋轉(zhuǎn)了180°?120°+45°=105°，此時(shí)，t=105°÷5°=21s如圖4，當(dāng)DK∥EC時(shí)，設(shè)DK與MN相交于點(diǎn)S，∴∠KSF=∠CEF=60°，∴∠DFS=∠KSF?∠D=30°，∴此時(shí)是旋轉(zhuǎn)了30°，此時(shí)，t=30°÷5°=6s；如圖5，當(dāng)DK∥EF∴∠EFK=180°?∠DKF=75°，∴此時(shí)是旋轉(zhuǎn)了180°?75°?45°此時(shí)，t=150°÷5°=30s∴當(dāng)△DKF的其中一邊與△CEF的某一邊平行時(shí)，t為6或12或21或24或30．3．“一帶一路”讓中國(guó)和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2°，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)