高考二輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件培優(yōu)拓展4巧設(shè)變量速求立體幾何中的動(dòng)態(tài)最值問題

培優(yōu)拓展?巧設(shè)變量速求立體幾何中的動(dòng)態(tài)、最值問題立體幾何中的“動(dòng)態(tài)問題”是指空間中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的或可變的一類開放性問題,解決這類問題應(yīng)該動(dòng)靜結(jié)合、化動(dòng)為靜,找到相應(yīng)的幾何關(guān)系,對于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍(最值)問題,用定性分析比較難或繁時(shí),可以引進(jìn)參數(shù),把動(dòng)態(tài)問題化歸為靜態(tài)問題.具體地,可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算,以算促證.具體可以有以下幾種解決方法:(1)函數(shù)法:某些點(diǎn)、線、面的運(yùn)動(dòng),必然導(dǎo)致某些位置關(guān)系或一些變量的變化.變量變化時(shí)會(huì)引發(fā)其他變量的變化,從而建立函數(shù)關(guān)系,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決.(2)等價(jià)轉(zhuǎn)換法:動(dòng)和靜是相對的,在運(yùn)動(dòng)變化過程中,要善于尋找或構(gòu)造與之相關(guān)的一些不變因素,將一些變化的點(diǎn)、線、面進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換,實(shí)現(xiàn)變量與不變量的結(jié)合.(3)解析法:我們常利用空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問題,即實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化.因此利用空間坐標(biāo)系將空間圖形中的若干元素坐標(biāo)化后,借助向量進(jìn)行運(yùn)算和分析是解決這類問題的常用方法.例1(2022全國乙,理9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為(

)C評(píng)析

方法一:思維嚴(yán)謹(jǐn),利用基本不等式求最值,模型熟悉,是該題的最優(yōu)解.方法二:消元,實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一,再利用基本不等式求最值.方法三:消元,實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一,利用導(dǎo)數(shù)求最值,是最值問題的常用解法,操作簡便,是通性通法.例2如圖所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線段C1D,AC上,則線段PQ長度的最小值是(

)B解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,λ,2λ),λ∈[0,1],點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1-μ,μ,0),μ∈[0,1],評(píng)析

該題涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以需要引入兩個(gè)變量,建立目標(biāo)函數(shù)之后通過配方法可以直接判斷并求出最值.例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),點(diǎn)N為平面DCC1D1上的動(dòng)點(diǎn),若MN⊥A1C,則三棱錐N-AA1D的體積最大值為

.評(píng)析

該題中“點(diǎn)N為平面DCC1D1上的動(dòng)點(diǎn)”,雖然只涉及一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但需要兩個(gè)變量才能確定點(diǎn)的位置,在解題過程中首先建立目標(biāo)函數(shù),然后利用“MN⊥A1C”建立兩個(gè)坐標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系,確定兩個(gè)參數(shù)最終的取值范圍或代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行消元,從而求得最值.例4(2023全國模擬預(yù)測)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,點(diǎn)Q為球O的球面上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)Q到平面