2024年中考數(shù)學總復習第五章《四邊形》第二節(jié)：矩形 菱形 正方形（附答案解析）

2024年中考數(shù)學總復習第五章《四邊形》第二節(jié)：矩形菱

形正方形

★解讀課標★熟悉課標要求，精準把握考點

1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系;

2.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理.

★中考預測★-------------統(tǒng)計考題頻次，把握中考方向

本考點內(nèi)容是考查重點，年年都會考查,分值為15分左右，預計2024年各地中考還將出現(xiàn)，

并且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長度問題的可能性比較大。

解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動

態(tài)問題綜合應用的可能性比較大。對于本考點內(nèi)容，要注重基礎，反復練習，靈活運用。

★聚焦考點★-------------直擊中考考點，落實核心素養(yǎng)

考點講解

矩形1.矩形的性質(zhì)：

(1)四個角都是直角；

(2)對角線相等且互相平分；

(3)面積=長X寬=2S△榔=4S,B.(如圖)

2.矩形的判定：

(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)有三個角是直角的四邊形是矩形；

(3)對角線相等的平行四邊形是矩形.

直角三角形斜1.性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角

邊上的中線形的外心位于斜邊的中點)

2.定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三

角形是以這條邊為斜邊的直角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

第1頁共154頁

菱形1.菱形的性質(zhì)：

(1)四邊相等；

(2)對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；

(3)面積=底乂高=對角線乘積的一半.

2.菱形的判定：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四條邊都相等的四邊形是菱形.

正方形1.正方形的性質(zhì)：

(1)四條邊都相等，四個角都是直角；

(2)對角線相等且互相垂直平分；

(3)面積=邊長X邊長=2SAAM=4SAMB.

2.正方形的判定：

(1)有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；

(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形；

(3)一個角是直角的菱形是正方形；

(4)對角線相等且互相垂直、平分的四邊形是正方形.

四邊形、平行四

邊形和特殊四入「7

邊形的關系9邊形/平行四詡夕⑥①

正方形

________________________________矩形

⑧------------

兩組對邊分別平行；②相鄰兩邊相等；③有一個角是直角；④有一個

角是直角；⑤相鄰兩邊相等；⑥有一個角是直角，相鄰兩邊相等；⑦

四邊相等；⑧有三個角都是直角.

中點四邊形1.任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形.

2對.角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.

3.對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.

4.對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.

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與折疊有關的1.折疊問題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖

計算常用性質(zhì)形；

2.折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）；

3.折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）.

★方法導引★--------------總結(jié)思想方法，提升解題效率

1.矩形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有自己單獨的性質(zhì)，即：矩形的四個角都

是直角；矩形的對角線相等.

2.利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即在直角三角形中，斜邊上的中

線等于斜邊的一半.

3.矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形.

4.菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，具有自己單獨的性質(zhì)，即：菱形的四條邊都相等；

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

5.菱形的判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

6.正方形的性質(zhì)=矩形的性質(zhì)+菱形的性質(zhì).

7.正方形的判定：以矩形和菱形的判定為基礎，可以引申出更多正方形的判定方法，如對角

線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.證明四邊形是正方形的一般步驟是先證出四邊形

是矩形或菱形，再根據(jù)相應判定方法證明四邊形是正方形.

8.中點四邊形一定是平行四邊形；

9.中點四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學法

考點01矩形

1.（2022?廣西梧州）如圖，在工ABC中，ZACB=90,點D,E分別是A8,AC邊上的中點，

連接C2DE.如果AB=5m,BC=3m,那么CD+OE的長是in.

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A

13

【分析】由D、E分別是AB和AC的中點得到DE是AABC的中位線，進而得到DE=3BC=j,

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=:A8==，由此即可求出CD+OE.

【詳解】解：???D、E分別是AB和AC的中點，

???DE是AABC的中位線，

13

??.DE=-BC=-,

22

???ZAC8=90,

.?.由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：DC=^-AB^I-,

22

35

：.CD+DE=-+-=4

229

故答案為：4.

