2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

2024高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題的一般求解策略。

一、判別式法若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立;2）對(duì)恒成立例1．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。例2．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立Oxyx-1當(dāng)時(shí)，Oxyx-1當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。二、最值法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類(lèi)型有：1）恒成立2）恒成立例3．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對(duì)任意恒成立令，得而∴∴即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4．函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例5．已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。例6．對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7．設(shè),,若恒有成立,求實(shí)數(shù)x-2-4yO-4分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及的圖象如圖所示，的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足解得（舍去)由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。函數(shù)高考命題解讀——函數(shù)圖象、函數(shù)與方程、函數(shù)模型一、考查特點(diǎn)與命題趨向函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，同時(shí)還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣（選擇、填空、解答均有），而且近年來(lái)更注重了在知識(shí)的交匯處命題，綜合函數(shù)與三角、向量、不等式、解析幾何、立體幾何等章節(jié)的內(nèi)容交叉，突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考中考查數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。從歷年高考試題分析，在函數(shù)圖象、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及函數(shù)應(yīng)用幾方面的命題主要圍繞以下方面：1.與基本函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要求學(xué)生能直接作出其圖象或從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換這三種圖象變換，得到所研究函數(shù)的圖象（簡(jiǎn)圖），為進(jìn)一步研究函數(shù)打下基礎(chǔ)。2.培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的能力，會(huì)利用已得函數(shù)圖象，來(lái)進(jìn)一步研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性；3.利用函數(shù)圖象解決方程、不等式中的問(wèn)題；4.新課標(biāo)中增加的函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根內(nèi)容，要求結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)；了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解；5.函數(shù)模型的建立及其應(yīng)用；二、考點(diǎn)分類(lèi)解讀考點(diǎn)1考查基本函數(shù)圖象作圖例1（09年福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科4）函數(shù)的圖象大致是（）C01A01B0101D【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，作出時(shí)的圖象，再作關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圖象，即得整個(gè)函數(shù)的圖象，故可知應(yīng)選C。C01A01B0101D考點(diǎn)2融函數(shù)的性質(zhì)于函數(shù)圖象中例2（08高考·山東理3）．函數(shù)的圖象是（） yxyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，從而，再由偶函數(shù)知圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故選A.點(diǎn)評(píng)：本例中的函數(shù)圖象不易作出，但可以通過(guò)研究函數(shù)的奇偶性、取值范圍等性質(zhì)來(lái)駕馭圖象的特點(diǎn)，從而使問(wèn)題得以解答，綜合性較強(qiáng)?？键c(diǎn)3方程的根與函數(shù)零點(diǎn)例3(08高考·廣東文9)設(shè)，若函數(shù)，，有大于零的極值點(diǎn)，則（）A、B、C、D、【解析】由題意知即有大于0的實(shí)根,即,或者數(shù)形結(jié)合，令,則兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.點(diǎn)評(píng)：本題很好地利用了函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，將所求問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化，使解題思路得以明確?？键c(diǎn)4應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解例4（09福建省福州八中高三第四次質(zhì)檢理5）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.4375）=0.162f（1.40625）=-0.054那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）為 （） A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2【解析】根據(jù)二分法求函數(shù)的零點(diǎn)條件·，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到答案B?？键c(diǎn)5函數(shù)模型及應(yīng)用例5（08高考·廣東文17）某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則,令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，近年來(lái)高考題目重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及節(jié)約能源等生活熱點(diǎn)問(wèn)題的設(shè)置，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，本例屬于反比例函數(shù)模型，可采用求導(dǎo)方法亦可通過(guò)基本不等式求解。小結(jié)：解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重培養(yǎng)下面幾個(gè)能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用?？键c(diǎn)6函數(shù)與其他章節(jié)知識(shí)交匯考查例6.（08高考·山東理12）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)的圖象過(guò)區(qū)域的的取值范圍是（）A． B． C．D．【解析】區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）顯然只能，此時(shí)只需研究過(guò)、兩種情形即可，因此，且即點(diǎn)評(píng)：本題將函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，有機(jī)地同線性規(guī)劃問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，給人耳目一新的感覺(jué)，反映了今后高考命題的一個(gè)方向。（朗文敬）函數(shù)高考題的變式訓(xùn)練改編陳題是高考數(shù)學(xué)命題的途徑之一，近幾年的高考幾乎每年都有改編自課本習(xí)題、歷年高考題、競(jìng)賽試題的題目。平常教學(xué)中，進(jìn)行有效的變式教學(xué)和變式訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性都起著積極的作用。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，其試題靈活性大，綜合性強(qiáng)，出題方式多種多樣，成為歷年高考命題的重中之重。