用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

關(guān)于用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？1）一般式：y=ax2+bx+c2）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k回味知識點(diǎn)第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天直線x=-11、若拋物線y=ax2+3x-4與拋物線y=-2x2形狀相同，則a=

.2、二次函數(shù)y=x2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A(1,0),B(-3,0)則它的對稱軸是

.4、二次函數(shù)y=x2-2x+2當(dāng)x=

時，y的最小值為

.5、二次函數(shù)y=4x2+mx+1的圖象頂點(diǎn)在x軸上，則m=

；若它的頂點(diǎn)在y軸上，則m=

.±2(0,1)11±40第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天6.(天津)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a＜0,a-b+c＞0,則一定有()A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0A7.(重慶)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則點(diǎn)M（b,)在

()A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限D(zhuǎn)-1a<0,b>0,c>0第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天D8.(安徽)二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像如圖，則下列a、b、

c間的關(guān)系判斷正確的是()A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a-b+c<0

9.(綿陽)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖，則不等式bx+a>0的解為()A.x>a/bB.x>-a/bC.x<a/bD.x<-a/bDa<0,b<0,c<0a<0,b<0第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，那么下列判斷不正確的有()A.abc＞0B.b2-4ac＞0C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0DX=-b/2a<1∴-b<2a∴2a+b＞0當(dāng)x=-2時,y=4a-2b+c＞0第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)確定（3）b的符號：由對稱軸的位置確定（5）a+b+c的符號：由x=1時拋物線上的點(diǎn)的位置確定（6）a-b+c的符號：由x=-1時拋物線上的點(diǎn)的位置確定（7）2a±b的符號：對稱軸與直線x=1或x=-1的位置確定小結(jié)第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

創(chuàng)境導(dǎo)入。

已知一次函數(shù)圖像上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，可以用待定系數(shù)法求出它的解析式。問題：已知二次函數(shù)圖像上的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出它的解析式？第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天學(xué)習(xí)目標(biāo)．(1)理解待定系數(shù)法的意義。(2)會用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k求解析式.(3)會用三點(diǎn)式求函數(shù)解析式.（4）會轉(zhuǎn)化成上述兩種形式求解析式第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為（1，-2），且經(jīng)過點(diǎn)（2，3），求它的解析式。解：∵點(diǎn)(1,-2)是該拋物線的頂點(diǎn).因此可設(shè)這段拋物線對應(yīng)的函數(shù)是∵這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3)∴3=a(2－1)2-2解得:a=5∴拋物線的解析式為:y=5(x－1)2-2=5x2-10x+3y=a(x－1)2-2自學(xué)指導(dǎo)探究1：第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2、形狀與y=-2(x+3)2的圖象形狀相同，但開口方向不同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）的拋物線解析式。y=2(x-1)2=2x2-4x+2第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此所求二次函數(shù)是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5已知一個二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－1,10）（1,4）（2,7）三點(diǎn)，求這個函數(shù)的解析式？探究2：如何解方程組第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6），求此二次函數(shù)的解析式。解：∵二次函數(shù)的最大值是2∴拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2又∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上∴當(dāng)y=2時，x=1。故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

，2）所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2得a=-2故所求二次函數(shù)的解析式為：y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x探究3第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天精講點(diǎn)撥求二次函數(shù)解析式的一般方法：1、已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值，通常選擇一般式。2、已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸和最值）,通常選擇頂點(diǎn)式。yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式。3、轉(zhuǎn)化為上述兩種形式。第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．設(shè)拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，解：根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0，0)(20，16)和(40，0)三點(diǎn)可得方程組

通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定函數(shù)的解析式．過程較繁雜。

評價例1{C=0400a+20b+c=161600a+40b+c=0解得a=-—b=—c=012558嘗試練習(xí)第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．∴設(shè)拋物線為y=a(x-20)2＋16

解：根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(0，0)在拋物線上，

通過利用條件中的頂點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)式求解，方法比較靈活。評價∴所求拋物線解析式為

還有別的解法？∴０=400a+16,a=-—125∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（20,16）第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－1）由條件得：1：已知拋物線與X軸交于A（－1，0），B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解析式？yox點(diǎn)M(0,1)在拋物線上所以：a(0+1)(0-1)=1得：

a=-1故所求的拋物線為y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1思考：1用一般式怎么解？

2用頂點(diǎn)式怎么求解？

探究4第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．設(shè)拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(20，16)在拋物線上

