2023-2024學(xué)年山東省棗莊市某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年山東省棗莊市第八中學(xué)高二上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)

試題

一、單選題

1.己知復(fù)數(shù)Z==（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.—/B.—iC.gD.—

2222

【答案】C

【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,由此求得z的虛部.

iz（l+z）-l+z11I

【詳解】z=LI[=丁=丁下,故虛部為J.

1-z+2222

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.在平行六面體ABCO-ABCQ中，M為4G與BQ的交點(diǎn)，若AB=〃，AD=b，=c,則下

列向量中與相等的向量是（）

11,11,11,-11,

A.—a+—b+cB.—a+—b+cC.—a—b+cD.—a—b+c

22222222

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量基本定理結(jié)合空間向量運(yùn)算求解作答.

【詳解】在平行六面體A8CZJ-4耳G。中，M為AG與B自的交點(diǎn),

故AM=g（AA+AA）=g“+；〃,

故BM=BA+A^+AM=-AB+AA]+=-o+c+g〃+；〃=-ga+gz?+c.

故選：B

3.點(diǎn)A（3,4,5）關(guān)于坐標(biāo)平面?！睂?duì)稱的點(diǎn)5的坐標(biāo)為（）

A.(3,4,-5)B.(-3,4,5)

C.(—3,4,—5)D.(—3,—4,—5)

【答案】B

【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱特征判定即可.

【詳解】關(guān)于坐標(biāo)平面0)2對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)變換為其相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變.

即點(diǎn)A(3,4,5)關(guān)于坐標(biāo)平面Qvz對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,4,5).

故選：B

4.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為石，高與斜高的夾角為30。，則該正四棱錐的體積為()

A.■B.氈C.473D.2G

33

【答案】A

【分析】畫出圖形，正四棱錐P-ABCD,高為尸O,斜高為PE,然后根據(jù)已知條件列方程可求出

高和底面邊長(zhǎng)，從而可求出體積.

【詳解】如圖，在正四棱錐高為PO,斜高為PE,

題意可得PA=PB=PC=尸。=6,NOPE=30°

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為。，則OE=BE=J。，

在RtPOE中，PE=2OE=a,

在RtZSPBE中，PE2+BE2=PB-，則/+9力=5,解得”=2,

4

所以PO=4PE2-OE2="^l=g，

所以正四棱錐的體積為乜82/0=上4義6=迪，

333

故選：A

5.若ae0,g,且tan2a=f^,則sine的值為()

I2)2—sina

【答案】D

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.

■、上e、r-cosa「Li、12tanercosa

【詳解】因?yàn)閠an2a=；；~：—,所以;——=--：—，

2—sinal-tan-a2-sina

2sinacosacosa

R即n―2———=——，

cosa-sina2-sincr

因?yàn)閍￡(0，W),所以cosa>(),siner>0,

所以4sina-sin2a=cos2a，

因?yàn)閟in?a+cos2a=1,所以4sina=l,解得sina=-7.

4

故選：D

6.若x,y,zcR,則

y/x2+y2+z2+Jx2+y2+(z-l)2+^(x-l)2+(y-l)2+z24-^(x-1)2+(y-l)2+(z-l)2的最小值為

()

A.272B.3c.2V3D.4

【答案】C

【分析】利用空間中兩點(diǎn)之間的距離公式，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，從而使得問(wèn)題得以解決.

【詳解】題干中代數(shù)式的幾何意義是空間中任意一點(diǎn)4x,y,z)分別到點(diǎn)。(0,0,0)、3(0,0,1)、

C(l,l,0),D(1J1)的距離之和，如圖所示，四邊形O8OC是一個(gè)矩形，

ZA

易知|明+|442忸q,|AO|+|AD|2|O4

當(dāng)點(diǎn)A(x,y,z)位于矩形OBDC的中心時(shí)，其距離之和最小，

且最小值為矩形OBDC的對(duì)角線長(zhǎng)之和，而|oq=忸q=G,

所以代數(shù)式的最小值為2G.