本文對(duì)近兩年的部分函數(shù)高考題，進(jìn)行變式訓(xùn)練。高考真題1(2010年高考湖南理科卷第8題)用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值為（）A．-2B．2C．-1D．1【參考答案】由右圖可以看出，要使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則.故選【D】.變式訓(xùn)練1：用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求的值.【解析】函數(shù)和的零點(diǎn)分別是和，結(jié)合原題的解答圖象，由對(duì)稱(chēng)性得，即.變式訓(xùn)練2：用表示兩數(shù)中的最小值.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【解析】由原題知，分別作出函數(shù)和的圖象，數(shù)形結(jié)合得或.變式訓(xùn)練3：用表示兩數(shù)中的最小值.給定函數(shù)，若不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】分別作出函數(shù)和的圖象，數(shù)形結(jié)合得，即.【小結(jié)】原題通過(guò)新定義考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，考查函數(shù)的圖象，考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.變式題通過(guò)使條件一般化，并結(jié)合方程、不等式的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行訓(xùn)練，依然重視考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。高考真題2(2009年高考全國(guó)Ⅰ理科卷第11題)函數(shù)的定義域?yàn)?，若與都是奇函數(shù)，則()sA.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)【參考答案】由函數(shù)是奇函數(shù)知①由函數(shù)是奇函數(shù)知②由①知，由②知所以，即所以函數(shù)是以4為周期的函數(shù).由②知，即所以函數(shù)是奇函數(shù).故選【D】.變式訓(xùn)練1：對(duì)任意的函數(shù)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象恒（）A.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【解析】函數(shù)和的圖象關(guān)于直線（即軸）對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)圖象平移變換理論得，函數(shù)與（即）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故選【B】.變式訓(xùn)練2：函數(shù)在上是增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，試確定的大小關(guān)系.【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)得：，故函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且開(kāi)口向下，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由簡(jiǎn)圖顯然有.變式訓(xùn)練3：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的都有，求的值.【解析】由題，，兩式相加得即所以因此是周期為6的周期函數(shù).又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以所以【小結(jié)】原題考查奇函數(shù)的概念及對(duì)抽象復(fù)合函數(shù)的奇偶性的理解。抽象函數(shù)無(wú)具體解析式，理解、研究起來(lái)困難很大，它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是高中與大學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)。變式題對(duì)抽象復(fù)合函數(shù)的部分題型進(jìn)行了訓(xùn)練。高考真題3(2009年高考遼寧理科卷第9題文科卷第12題)已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是()A.（，）B.［，）C.（，）D.［，）【參考答案】由于是偶函數(shù),故∴原不等式變?yōu)?又在區(qū)間單調(diào)增加得,解得.故選【A】.變式訓(xùn)練1：已知奇函數(shù)對(duì)于任意，都有,求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由知在是增函數(shù)，又為奇函數(shù)所以，，，即，，，即，，所以.變式訓(xùn)練2：已知奇函數(shù)對(duì)于任意，都有，若恒成立，求的取值范圍.【解析】由知在上是減函數(shù)，又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在上是減函數(shù).由恒成立，得即恒成立，而，所以.變式訓(xùn)練3：已知是定義在上的奇函數(shù)，，且滿足，，.若對(duì)所有恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】任取，由為奇函數(shù)得：∴由已知∴即在上為增函數(shù)又，故對(duì)，恒有∴要使對(duì)所有恒成立，即要成立，故記，對(duì)，只需即，解得：.【小結(jié)】原題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及抽象函數(shù)不等式的解法。抽象函數(shù)與不等式的綜合命題是近年高考的熱點(diǎn)，變式題嘗試改變條件的呈現(xiàn)形式，并對(duì)不等式的探討進(jìn)行拓深、拓廣。高考真題4(2010年高考湖南理科卷第20題)已知函數(shù)對(duì)任意的，恒有.（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值.【參考答案】（Ⅰ）易知，由題設(shè)，對(duì)任意的，即恒成立，所以，從而.于是，且，因此，故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，有（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，，當(dāng)，有，令，則，而函數(shù)的值域是.因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合為.當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）易知，此時(shí)，，從而恒成立.綜上所述，的最小值為.變式訓(xùn)練1:設(shè)二次函數(shù)滿足，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，并且當(dāng)時(shí)，有.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（Ⅰ）∵對(duì)于任意，都有,且當(dāng)時(shí),有.令∴，即.（Ⅱ）由，可得，則.又對(duì)任意，，即，∴.∴，即.（Ⅲ）,∴，∴.∴,當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)函數(shù).∴,解得或.變式訓(xùn)練2:設(shè)二次函數(shù)滿足條件：①當(dāng)時(shí)，，且；②當(dāng)時(shí)，；③在上的最小值為0.求最大的，使得存在,只要，就有.【解析】由，可知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為又由③知二次函數(shù)的開(kāi)口向上，即，故可設(shè)由①知，由②知，所以，故，所以.因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，而的圖象是由的圖象平移個(gè)單位得到.要在區(qū)間上，使得的圖象在的圖象的下方，且最大，則1和是關(guān)于的方程（＊）的兩個(gè)根.把代人方程（＊）得或當(dāng)時(shí)，方程（＊）的解為，這與矛盾當(dāng)時(shí)，方程（＊）的解為，所以又當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒有，即.所以，的最大值為9.【小結(jié)】原題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的值域，不等式的證明，考查考生轉(zhuǎn)化與化歸能力.二次函數(shù)是重要的初等函數(shù)之一，幾乎每年高考都有涉及，客觀題往往是利用它的性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題，解答題主要與最值、不等式等知識(shí)綜合考查，一般為難題。二次方程、二次不等式與二次函數(shù)密切相關(guān)，變式題對(duì)“三個(gè)二次”的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行訓(xùn)練。高考真題5(2010年高考全國(guó)新課標(biāo)理科卷第21題)設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【參考答案】（Ⅰ）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)