《九章算術》（課件）六年級上冊數(shù)學

認識《九章算術》認識《九章算術》數(shù)學文化——01《九章算術》介紹02《九章算術》——算術部分03《九章算術》——代數(shù)部分04《九章算術》——幾何部分目錄目錄第一部分《九章算術》介紹《九章算術》是中國古典數(shù)學最重要的著作.這部著作的成書年代，根據(jù)現(xiàn)在的考證，至遲在公元前1世紀，但其中的數(shù)學內(nèi)容，有些也可以追溯到周代《周禮》記載西周貴族子弟必學的六門課程(“六藝”)中有一門是“九數(shù)”，劉徽《九章算術注》“序”中就稱《九章算術》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼(？一公元前152)、耿壽昌等人刪補.近年發(fā)現(xiàn)的湖北張家山漢初古墓竹簡《算數(shù)書》(1984年出土)，有些內(nèi)容與《九章算術》類似.因此可以認為，《九章算術》是從先秦至西漢中葉的長時期里經(jīng)眾多學者編纂、修改而成的一部數(shù)學著作?！毒耪滤阈g》《九章算術》《九章算術》《九章算術》《九章算術》中收集了二百四六個應用問題和各個問題的解法，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數(shù)學成就是豐富和多方面的。十六世紀以前的中國數(shù)學書大多都是應用問題解法的集成，原則上遵守《九章算術》的體例。后世的數(shù)學家們結合當時社會的實際需要，引入新的數(shù)學概念和數(shù)學方法，超出了《九章算術》的范圍，但也是在《九章算術》數(shù)學知識的基礎上，通過“再實踐，再認識”的過程發(fā)展的。劉徽創(chuàng)作的《九章算術注》，使以《九章算術》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)生了更本性的變化，并上升到了一個新的階段。《九章算術》《九章算術》《九章算術》中各章里的內(nèi)容比較雜亂，有不符合該章主題的情況，例如方田章里有分數(shù)運算問題，衰分章有一般比例問題，均輸章里只有4個均輸問題，卻有很多分數(shù)應用問題與衰分問題。因此，在這里我們就分三部分算術、代數(shù)、幾何來介紹《九章算術》中的主要問題。第二部分《九章算術》——算術部分1.分數(shù)四則運算法則《九章算術》“方田”章給出了完整的分數(shù)加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。分數(shù)加法——叫作“合分”分數(shù)減法——叫作“減分”分數(shù)相乘——叫作“乘分”——用相乘的分母作為分母，分子相乘為分子分數(shù)相除——叫作“經(jīng)分”“經(jīng)分”后劉輝補充可以將除數(shù)的分子、分母顛倒而與被除數(shù)相乘方田章用相加數(shù)或相減數(shù)的分母的乘積作為共同分數(shù)中國古代籌算除法：以除數(shù)除被除數(shù)，除不盡時有余數(shù)。以余數(shù)作為分子，除數(shù)作為分母，就產(chǎn)生了一個分子在上，分母在下的分數(shù)籌算形式，連除得的整數(shù)部分在內(nèi)，它是一個帶分數(shù)。

百十個

《九章算術》“約分術”說：副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。

分子—分母91—49=4249—42=742—7=3535—7=2828—7=2121—7=1414—7=7屢次減7這個7就是“等數(shù)”就是所求的最大公約數(shù)

這個“更相減損求等”法和歐幾里得《幾何原本》第七卷中求最大公約數(shù)法是一致的。相等2.比例算法

《九章算術》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術”作為解決各類比例問題的基本算法。2.比例算法《九章算術》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術”作為解決各類比例問題的基本算法。希臘人的比例論是幾何線段的比例論，數(shù)字比例算法在歐洲出現(xiàn)頗晚，被稱為“三率法”，有時也叫“黃金法則”。以“今有術”為基礎就是按一定級差分配?！熬敗闭聞t運用比例分配解決糧食運輸負擔的平均分配。3.盈不足術“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價幾何？”這個問題相信同學們可以獨自解決，可用一元一次方程也可以用一元二次方程，現(xiàn)在我們來看看《九章算術》是如何解決這個問題的，你也可以看看它的答案和你是否一樣。3.盈不足術“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價幾何？”