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，屬于基

礎題，熟練掌握中位線定理是解決本題的關鍵.

2.（2022?山東濱州）如圖,在矩形A3CO中，AB=5,AD=\0.若點E是邊AD上的一個

動點，過點E作樣，AC且分別交對角線AC,直線BC于點0、F,則在點E移動的過程中，

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［答案］25_±5占

2

【分析】過點D作切W〃耳■交BC于M,過點A作使AN=EF,連接NE,當N、

E、C三點共線時，AF+FE+EC>CN+AN,分別求出CN、AN的長度即可.

過點D作。W〃EF交BC于M,過點A作4V〃砂，使4V=EF,連接NE,

???四邊形ANEF是平行四邊形，AN=AF=NE,

???當N、E、C三點共線時，AF+CE最小，

四邊形ABCD是矩形，AB=5,AD=10,

AD=BC=10,AB=CD=5,ADBC,ZABC=90°,

.-.AC=ylAB2+BC2=5^5，，四邊形EFMD是平行四邊形，

:.DM=EF,DM=EF=AN,

EFLAC,：.DM±AC,ANrACfZC4A/=90°,

AMDC+ZACD=90°=ZACD+ZACB,.\ZMDC=ZACBf

.AmZMDC=tanZACB,即如=空，MC=~,

CDBC2

在用aw中，由勾股定理得DM=JCD?+CM?=3叵=AN,

2

在Rt.ACN中，由勾股定理得CN=y/AC2+AN2=—,

2

■.AF+FE+EC>CN+AN,/.AF+FE+EC>25+5^,

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二A廠+莊+EC的最小值為25+5石,故答案為：25±5-.

22

【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形,

平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關鍵.

3.（2022?黑龍江）在矩形ABCD中，AB=9,49=12,點E在邊CD上，且C￡=4,點

P是直線BC上的一個動點.若VAPE是直角三角形，則BP的長為__.

3115

【答案】當或?qū)幓?

【分析】分三種情況討論:當NAPE=90°時，當NAEP=90°時,當NPAE=90°時,過點P

作PFLDA交DA延長線于點F,即可求解.

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9fAD=BC=\2tZBAD=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

如圖，當NAPE=90°時，

AZAPB+ZCPE=900,

VZBAP+ZAPB=90°,

???ZBAP=ZCPE,

VZB=ZC=90°,

AAABP^APCE,

.ABBP9BP

??一,U|J一

PCCEn-BP4

解得：BP=6；

如圖，當NAEP=90°時，

AZAED+ZPEC=90°,

VZDAE+ZAED=90°,

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???NDAE=NPEC,

VZC=ZD=90°,

.'.△ADE^AECP,

.ADDE12_9-4

??一,一,

CEPC4PC

解得：PC=|,

31

??.BP=BC—PC=—；

3

如圖，當NPAE=90°時，過點P作PFJ_DA交DA延長線于點F,

根據(jù)題意得NBAF二NABP=NF=90°,

???四邊形ABPF為矩形，

APF=AB=9,AF=PB,

VZPAF+ZDAE=90°,ZPAF+ZAPF=90°,

???NDAE二NAPF,

VZF=ZD=90°,

AAAPF^AEAD,

.AFPFnnAF_9

DEAD9-412

解得：AF=：,即PB==；

44

3115

綜上所述，BP的長為￡或號或6.

故答案為：（31或1;5或6

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵.

4.（2022?江蘇泰州）如圖，線段DE與AF分別為AABC的中位線與中線.

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A

⑴求證：AF與DE互相平分；

(2)當線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關系時，四邊形ADFE為矩形？請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)AF=aBC,理由見解析

【分析】(D易知點D,E,F分別是AB,AC,BC的中點，所以線段DF與EF也為AABC的

中位線，由中位線定理證得四邊形ADFE是平行四邊形，因為平行四邊形的對角線相互平分，

此題可證；

(2)根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，結(jié)合已知條件可知，當AF=^BC時，平行四邊

形ADFE為矩形.