故選：C

7.已知忖=1,6=(1,句，a_L(a+6),則向量”在向量6上的投影向量為()

【答案】D

【分析】先算W，再求與向量8同向的單位向量和a在b上的投影，然后由投影向量定義可得.

【詳解】由題知W=?石=2,與向量匕同向的單位向量為啟=g，V)

因?yàn)?所以G(a+/0=”-+”?〃=l+2cos〈a,6〉=0,得cos〈a,b〉=-1

所以向量a在向量。上的投影為卜上5〈“力〉=-；，

所以向量a在向量6上的投影向量為-另，#)=(-*￥).

故選：D

8.已知長(zhǎng)方體ABCD-AB'CZ)'中，AB=3,BC=4,AA'=5,BP=ABC',若A'PJLBC',貝IJ2=()

1c16-25-25

AA.~B.—C.—D.—

2254134

【答案】c

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為X軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(a,4C),求出8尸,718c的坐標(biāo)，利用BP=2BC；得p坐標(biāo)，然后利用A'P_LBC'可

得2.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為X軸，0c所在直線為y軸，所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A'（4,0,5）,B（4,3,0）,C'（0,3,5）,設(shè)P（“也c）,

則BP=（a-42一3,c）,/IBC'=4（-4,0,5）=（-44,0,5義）.BP=ABC'，

a—4=—42?=4-42

解得卜

"3=0=3

c=52c=52

???P（4-4A,3,52）,

/.AP=（-443,54-5）,

..25

A'PLBC,...AP?8C'=164+254-25=0，解得4=.

41

故選：C.

二、多選題

9.已知|復(fù)數(shù)z=a+(a+l)i(awR),則()

A.若zeR,則a=-l

B.若z是純虛數(shù)，則a=0

C.若a=1,則彳=1+2i

D.若a=3,則忖=5

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A、B,根據(jù)共軌復(fù)數(shù)判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷D.

【詳解】因?yàn)閦=a+(a+l)i(aeR),

對(duì)于A：若ZGR,則a+l=0,解得a=-l,故A正確;

對(duì)于B：若z是純虛數(shù),則;解得故B正確:

對(duì)于C：若。=1,則z=l+2i,所以]=l-2i，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若。=3,則z=3+4i,所以忖=，32+42=5,故D正確；

故選：ABD

10.已知空間單位向量PA，PB-PC兩兩夾角均為60,PA=2PE，BC=2BF，則下列說(shuō)法中正

確的是（）

A.P、A、B、C四點(diǎn)可以共面

B.PA（BC+AC）=-^

c"葉孝

D.cos^AF,CF^=—

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量共面即可判斷點(diǎn)共面，進(jìn)而可判斷A,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解B,根據(jù)模

長(zhǎng)的計(jì)算公式即可判斷C,根據(jù)夾角公式即可求解D.

【詳解】由于單位向量PA,PB，PC兩兩夾角均為60,

所以PAPB=PAPC=PCP8=lxlxcos60=-,

2

假設(shè)P、A、B、C四點(diǎn)可以共面，則共面，

所以存在x,y,使得PA=xPB+yPC,分別用以，PB，PC與必=xPB+yPC點(diǎn)乘，

11

1=-X+—V

22

則g=,由于該方程組無(wú)解，所以不存在孤兒使得PAPB/C共面，

11

—=—x+y

[22

故P、A、8、。四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,PA（BC+AC）=PA（PC-PB+PC-PA）=PA（2PC-PB-PAj=l-^-1=-^MB正確,

對(duì)于C,由PA=2PE得

PC+PR

由BC=2BF得PC-PB=2PF-2PB=PF=-...........

b,、，PC+PB-PAI\pc+PB-pA1r-------

所以EF=PF-PE=-----------，則nil歸l目='------------=；4PC+PB

-^PC2+Plf+P^+2PC-PB-2PC-PA-2PA-PB

='jl+l+l+1-1-1=也，故C正確;

22

,-X,1C1

對(duì)干DPC+PB-2PA(PC+PB-2PA\'PC[+丁2x,j

燈JD，"=PF-PA=--------------------』=——2——2.=--

2224

故cos（AF,CP）＜0,故D錯(cuò)誤,

故選：BC.