選用兩交點(diǎn)式求解，方法靈活巧妙，過程也較簡捷評價

∴16=20a(20–40),a=-—

125還有別的解法？第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

已知拋物線過A（1，0），B（0，3），且對稱軸為x＝2，求函數(shù)解析式．∴所求函數(shù)的解析式為y＝x2-4x+3．

解法一：設(shè)所求的解析式為y＝ax2＋bx＋c，∵圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（0，3），代入解析式得

c=3,a＋b＝-3．又對稱軸為x＝2，嘗試練習(xí)2第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

已知拋物線過A（1，0），B（0，3），且對稱軸為x＝2，求函數(shù)解析式．

解法二：∵對稱軸為x＝2∴設(shè)所求的函數(shù)解析式為y＝a（x－2）2＋k，則代入A，B點(diǎn)坐標(biāo)后得解得a＝1，k＝-1．∴所求函數(shù)的解析式為y＝（x－2）2-1，即y＝x2-4x+3．第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天精講點(diǎn)撥1、已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為________________2、已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h,k），通常設(shè)拋物線解析式為_______________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過(0，0)，(1，-2)，(2，3)三點(diǎn)；(2)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)，且經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(3)、圖象經(jīng)過(0，0)，(12，0)，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3。當(dāng)堂訓(xùn)練第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天一個二次函數(shù)，當(dāng)自變量x=-3時，函數(shù)值y=2當(dāng)自變量x=-1時，函數(shù)值y=-1，當(dāng)自變量x=1時，函數(shù)值y=3，求這個二次函數(shù)的解析式？已知拋物線與X軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，求這個拋物線的解析式？4、5、第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天6、請寫出如圖所示的拋物線的解析式：（0，1）（2，4）xyO第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天你學(xué)到那些二次函數(shù)解析式的求法求二次函數(shù)解析式的一般方法：1、已知圖象上三點(diǎn)或三對的對應(yīng)值，通常選擇一般式。

2、已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)＊對稱軸和最值,通常選擇頂點(diǎn)式。

3、已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的橫x1、x2，通常選擇交點(diǎn)式

yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式。第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天7、按下列要求求出二次函數(shù)的解析式：（1）已知拋物線y=a(x-h)2經(jīng)過點(diǎn)（-3，2）（-1，0）求該拋物線線的解析式。解：由題意得：點(diǎn)(-1,0)是該拋物線的頂點(diǎn).因此可設(shè)這段拋物線對應(yīng)的函數(shù)是∵這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-3,2)∴2=a(-3+1)2因此拋物線的解析式為:y=a(x+1)2第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)和B(1,0)且對稱軸是直線x＝3.求這個二次函數(shù)的解析式。（3）已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，且圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，-2）與（-1，-8）。求此函數(shù)解析式。第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天拋物線y=2x2-4x-1是由拋物線y=2x2-bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的，則b=

，c=

。87解:求得拋物線y=2x2-4x-1頂點(diǎn)(1,-3)設(shè)原拋物線頂點(diǎn)為(m，n)則m-1=1，n-2=-3，m=2，n=-1∴原拋物線解析式為y=2(x-2)2-1

即y=2x2-8x+7第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天若把拋物線y=x2+bx+c向左平移3個單位,再向上平移2個單位,得拋物線y=x2-2x+2,則b=

，c=,-815解:求得拋物線y=x2-2x+2頂點(diǎn)(1,1)設(shè)原拋物線頂點(diǎn)為(m，n)則m-3=1，n+2=1，m=4，n=-1∴原拋物線解析式為y=(x-4)2-1

即y=x2-8x+15第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)下列條件選擇合適的方法求二次函數(shù)解析式：1、拋物線經(jīng)過（2，0）（0，-2）（-2，3）三點(diǎn)。2、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，-2），且與X軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是8。3、拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，-3），且x=3時y的最大值是4。練習(xí)：第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天四、數(shù)形結(jié)合一、如圖直線l經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)和B(0,4)兩點(diǎn),它與二次函數(shù)y=ax2的圖像在第一象限內(nèi)相交于P點(diǎn),若△AOP的面積為6.(1)求二次函數(shù)的解析式.ABPOxy解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直線AB的解析式為y=-x+4,作PE⊥OA于E,則0.5OA×PE=6,可得PE=3當(dāng)y=3時,3=-x+4,∴X=1,∴P(1,3)

∵P在拋物線上,∴把x=1,y=3代入y=ax2,得a=3,

∴y=3x2E第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天ABPOxy（2）如果D為拋物線上一點(diǎn)，使△AOD面積是△AOP的面積的4倍,求D點(diǎn)坐標(biāo)。

第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

例2、已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ｃ（１，０），直線y=x