(1)證明：：線段DE與AF分別為AABC的中位線與中線，

AD,E,F分別是AB,AC,BC的中點，

線段DF與EF也為AABC的中位線，

；.DF〃AC,EF〃AB,

四邊形ADFE是平行四邊形，

.??AF與DE互相平分.

(2)解：當AF=^BC時，四邊形ADFE為矩形，理由如下：

?.?線段DE為4ABC的中位線，

.,.DE=^-BC,

由(1)知四邊形ADFE為平行四邊形，若.ADFE為矩形，則AF=DE,

...當AF=/BCH寸，四邊形ADFE為矩形.

【點睛】此題考查了中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)；解題的關

鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練運用上述知識.

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5.（2022?湖北十堰）如圖，ABCD^,AC,30相交于點。，E,F分別是OC

的中點.

（1）求證：BE=DF；（2）設法=左，當％為何值時，四邊形是矩形？請說明理由.

【答案】（1）證明見解析⑵當女=2時、四邊形OE8B是矩形，理由見解析

【分析】（1）連接力E,BF,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得。4=OC,O3=。。，再根據(jù)線

段中點的定義可得?！?:OA=:OC=OF,然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形DEBF

22

是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；

（2）先根據(jù)矩形的判定可得當即時，四邊形DEBF是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、

平行四邊形的性質(zhì)可得AC=2￡F,由此即可得出k的值.

（1證明：如圖，連接。E,8尸，

四邊形438是平行四邊形，，OA=OC,O3=OD,

E,尸分別是0C的中點，.?.OE='Q4=1OC=OF,

22

???四邊形是平行四邊形，.?.8￡'="'.

⑵解：由（1）己證：四邊形DEB尸是平行四邊形，

要使平行四邊形。E3尸是矩形，則瓦）=防，

OE=-OA=-OC=OF,

22

:.EF=OE+OF=^OA+^OC=OA=^AC,KPAC=2EF,

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AC7FF

；/=痣=與2=2,故當上=2時，四邊形OE3F是矩形?

BDEr

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形

的判定與性質(zhì)是解題關鍵.

6.（2022?黑龍江哈爾濱）已知矩形488的對角線4。,8。相交于點0,點￡是邊/1￡）上

一點，連接BE,C￡OE,且3E=CE.

（1）如圖1,求證：△BEO四△CEO；

⑵如圖2,設BE與AC相交于點F,CE與3。相交于點H,過點D作AC的平行線交BE的

延長線于點G,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（二心除

外），使寫出的每個三角形的面積都與二田的面積相等.

【答案】（1）見解析

（2）ADEG.△￡>￡〃、VBFO,CHO

【分析】（1）利用SSS證明兩個三角形全等即可；

（2）先證明RtAABE^RtADCE得到AE=DE,MlJS^AOE=S?DOE,根據(jù)三線合一定理證明；.0E

±AD,推出AB〃O￡,得到以.￡=5血￡,即可證明/所。=50山由△3EOq△CEO,得到

ZOBF=ZOC1I,S&BOE=S&COE，證明aBOF且△COIL即可證明=SACH°=S&EF，則

S&OEF=SAOEH，即可推出S^OEH=S&IEF,最后證明AEF=DEG,即可得到S&EF=S^O￡G；

（1）證明：,??四邊形A3CO是矩形，

二AC與3。相等且互相平分，

OB=OC,

VBE=CE,OE=OE,

:.△BEgMEO（SSS）；

（2）解：?.?四邊形ABCD是矩形，

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AAB=CD,ZBAE=ZCDE=90°,OA=OD=OB=OC,

XVBE=CE,

ARtAABE^RtADCE(HL)

AE=DE,

??S-OE-SWOE，

VOA=OD,AE=DE,

/.OE±AD,

:.AB//OE,

??SAAOE=SBOE?

??^/\AOE-S^EOF-S〉BOE-S/'EOF?