11.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異.從袋中隨機(jī)摸球兩

次，每次摸出1個(gè)球，設(shè)事件A=”第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3"，事件8="第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于

3”，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的有（）

A.若摸球方式為有放回摸球，則A與否互斥

B.若摸球方式為有放回摸球，則A與否相互獨(dú)立

C.若摸球方式為不放回摸球，則A與百互斥

D.若摸球方式為不放回摸球，則A與否相互獨(dú)立

【答案】ACD

【分析】以X、y分別表示第1次、第2次摸球的編號(hào)，以（x,y）為一個(gè)基本事件，列舉出所有的基

本事件，以及事件A、豆、A豆所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷，即

可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】以X、y分別表示第1次、第2次摸球的編號(hào)，以（X,y）為一個(gè)基本事件.

對(duì)于AB選項(xiàng)，若摸球方式為有放回摸球，則所有的基本事件個(gè)數(shù)為42=16個(gè)，

事件A包含的基本事件有：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）,共8種,

事件后包含的基本事件有：（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,3）、（3,4）、（4,3）、（4,4）,共8種,

則事件A百包含的基本事件有：。，3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,則4「豆.0,

即A與百不互斥，A錯(cuò)，

P（4）=P⑻=.=g,P（A同=\=P（4）P⑻，即A與互相互獨(dú)立，B對(duì)；

對(duì)于CD選項(xiàng)，若摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：。,2）、（1,3）、（1,4）、

（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）,共12種，

事件A包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）,共6種，

事件后包含的基本事件有：（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）、（4,3）,共6種，

事件包含的基本事件有：。,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,共4種，

則4B^0,即A與萬(wàn)不互斥，C錯(cuò)，

P（A）=P⑻=^1=g,網(wǎng)施）=W=P（A）P⑻，即A與否不相互獨(dú)立，D錯(cuò).

故選：ACD.

12.如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-AAGA中，點(diǎn)尸為線段A乃上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則

下列結(jié)論正確的是（）.

A.平面RAPJ■平面A4P

B.三棱錐用-RPC的體積為g

C.APDC,=1

D.DCtlDtP

【答案】ACD

【分析】以。為原點(diǎn)，OAOCDR所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)

運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，力人。。,?？谒谥本€為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),c(o,1,0),R(0,0,1),A(1,0,1),片(1,1,1)6(0,1,1)

對(duì)于A,連接￡>G，因?yàn)榱Ρ?，平面AABq,尸€平面4488_所以〃A=(1,0,0)是平面AAP的

一個(gè)法向量，

又0G=(O,I,I)，AA=(I，O,O)，AB=(O，I，T)，所以3=O,OC/AB=O,則

￡>G_L￡>A￡)G"8,

又。4門48=4,44,48<2平面。4P，所以。G，平面D/P

則。G=（o」,i）是平面RA。的一個(gè)法向量，又QA-OG=0,

所以平面RAP，平面AMP,故A正確；

對(duì)于B,連接AC,因?yàn)锳C=（0,l,-l）,A5=（0,l,-l）,所以。C=A8,則2C〃A8,又RCu平

面用。C,ABu平面4RC，所以AB//平面8QC,

點(diǎn)P在線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)P到平面BRC的距離即點(diǎn)A到平面BQC的距離d,

