高考二輪復習理科數(shù)學課件增分1利用導數(shù)求參數(shù)的值或范圍

增分1利用導數(shù)求參數(shù)的值或范圍考點一已知函數(shù)極值、最值情況求參數(shù)范圍例1(2023四川成都三模)已知函數(shù)f(x)=x4-ax3sinx,其中a∈R.(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(π,π4)處的切線方程;(2)若x=0是函數(shù)f(x)的極小值點,求a的取值范圍.解

(1)當a=1時,函數(shù)f(x)=x4-x3sin

x.∴f'(x)=4x3-(3x2sin

x+x3cos

x),∴f'(π)=5π3,∴曲線y=f(x)在點(π,π4)處的切線方程為5π3x-y-4π4=0.②當0≤a<1時,?x0∈(0,),使得g'(x0)=0.當x∈(0,x0)時,g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上單調遞減,∴當x∈(0,x0)時,g(x)<g(0)=0,∴當x∈(0,x0)時,f'(x)=g(x)+xg'(x)<0,f(x)在x∈(0,x0)上單調遞減,∴x=0不是函數(shù)f(x)的極小值點.綜上所述,當x=0是函數(shù)f(x)的極小值點時,a的取值范圍為[1,+∞).解題技巧f'(x)=0是f(x)有極值的必要不充分條件,例如:函數(shù)f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函數(shù)f(x)=x3的極值點.所以本例f(x)在(0,1)內有極值,則f'(x)=0有解,由此得出a的取值范圍,還必須由a的取值范圍驗證f(x)在(0,1)內有極值.對點訓練1已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex.(1)求f(x)的極值;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-k(x-lnx)在區(qū)間

上沒有極值,求實數(shù)k的取值范圍.解

(1)f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.令f'(x)=0,得x=1.當x<1時,f'(x)<0;當x>1時,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,故f(x)的極小值為f(1)=-e,無極大值.考點二在不等式恒成立中求參數(shù)范圍例2(2020新高考Ⅱ,22)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.(方法二

同構函數(shù)法)由f(x)≥1得aex-1-ln

x+ln

a≥1,即eln

a+x-1+ln

a+x-1≥ln

x+x,而ln

x+x=eln

x+ln

x,∴eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x.令h(m)=em+m,則h'(m)=em+1>0,∴h(m)在R上單調遞增.由eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x,可知h(ln

a+x-1)≥h(ln

x),∴l(xiāng)n

a+x-1≥ln

x,∴l(xiāng)n

a≥(ln

x-x+1)max.∴當x∈(0,1)時,F'(x)>0,F(x)單調遞增;當x∈(1,+∞)時,F'(x)<0,F(x)單調遞減.∴[F(x)]max=F(1)=0,則ln

a≥0,即a≥1,∴a的取值范圍為[1,+∞).(方法三

換元分離參數(shù)法)由題意知a>0,x>0,令aex-1=t,∴l(xiāng)n

a+x-1=ln

t,∴l(xiāng)n

a=ln

t-x+1,∴f(x)=aex-1-ln

x+ln

a=t-ln

x+ln

t-x+1.∵f(x)≥1,t-ln

x+ln

t-x+1≥1?t+ln

t≥x+ln

x,而y=x+ln

x在(0,+∞)上單調遞增,(方法四

特值探路一般證明法)∵f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)≥1,∴f(1)≥1,即a+ln

a≥1.令S(a)=a+ln

a(a>0),則S(a)在(0,+∞)上單調遞增.∵a+ln

a≥1且S(1)=1,即S(a)≥S(1),∴a≥1.下面證明當a≥1時,f(x)≥1恒成立.令T(a)=aex-1-ln

x+ln

a,只需證當a≥1時,T(a)≥1恒成立.∵T'(a)=ex-1+>0,∴T(a)在[1,+∞)上單調遞增,則[T(a)]min=T(1)=ex-1-ln

x.因此要證明a≥1時,T(a)≥1恒成立,只需證明[T(a)]min=ex-1-ln

x≥1即可.由ex≥x+1,ln

x≤x-1,得ex-1≥x,-ln

x≥1-x.上面兩個不等式兩邊相加可得ex-1-ln

x≥1,故a≥1時,f(x)≥1恒成立.當0<a<1時,∵f(1)=a+ln

a<1,顯然不滿足f(x)≥1恒成立,∴a的取值范圍為[1,+∞).規(guī)律方法在不等式恒成立條件下求參數(shù)取值范圍的幾種方法(1)分類討論法:(方法一)對參數(shù)分類,在各類中判斷不等式是否恒成立,判斷的方法是利用導數(shù)的方法求函數(shù)的最值,在求最值時利用了隱零點法.分類的依據是分析f(x)≥1的特點,一般先集中含參數(shù)項,即aex-1+ln