??S2BF0=S2EF；

/\BEO^/\CEO,

*e*NOBF=NOCH,S&BOE=SACOE，

又,.?NBOF二NCOH,OB=OC,

AABOF^ACOH(ASA),

?*,S&BFO=^^CHO~^^AEF

,,SgOE-S&BOF=$XCOE-，

??S^OEF=S&OEH?

S&OE-S&OEF=SADOE-S&OEH，

?*S&DEH=SMEF；

■:AC//DG,

：.ZAFE=ZDGE,ZEAF=ZEDG,

又YAE=DE,

??.ZiAEF^ADEG(AAS),

S小EF二SADEG；

綜上所述，ADEG、ADEH、NBFO、一C”O(jiān)這4個三角形的面積與aAEF的面積相等.

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【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，矩形的性質(zhì)，平行線的

性質(zhì)與判定等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵.

7.（2022?湖南常德）在四邊形中，的平分線AF交BC于尸，延長A8到E使

BE=FC,G是A尸的中點，GE交BC于O,連接GO.

（1）當四邊形ABC。是矩形時，如圖，求證：①GE=GD；?BOGD=GOFC.

（2）當四邊形ABC。是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明.

【答案】（1）證明見詳解

（2）證明見詳解

【分析】（1）①證明即可；②連接BG,CG,證明△仞G四,BCG,

△50Es/\G0C即可證明；（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明△ADG絲.、AEG即可；

②的結(jié)論，作。M_LBC,連接GM,證明△BOEs/XGQM即可.

（1）證明：①證明過程：

四邊形ABCD為矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°

AF平分

:.ZBAF=ZDAF=45°

為等腰直角三角形

:.AB=BF

BE=FC

AB+BE=BF+CF,即AE=BC=A￡>

AG=AG

AADGgAEG

GE=GD

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②證明：連接BG,CG,

G為AF的中點，四邊形ABCD為矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°,AD=BC

,\BG=AG=FG

AF平分/BAD,AB尸為等腰直角三角形，

:.ZBAF=ZDAF=450=ZABG=ZCBG

???AADG%BCG

??.ZADG=/BCG

/XADG^,AEG

,\ZE=ZADG

:.ZE=ZBCG

ZBOE=ZGOC

.-.△BOE^AGOC

.BOGOGOBO

~BE~~GC~^D~~CF

??.BOGD=GOFC

(2)作。ML次及5c于例，連接GW,作GNJ.OM交0M于點N,如圖所示

/DMB=90°=4GNM=4GND=ZDMC

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由（1）同理可證：△ADGg’AEG

;.NE=ZADG

四邊形ABCD為平行四邊形

:.AD//BC

ZADM=ZDMC=90°

:.BC//GN//AD

G為AF的中點，由平行線分線段成比例可得=

:.DG=MG,

\?GDM?GMD,

\1ADG7BMG?E

ZBOE=ZGOM

:△BOEs^GOM

BOGOGOBO

"~BE^'GM~~GD~~CF

BOGD=GOFC

【點睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證

明，正確作出輔助線并由此得到相應的全等三角形和相似三角形是解題的關鍵.

8.（2022?湖北鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,且NCDF=NBDC、

ZDCF=ZACD.

⑴求證:DF=CF；

（2）若NCDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面積.

【答案】（1）見解析

⑵36G

【分析】（1）先證明△DCFgADCO得到DF=D0,CF=CO,再由矩形的性質(zhì)證明OC=OD,即可

證明DF=CF=OC=OD；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得到NCD0=NCDF=60°,0D=DF=6,即可證明aOCD是等邊三角形，

得到CD=0D=6,然后解直角三角形BCD求出BC的長即可得到答案.