設(shè)平面ARC的法向量為〃=(x,y,z),又￡>C=(0,l,-l),D]BI=(1,1,0)

n-D,C=y-z=0fy=zz

則,=,令z=l,所以〃=(—1,1,1)

n-DlBl=x+y=0[x=_y

又A4=(i,o,o),所以距離u=0客1=卜1+；+01=立,

\n\J33

在▲BQ。中BQI==RC=亞,所以-3QC為正三角形

=—XX

VponC—V.§口。=DC,—^2Xy/O,X^—X^—=—,故B不正確；

r~D\U^/ij_4>|1Z]C34iO|L/|C32236

對(duì)于c,點(diǎn)尸為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則設(shè)AP=義4氏/1€（0,1）

所以AP=A4,+42=9+/143=（0,0,-1）+2（0,1,-1）=（0,41-2），DC,=（0,1,1）

則=0+/1+1-/1=1,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)椤?gt;G=（0,1,1）,AP=AA+AP=（I，O，°）+4（°，I，T）=（I，Z—2），所以

0GAp=0+4—2=0,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.某學(xué)校高一男生、女生的人數(shù)之比為4:5,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取90人，若

樣本中男生的平均身高為171cm,女生的平均身高為160.2cm,則該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值

為(單位：cm).

【答案】165

【分析】利用平均數(shù)的求法即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)樣本中高一男生人數(shù)為4x,則樣本中高一女生的人數(shù)為5x,

故4x+5x=90,解得x=l(),則樣本中高一男生人數(shù)為40,高一女生的人數(shù)為50,

所以樣本中高一學(xué)生平均身圖為---------------=165cm,

故而該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為165cm.

故答案為：165.

2

14.如圖，在ABC中，已知A3=2,AC=3,ZBAC=60,"是BC的中點(diǎn)，AN=gAC,設(shè)4M

與BN相交于點(diǎn)P,則cos/MPN=.

【分析】用AB和AC表示AM和BN，根據(jù)cos/WW=cos<AA/,8N>以及AB=2,AC=3,

ABAC=60,可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤ㄊ?C的中點(diǎn)，所以AM=(AB+tAC,

22

\AM|=-|AB|2+-|4C|2+-|AB||AC|-cos60

442

1+2+L2x3」=晅

4222

22

因?yàn)锳N=±AC,BN=AN-AB=-AC-AB,

33

|BN|=#AC-ABj=^|AC|2+|AB|2-||AC||AB|xi

h4r

=J-X9+4——x3x2x-=2,

V932

所以

AjBN=（〈AB+：Ac].佶AC-癡=:|AB『+JACTAB||AC忌

I，，，723o2

八

=——1x4.+-1x9——1x2cx3cx—1=—1,

23622

AM?BN5>/?9

所以cosNMPN=cos<AM,BN>=---------------=—f==.

\AM\-BN\川9”38

-----xz.

2

故答案為：Y叵

38

15.已知四棱錐P-ABC￡＞的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAO為等邊三角形，平面尸49,平面A8C￡＞,

其中4)=2,A8=3,則四棱錐尸-A3CD的外接球表面積為.

【答案】節(jié)43兀

【分析】設(shè)二24。外接圓的圓心為Q,外接球球心為。，先分別求得外接圓的半徑與0。，

再利用勾股定理求得外接球的半徑，從而得解.

【詳解】記4。的中點(diǎn)為連接尸￡A8cS=E,連接EF,

設(shè)二皿＞外接圓的圓心為。一半徑為「，所求外接球球心為。，半徑為R，連接。O「OE,如圖,

=3x2x2=邁,

233

因?yàn)?%￡＞為等邊三角形，尸是4。的中點(diǎn)，所以PFJ_AO,

因?yàn)槠矫鍼/W_L平面48CD,平面幺。c平面A8CD=A。/尸匚平面玄。,

所以「尸，平面ABC。，

因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，所以E是底面A2CQ外接圓的圓心,

故OE_L平面ABC。，所以PF0E,

同理。。1〃￡尸，所以四邊形。0尸￡是矩形,

13

所以00I=EF=—AB=5,

所以球0的半徑穴2=

所以外接球的表面積為s=4n六=羊.

故答案為：節(jié)437r.