a≥ln

x+1,y=ln

x+1的圖象過定點(1,1),當y=aex-1+ln

a的圖象也過定點(1,1)時,則a=1,即兩函數(shù)的圖象在點(1,1)處相切,由兩函數(shù)圖象觀察知a≥1不等式恒成立;(2)同構函數(shù)法:(方法二)利用同構思想將原不等式化成eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x,再根據函數(shù)h(m)=em+m的單調性以及分離參數(shù)法即可求出,是本題的最優(yōu)解;(3)換元分離參數(shù)法:(方法三)通過令aex-1=t換元,將原不等式化成t+ln

t≥x+ln

x,再根據函數(shù)y=x+ln

x的單調性以及分離參數(shù)法求出;(4)特值探路一般證明法:(方法四)利用f(1)≥1可得a的取值范圍,再進行充分性證明,此法的好處是降低思考的成本,縮小討論的范圍.對點訓練2

(2023全國甲,理21)已知(1)若a=8,討論f(x)的單調性;(2)若f(x)<sin2x恒成立,求a的取值范圍.例3設函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.解

由?x>0,f(x)≥0成立,得ln(x+1)≥-a(x2-x),不等式兩邊的函數(shù)圖象都過點(0,0),①當-a>0,即a<0時,如上圖所示,顯然不符合題意.②當a=0時,f(x)=ln(x+1),?x>0,f(x)=ln(x+1)>0,f(x)≥0成立,符合題意.③當a>0時,函數(shù)y=-a(x2-x)是開口向下的拋物線,過點(0,0)和(1,0),如圖.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(0,+∞).g(0)=1-a,則g(x)的圖象與y軸的交點為(0,1-a),g(x)的圖象如右圖所示,由函數(shù)g(x)的圖象可知,當0≤a<1時,在(0,+∞)上g(x)>0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增.又f(0)=0,∴f(x)≥0.當a>1時,由g(0)=1-a<0,可得x2>0,∴當x∈(0,x2)時,函數(shù)f(x)單調遞減.∵f(0)=0,∴x∈(0,x2)時,f(x)<0,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍是[0,1].解題技巧恒成立求參數(shù)值或參數(shù)范圍的基本模式(1)同一函數(shù)的函數(shù)值的大小關系恒成立,如f(a,x)>f(b,x),利用函數(shù)的單調性脫去函數(shù)符號求得參數(shù).(2)不同函數(shù)的恒成立問題:將F(a,x)≥0或f(a,x)≥h(a,x)?f(x)≥g(a,x)(不等式的一邊含參數(shù)),此時函數(shù)f(x)與g(a,x)的圖象邊界相切,其解題思路有3種:①若g(a,x)過定點,且定點在f(x)上,采用分類討論求參數(shù);②若g(a,x)過定點,但定點不在f(x)上,采用參變分離法求參數(shù);③若g(a,x)不過定點,采用f(x)≥A(常數(shù))≥g(a,x).對點訓練3(2020全國Ⅰ,理21)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;(2)當x≥0時,f(x)≥x3+1,求a的取值范圍.解

(1)當a=1時,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故當x∈(-∞,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增.考點三已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍例4(2023山東濟南一模)已知函數(shù)(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)在[0,+∞)上單調遞增,求a的取值范圍;(3)若f(x)的最小值為1,求a.則g'(x)=ex-x-1,g″(x)=ex-1,當x<0時,g″(x)<0,g'(x)在(-∞,0)上單調遞減,當x≥0時,g″(x)≥0,g'(x)在[0,+∞)上單調遞增,g'(x)≥g'(0)=0,g(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,且g(0)=0,∴當x<0時,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上單調遞減,當x>0時,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增