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(1)解：在4DCF和△DCO中,

NDCF=NDCO

?CDCD,

ZCDF=ZCDO

.".△DCF^ADCO(ASA),

；.DF=DO,CF=CO,

?.?四邊形ABCD是矩形，

OC=OD=-AC=-BD,

22

.".DF=CF=OC=OD；

(2)解：VADCF^ADCO,

.,.ZCD0=ZCDF=60°,OD=DF=6,

又..?女，

.,.△OCD是等邊三角形，

.\CD=0D=6,

?.?四邊形ABCD是矩形，

AZBCD=90",

/.BC=CDtanNBDC=6yfi,

,,,S矩形=BCCD=365/3.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角

形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關鍵.

★變式訓練★--------------深挖數(shù)學思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.(2022?甘肅武威)如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,點E,F分別在邊AB,BC

上，AE=2cm,BD,EF交于點G,若G是EF的中點，則BG的長為cm.

【答案】屈

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6cm,NABC=NC=90°,AB〃CD,從而可得NABD=/BDC,

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然后利用直角三角形斜邊上的中線可得EG二BG,從而可得NBEG二NABD,進而可得NBEG二N

BDC,再證明△EBFs/\l)CB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出BF的長，最后在RtZiBEF中，利

用勾股定理求出EF的長，即可解答.

【詳解】解：,??四邊形ABCD是矩形，

/.AB=CD=6cm,NABC=NC=90°,AB/7CD,

???NABD二NBDC,

VAE=2cm,

.\BE=AB-AE=6-2=4(cm),

???G是EF的中點，

AEG=BG=yEF,

AZBEG=ZABD,

AZBEG=ZBDC,

AAEBF^ADCB,

.EBBF

^~DC~~CB9

?4BF

??=，

69

???BF=6,

???EF=NBE?+BF?=J42+62=2屈(cm),

BG=yEF=VT3(cm),

故答案為：.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上

的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

2.(2022?湖南邵陽)已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積

為cm2.

【答案】48

【分析】如圖，先根據(jù)勾股定理求出43=疝8cm，再由S矩形ABC“=ABXBC求解即

可.

【詳解】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

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.?.在RtZ\ABC中，AB=7102-62=8(cm),

S矩形.⑦=ABXBC=8X6=48(cm2).

故答案為：48.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是熟知上述知識.

3.(2022?四川內(nèi)江)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=4,點E、F分別是AB、DC上的動

點，EF〃BC,則AF+CE的最小值是.

【答案】10

【分析】延長BC到G,使CG=EF,連接FG,證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE=FG,

得出當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可.

【詳解】解：延長BC到G,使CG=EF,連接FG,

,:EF〃CG,EF=CG,

...四邊形EFGC是平行四邊形,

；.CE=FG,

AF+CE=AF+FG,

第17頁共154頁

...當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG,

由勾股定理得，AG=yjAB2+BG2="2+（4+4/=10,

.,.AF+CE的最小值為10,

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出

當A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關鍵.

4.（2022?廣西賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F分別是AD,AB的中

點，/ADC的平分線交AB于點G,點P是線段DG上的一個動點，則一尸所的周長最小值為

【答案】5+屈##歷+5

【分析】在CD上取點H,使DH=DE,連接EH,PH,過點F作FKLCD于點K,可得DG垂直平

分EH,從而得到當點F、P、H三點共線時，天的周長最小，最小值為FH+EF,再分別求

出EF和FH,即可求解.

【詳解】解：如圖，在CD上取點H,使DH=DE,連接EH,PH,過點F作FKLCD于點K,

在矩形ABCD中，ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,

???△DEH為等腰直角三角形，

：DG平分NADC,

ADG垂直平分EH,

第18頁共154頁

.,.PE=PH,

:._PEF的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EFNFH+EF,

當點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF,

VE,F分別是AD,AB的中點,

；.AE=DE=DH=3,AF=4,

.".EF=5,

VFK1CD,

AZDKF=ZA=ZADC=90°,

四邊形ADKF為矩形，

；.DK=AF=4,FK=AD=6,

.\HK=1,

FH=yjFK2+HK2,

；.FH+EF=5+A，即―陽?的周長最小為5+而.

故答案為：5+5/37

【點睛】本題主要考查了最短距離問題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，明確題意,

準確得到當點F、P、H三點共線時，2詆的周長最小，最小值為FH+EF是解題的關鍵.