同學們，你們計算一下，和你們用解方程的方法計算出來的結果一樣嗎？第三部分《九章算術》——代數(shù)部分1.方程術《九章算術》在代數(shù)方面的成就是具有世界意義的?！胺匠獭闭碌谝活}：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十九斗。問上、中、下禾實一秉各為幾何？黍米捆打下來的糧食設上、中、下各一秉打出來的糧食分別為x，y，z（斗），則問題就相當于解一個三元一次方程組：

《九章算術》沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將x，y，z的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個（長）方陣（如圖，其中已經(jīng)將算籌換成數(shù)字）

123232311263439003452811392439003052411112439004040400111737

同學們對比觀察很容易發(fā)現(xiàn)《九章算術》方程術的解法，實質上就是我們今天所使用的消元法解方程，西方文獻中稱之為“高斯消去法”?！毒耪滤阈g》方程術，是世界數(shù)學史上的一個明珠.2.正負術“方程”的每一行是由多項未知量和一個已知量所組成的等式，其中可能有相反意義的量，由此產(chǎn)生正數(shù)與負數(shù)的對立概念。中國數(shù)學家在方程章里提出了正負數(shù)的不同表示法和正負數(shù)的加減法則。這在數(shù)學史上是一個無比的偉大成就。方程章第3題劉徽注說，用紅色的算籌表示正數(shù)，用黑色的算籌表示負數(shù)。否則就在布置算籌時用正列的籌表示正數(shù)，斜列的籌表示負數(shù)。2.正負術同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之.其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之.同號異號大意：二數(shù)同號則絕對值的差是余數(shù)的絕對值。二數(shù)異號則絕對值的和是余數(shù)的絕對值。減去的數(shù)如其是正數(shù)而大于被減數(shù)時，余數(shù)得負號；如其是負數(shù)而小于被減數(shù)時，余數(shù)得正好。對負數(shù)的認識是人類數(shù)系擴充的重大步驟.7世紀時的印度數(shù)學家也開始使用負數(shù)，對負數(shù)的認識在歐洲卻進展緩慢，甚至到16世紀韋達的著作還在回避使用負數(shù)。3.開方術《九章算術》“少廣”章有“開方術”和“開立方數(shù)”，給出了開平方和開立方的算法?！毒耪滤阈g》開方術本質上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。用現(xiàn)代記號表述，《九章算術》開放術相當于解方程

3.開方術《九章算術》開方術中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數(shù)起了一個專門的名字——“面”.《九章算術》時代的中國數(shù)學家，如同他們對待負數(shù)的發(fā)現(xiàn)一樣，對在開方過程中接觸到的無理量也這樣泰然處之。這或許是因為引導他們發(fā)現(xiàn)不盡根數(shù)的算法本身，使他們能夠有效地計算這種不盡根數(shù)地近似值。第四部分《九章算術》——幾何部分《九章算術》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積計算，“商功”章討論體積計算，“勾股”章則是關于勾股定理的應用?！毒耪滤阈g》中幾何問題具有很明顯的實際背景，如面積問題多與農(nóng)田測量有關，體積問題則主要涉及工程土方計算。各種幾何圖形的名稱就反應著它們的現(xiàn)實來源。如平面圖形有：“方田”（長方形）、“圭田”（三角形）、“箕田”（梯形）、“圓田”（圓）、“孤田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等，這些圖形都是我們現(xiàn)在熟悉的幾何圖形，只不過在名稱上和以前不同。如立體圖形有：“倉”（長方體）、“方錐”（正方椎體）、“方亭”（平截頭方錐）、“圓錐”（正圓椎體）、“圓亭”（平截頭圓錐）；“鱉臑”（底面為直角三角形而有一棱與底面垂直的椎體）“陽馬”（底面為長方形而有一棱與底面垂直的椎體）陽馬塹堵鱉臑“塹堵”（底面為直角三角形的正柱體）“羨除”（三個側面均為梯形的鍥形體）“芻童”（上、下底