四、雙空題

16.已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，過(guò)點(diǎn)/%,為*。)，且一個(gè)法向量為〃=(4力,C)的平面a的方程

為4(萬(wàn)-/)+/，-%)+?2-2°)=0.用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知平面a的方程為

x+2y—2z+l=0,直線/是兩個(gè)平面x-y+3=0與x—2z—1=0的交線，試寫出直線/的一個(gè)方向向

量為,直線/與平面a所成角的正弦值為.

【答案】(2,2,1)1

【分析】由題意可得平面a的法向量，同理可得平面x-y+3=0的法向量以及x-2z-1=0的法向量,

根據(jù)已知可知直線/與這兩個(gè)法向量垂直，可設(shè)直線/的方向向量為機(jī)=(x,y,z),即得方程組求得直

線/的一個(gè)方向向量；繼而利用向量的夾角公式可求得直線/與平面a所成角的余弦值.

【詳解】平面a的方程為x+2y-2z+l=0,可得平面a的法向量為〃=(1,2,-2),

平面x-y+3=0的法向量為肛=(l,-l,0),x-2z-l=0的法向量為用=(1,0,-2),

m?網(wǎng)=0x-y=0

設(shè)直線/的方向向量為加=(x,y,z),貝?卜即

mm2=0x-2z=0

令z=l則取機(jī)=(2,2,1),

設(shè)直線/與平面a所成角6,0<0<90,

則sine=Jcos(w)=44

79x799

故答案為：(2,2,1)；

五、解答題

17.設(shè)x,yeR,向量”=b=c=(2,T,2),且°_1_匕，b//c-

⑴求卜+0;

(2)求向量〃+〃與2。+8-c夾角的大小.

【答案】⑴3

【分析】根據(jù)空間向量垂直和平行的性質(zhì)，求出小y,進(jìn)而求出向量〃和b,再進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算即可.

【詳解】(1)由題意，Q_L6，bile、

卜+y+i=°rx=i

可得L'_L,解得八一2'

12-42U

則a=(l,l/)，/>=(1,-2,1),所以。+8=(2,—1,2),

故卜+“衣+㈢八2?=3.

(2)因?yàn)?々+尻c=(1,4,1),

所以(。+??(2。b?c)=2?1(-1)?42?10,

TT

故向量a+6與2a+6-c的夾角為萬(wàn).

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)4(3,4),8(-2,2),且四邊形。4BC是平行四

邊形.

⑴求點(diǎn)c的坐標(biāo)及|AC|；

⑵若點(diǎn)P為直線。8上的動(dòng)點(diǎn)，求PA?PC的最小值.

【答案】⑴c(—5,-2),kq=io.

(2)-25

【分析】Q)04BC是平行四邊形，利用OC=AB求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得AC的坐標(biāo)及卜。|

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出P4PC，結(jié)合函數(shù)思想求最小值.

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則OC=(x,y),AB=(-5,-2),

因?yàn)樗倪呅?U5C是平行四邊形，0C=A8,則有［、二_2,所以“一5,-2),

可得AC=(-8,-6),,4=10.

(2)由題意直線OB的方程為〉=-x,設(shè)P(a,一?),

則PA=(3—a,4+a),PC=(-5-a,-2+?),

所以PA.PC=(3-a)(-5-a)+(4+a)(-2+a)=2/+4a-23=2(a+l)2-25,

故當(dāng)。=一1,點(diǎn)P坐標(biāo)為(-L1)時(shí)，尸A.PC取得最小值-25.

19.某城市醫(yī)保局為了對(duì)該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100名參保群眾，

就該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將這100人的問(wèn)卷根據(jù)其滿意度評(píng)

分值(百分制)按照［50,60),［60,70),,［90,100］分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.

一頻率

W

0.035-----------------1-

0.030----------------------------

X------------------------------1.

0.010---------------------------------

0.005-------I-I

-AA!~~~~------->

0506070809010°滿意度評(píng)分值(分)

(1)求圖中X的值；

(2)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

⑶已知滿意度評(píng)分值在［80,90)內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3:2,若在滿意度評(píng)分值為［80,90)的人中

按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.