5.（2022?湖北隨州）如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分別為AB,AD的

中點，連接EF.如圖2,將AAEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角。（0＜。＜90。），使E/JL4）,連接

BE并延長交DF于點H,則/BHD的度數(shù)為,DH的長為.

【答案】90°##90度拽##&6

55

【分析】設EF交AD于點M,BH交AD于點N,先證明△ADFs^ABE,可得NADF=/ABE,可

第19頁共154頁

得NBHD=NBAD=90°；然后過點E作EGLAB于點G,可得四邊形AMEG是矩形，從而得到EG=AM,

12

AG=ME,ZABE=ZMEN,然后求出EG=AM=g,再利用銳角三角函數(shù)可得

AF3AM16

tanZA￡F=—=-,從而得到AG=ME=-------------=，,進而得到

AE4tanZAEF5

BG^AB-AGS--^—,可得至iJtanNMEN=tanNABE=^=L,從而得至=

55BG25

進而得到DN=2,即可求解.

【詳解】解：如圖，設EF交AD于點M,BH交AD于點N,

1AI77

根據(jù)題意得：ZBAE=ZDAF,ZEAF=90°,AF=-AD=3,AE=-AB=4,：.——=一，

22AF4

An3

在矩形ABCD中，A8=8,AD=6,NBAD=90°,——二二，

AB4

???AADF^AABE,ZADF=ZABE,

VZANB=ZDNH,AZBHD=ZBAD=90°；

如圖，過點E作EG_LAB于點G,AZAGE=ZAME=ZBAD=90°,

四邊形AMEG是矩形，.\EG=AM,AG=ME,ME/ZAB,ZABE=ZMEN,

_____________Ap3

在RrA￡F中，EF=\JAE2+AF2=5>tanNAEF=不=:，

AE4

SAFF=-AMEF=-AEAF,：.EG=AM="，

AEF225

.人心A/匚AM1624

tanZAEF555

：.timZMEN=tanZABE=-=-,=：.DN=AD-AM-MN=2,

BG2ME25

/ADF=/ABE,/.tanZADF=tanZABE=-,即DH=2HN,

2

,/DH2+HN2=DH2+^DH^=DN2=4,

解得：OH=生叵或一勺5（舍去）.故答案為：90°,拽

555

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判

第20頁共154頁

定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關鍵.

6.（2022?永嘉縣三模）如圖，在RtZXABC中，CD為斜邊AB的中線，在邊AD及CD的延長

線上依次取點E,F,且NEFD=NB.

（1）求證:EF〃BC.

【考點】直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)得出CD=BD,從而可

得NDCB=/B,根據(jù)等量代換可知NDCB=NEFD,根據(jù)平行線的判定可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得NB=25°,然后利用平行線的性質(zhì)得出NFED

=NB=25°,再根據(jù)平角的定義得出角度即可.

【解答】（1）證明：在RtZ\ABC中，CD為斜邊AB的中線，

.,.CD=BD=AAB,

2

...NDCB=/B,

VZEFD=ZB,

；./DCB=/EFD,

；.EF〃BC；

（2）解：在RtZ\ABC中，/A=65°,

.?.ZB=90°-ZA=25°,

VEF/7BC,

...NFED=NB=25°,

VZFED+ZAEF=180°,

；.NAEF=155°.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及平行線的判定與性質(zhì)是本題的關鍵.

第21頁共154頁

7.(2022?山東泰安)如圖，矩形A8C￡＞中，點E在。C上，DE=BE,4c與BO相交于

點0.8E與AC相交于點F.

⑴若BE平分NCBD,求證：BFYAC；

(2)找出圖中與OBF相似的三角形，并說明理由;

⑶若。尸=3,EF=2,求。E的長度.

【答案】(D證明見解析

(2)△ECF,ABAF與OBF相似，理由見解析

⑶3+V19

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應的角度相等即可得出:

(3)根據(jù)△OBFs^ECF得出3OA=2BF+9,根據(jù)△OBFs^BAF得出B尸=3(+3),

聯(lián)立方程組求解即可.

(1)證明：如圖所示:

四邊形ABC。為矩形,

.-.Z2=Z3=Z4,

DE=BE,

:.Z\=Z2,

第22頁共154頁

??力=/3,

又BE平分/DBC,

.\Z1=Z6,

??.N3=N6,

又/3與Z5互余，

N6與N5互余，

:.BF1AC；

⑵解：AECF,△&1尸與，08戶相似.

理由如下：

Z1=Z2,N2=/4,

??.Z1=Z4,

又/OFB=/BFO,

:./\0BFSABAF,

.Z1=Z3,ZOFB=ZEFC,

:.AOBFSAECF；

⑶解：人OBFs^ECF,

EFCF

~OF~~BFy

2CF

/.-=——,

3BF

:.3CF=2BF,

在矩形ABCD中對角線相互平分，圖中。4=OC=0尸+EC=3+尸C,

??.3。4=2質(zhì)+9①，

△OBFs/\BAF,

OFBF

..BF?=OFAF,

在矩形A8C0中AF=Q4+OF=OA+3,

.?.8產(chǎn)=3(04+3)②，

由①②，得6"=1土四(負值舍去)，

/.DF=BE1=2+14-719=3+719.

第23頁共154頁

【點睛】本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關系、

兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握兩個三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題

的關鍵.

8.(2022?江蘇無錫)如圖，己知四邊形ABCD為矩形AB=2&，8C=4,點E在BC上，

CE=AE,將AABC沿AC翻折到△AFC,連接EF.

(1)求EF的長；

(2)求sinNCEF的值.

【答案】(1)后

⑵li'扃

【分析】(1)先由用43E可求得AE的長度，再由角度關系可得NE4E=9(),即可求得E尸的

長；

⑵過F作尸于"，利用勾股定理列方程，即可求出的長度，同時求出RW的長

度，得出答案.

(1)設=則￡C=4—x,

AE=EC=4-x,

在RtMBE中，AB2+BE2=AE2，

二(2何+/=(4-",

??X—\,

/.fi￡=l,AE=CE=3,

a：AE=EC,

：.Z1=Z2,

:/A3c=90,

第24頁共154頁

/.NCA8=90-Z2.

/.ZC4B=90-Z1,

由折疊可知AMC三ABAC,

AZFAC=ZCAB=90-Z1,AF=AB=2。

：.NE4C+N1=9O，

ZM￡=90,

#01+32=如

在RfAE4E中，EFNAF+AE?=

⑵過F作FMJLBC于M,

AZFME=ZFMC=90°,

設EM=a,則EC=3-a,

在RNFME中,FM-=FE1-EM2，

在必EMC中，F(xiàn)M-=FC2-MC-,

，F(xiàn)E2-EM2=FC2-MC2,

A(VT7)2-a2=42-(3-a)2,

5

..a

5

：.EM=-

3

血,

%

FM3W8/r-.

sinZ.CEF=---=——=—V34

EF71751

第25頁共154頁

【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)建直角三角

形是解題的關鍵.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學法

考點02菱形

1.（2022?四川樂山）已知菱形ABCD的對角線相交于點。，AC=Scm,BD=6cm,則

菱形的面積為cm2.

【答案】24

【分析】根據(jù)菱形的面積公式，菱形的面積等于對角線乘積的一半，計算即可得出答案.

【詳解】解：由題意得：S^.=1xACxBD=1x8x6=2W

故答案為：24.

【點睛】本題考查的知識點是菱形的面積公式，掌握求菱形面積的方法是解此題的關鍵.

2.（2022?甘肅武威）如圖，菱形A3CO中，對角線4c與8。相交于點。，若AB=2小cm,

AC=4cm,則8。的長為cm.

【答案】8

【分析】利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案即可.