【答案】⑴0.02

【分析】(1)利用頻率之和為1求解即可；

(2)先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再利用中位數(shù)的定義列式求解即可；

(3)先利用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再利用列舉法與古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】(1)依題意，W(O.OO5+x+0.035+0.030+0.01)x10=1,解得x=0.02；

(2)因?yàn)?0.(X)5+().()2)xl()=().25<().5,0.25+0.035*10=0.6>0.5,

所以中位數(shù)在［70,80)間，設(shè)為加，

,540

則0.25+(/n-70)x().035=0.5,解得m=—.

(3)依題意，因?yàn)闈M意度評(píng)分值在［80,90)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3:2,

按照分層抽樣的方法在其中隨機(jī)抽取5人，則抽中男生3人，女生2人,依次分別記為A,4,A,,穌約,

對(duì)這5人依次進(jìn)行座談，前2人的基本事件有：A4,A4,4與，入約，44,4片，\B2,A^,

4約，共件，

BIB2,IO

設(shè)“前2人均為男生”為事件A,其包含的基本事件有：A4,AA，&A，共3個(gè)，

所以尸(力=正.

20.圖①是由矩形ADE8,RtzXMC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,

/。86=60。.將其沿48,BC折起使得BE與BF重合，連接。G,如圖②.

圖①圖②

(1)證明：平面ABC1平面BCGE；

⑵證明：￡心〃平面4BC；

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)通過(guò)證明431平面BCGE來(lái)證得平面A8C2平面5CGE.

(2)通過(guò)證明AC〃Z)G或平面OEG〃平面A6C來(lái)證得ZX7〃平面ABC.

【詳解】(1)由題意知AB1BC,BEBC=B,BE,BCc^BCGE,

所以AB工平面BCGE,

又ABu平面ABC,所以平面43c2平面BCGE.

(2)法一：由題意可知"W3E,AD=EB,CGIIBE,CG=BE,

所以A￡>〃CG,AD^CG,所以四邊形ACGO為平行四邊形，所以AC〃/)G,

又ACu平面ABC,Z)G<z平面ABC,所以Z)G〃平面ABC.

法二：因?yàn)镋D//AB,43u平面ABC,即0平面4BC,所以E￡>〃平面ABC,

EG!IBC,BCu平面43C,EG0平面ABC,所以EG//平面ABC,

EDEG=E,ED,EGu平面EDG,

所以平面DEG〃平面ABC,又。Gu平面。EG,所以。G〃平面ABC.

21.如圖，在底面是矩形的四棱錐尸—ABCD中，尸A_L平面ABC￡>,PA=AB=2,BC=4,E是P￡)

的中點(diǎn).

B'--------------------

(1)求證：C0_L平面PAO；

(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值;

(3)求B點(diǎn)到平面EAC的距離.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得C￡>_L平面PAO；

(2)利用向量法求得平面E4C與平面AC。夾角的余弦值；

(3)利用向量法求得8點(diǎn)到平面E4C的距離.

【詳解】(1)因?yàn)镻AJ■平面ABC。，A8,A0u平面A8CD,所以叫，,

由于四邊形A8CE>是矩形，所以

由此，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8,AD,AP所在直線分別為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2)；

所以AB=(2,0,0),A。=(0,4,0),AP=(0,0,2),CO=(-2,0,0),

因?yàn)镃O-AD=0，所以C0_LA。，

由于CO-AP=0，所以C￡>_LAP,

由于AOAP=A,AP,APu平面PA。，

所以C￡)_L平面PAO；

(2)設(shè)平面ACE的法向量”=(x,y,z),

n-AE=02y+l=0

則,即

n-AC=0|2x+2y=0n

不妨令x=l河得”=(L-g,D,

且AP=(0,0,2)為平面ABC的一個(gè)法向量,

nAP2

于是cos(〃?AP

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