【詳解】解：菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，AC=4,

第26頁共154頁

AC_LBD,BO=OD=—BD,AO=OC=gAC=2

22

QAB=2百，

:.BO=dAB。-AO。=4,

..80=280=8,

故答案為：8.

【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運用勾股

定理解直角三角形，是解題關鍵.

3.（2022?貴州黔東南）如圖，矩形ABCQ的對角線AC,80相交于點。，DE//AC,CE

//BD.若AC=10,則四邊形0CE。的周長是.

【答案】20

【分析】首先由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得0C=0D=5,由CE〃BD,DE〃AC,

可證得四邊形CODE是平行四邊形，又可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

；.AC=BD=10,OA=OC,OB=OD,

.-.0C=0D=yBD=5,

VDE//AC,CE//BD.,

四邊形CODE是平行四邊形，

VOC=OD=5,

，四邊形CODE是菱形，

四邊形CODE的周長為：40c=4X5=20.

故答案為20.

【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì).此題難度不大，注意證得四邊形CODE

是菱形是解題關鍵.

4.（2022?江蘇蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB1AC,AB=3,HC=4,分別

第27頁共154頁

以A,C為圓心，大只AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,過M,N兩點作直線，與

BC交于點E,與AD交于點F,連接AE,CF,則四邊形AECF的周長為.

【答案】10

［分析］根據(jù)作圖可得MNLAC,且平分AC,設AC與MN的交點為O,證明四邊形AECF

為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得AE為A3C的中線，然后勾股定理求得BC,根據(jù)

直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE的長，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，設AC與的交點為。，

根據(jù)作圖可得且平分AC,，AO=OC,

四邊形A8C￡)是平行四邊形，，NE4O=NOCE,

又ZAOF=NCOE,AO=CO,：.^AOF^COE,AF=EC,

AF〃CE,??.四邊形AECF是平行四邊形，

MV垂直平分AC,二￡4=EC,.,.四邊形AECF是菱形，

ABLAC,MN±AC,.?.￡；尸〃A3,，殘=要=1,為BC的中點，

ECAO

n△ABC中，AB=3,AC=4,BC=-^AB-+AC-=5.AE=^BC=1,

四邊形AECF的周長為4AE=1().故答案為：10.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比

例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

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5.（2022?湖南岳陽）如圖，點E,F分別在.ABCO的邊AB,BC上,AE=CF,連接

DE,DF.請從以下三個條件：①N1=N2；②DE=DF;③N3=/4中，選擇一個合適

的作為已知條件，使二為菱形.（1）你添加的條件是（填序號）；（2）添加了條

件后，請證明,ABC。為菱形.

【答案】（1）①⑵見解析

【分析】（D添加合適的條件即可；（2）證/△CDF（A4S）,得">=CD,再由

菱形的判定即可得出結(jié)論.

（1）解：添加的條件是N1=N2.故答案為：①.

（2）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，Z4=NC,

Z1=Z2

在右ADE和二CDF中，，NA=NC,

AE=CF

：./S.ADE^^CDF（AAS'）,二AD=CD,：.ABCD為菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟

練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵.

6.（2022?黑龍江哈爾濱）如圖，菱形ABCQ的對角線4C,8。相交于點0,點E在。8上，

連接AE,點F為C/）的中點，連接。尸，若AE=BE,QE=3,QA=4,則線段OF的長為

【答案】2石

第29頁共154頁

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到RtZXAOE和RtAAOB,然后利用勾股定理計算出菱形的邊長

BC的長，再根據(jù)中位線性質(zhì)，求出OF的長.

【詳解】已知菱形ABCD,對角線互相垂直平分，

.\AC1BD,在RtZXAOE中，

V0E=3,0A=4,

???根據(jù)勾股定理得AE=>/32+42=5，

VAE=BE,

OB=AE+OE=8,

在RtAAOBAB=yj42+82=4^，

即菱形的邊長為4石，

?.?點F為C。的中點，點0為DB中點，

：.OF=-BC=2y/5.

2

故答案為2石

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)