2023-2024學(xué)年吉林省長春市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.如圖，直線//，4/的斜率分別為匕內(nèi)向A，則（）

A.k4<k3<k2<ktB.&<kA<k2<kx

C.kA<ky<<k2D.<k4<kt<k2

【正確答案】D

【分析】直接由斜率的定義判斷大小即可.

【詳解】由斜率的定義知，…

故選：D.

2.在等比數(shù)列｛%｝中,。5%=6,/+%=5數(shù)％等于

。10

2T3232-3

A.一二或一彳B.-C.-D.§或孑

【正確答案】D

【詳解】：｛q,｝為等比數(shù)列，.,.%%=。2即）=6,又。2+40=5

%。為/-5x+6=0的兩個(gè)不等實(shí)根,

...,=2或任=3

Uio=31?10=2

二八|或1=1

.?.正=d=3或2

故選D

3.直線x+N+l=O被圓/+_/-2r+2y+l=0截得的弦長為（）

A.2B.J2C.1D.立

2

【正確答案】B

【分析】由圓的方程可求得圓心和半徑，利用垂徑定理可求得結(jié)果.

【詳解】由圓的方程知其圓心為（LT）,半徑廠=；?+4-4=1；

???圓心到直線x+y+l=O的距離d=變，

V22

???所求弦長為2，所-/==V2.

故選：B.

方法點(diǎn)睛：圓的弦長的求法：

（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為「，弦心距為d,弦長為貝

（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于4（玉,弘），8（七,外）,聯(lián)立直線與圓的方程

y-kx-^-m

,/、2（,\22,消去》得到一個(gè)關(guān)于工的一元二次方程，從而可求出玉+M，%看，

（工一。）-\-yy-b）=r

根據(jù)弦長公式|/8|=石，7?.1（占+%）-4中2,即可得出結(jié)果.

4.有3位男生，3位女生和1位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不

能同時(shí)為男生或女生，則這樣的排法種數(shù)是

A.144B.216C.288D.432

【正確答案】D

【詳解】先排與老師相鄰的:GC&=18,再排剩下的：團(tuán)，所以共有18H=432種排法種

數(shù)，選D.

點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：

（1）元素相鄰的排列問題——“捆邦法''；（2）元素相間的排列問題——“插空法”；（3）元素有順

序限制的排列問題——“除序法”：（4）帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間

接法.

5.若雙曲線上+己=1"為非零常數(shù)）的離心率是否，則雙曲線的虛軸長是（）

A.6B.8C.12D.16

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意得到。，Ac,進(jìn)而根據(jù)離心率求出片,而后得到“最后求出答案.

【詳解】由題意，k<0,則a=2,6=Q,c="^,雙曲線的離心率

e=1亙=石=-%=16,所以，b=4,即虛軸長為&

2

故選：B.

6.設(shè)尸為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)/在C上，點(diǎn)8(3,0),若|月日=怛日，則|"8|=()

A.2B.272C.3D.3拒

【正確答案】B

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)

A坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】由題意得,*1,0),則尸|=|8尸|=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-l的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，71(1,2),

所以|/陰二^/(3-1)2+(0-2)2=272.

故選：B

一+」-T的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

2xJ

15315

-B.—C.D.—

16164

【正確答案】A

【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為

令12—3r=0,解得：尸=4,

二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為3.

216

故選：A.

本題考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.若等差數(shù)列｛七｝與等差數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和分別為S.和4,且*=矍|,則告=（）

21-13-35-37

A.—B.—C.—D.—

23114447

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到魯=生，即可求解.

“加

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，可得

15（《+45）

ax_at+als_2_品_2xl5+5_35

4+九一15他+如）一元-3xl5-1-44

故選：C.

二、多選題

9.若方程W_+E=l所表示的曲線為c,則下面四個(gè)說法中錯誤的是（）

3-tt-1

A.若則C為橢圓

B.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2<3

C.曲線C可能是圓

D.若C為雙曲線，貝卜<1

【正確答案】AD

根據(jù)題意依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)f=2時(shí)，曲線為C表示圓，故不正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為焦點(diǎn)在夕軸上的橢圓時(shí)，則f-l>3-f>0,解得2</<3,故正確;

對于C選項(xiàng)，當(dāng)f=2時(shí)，曲線為C表示圓的方程，故正確；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí)，則（3—沖-1）<0,解得t<l或,>3,故錯誤：

綜上，錯誤的是AD.

故選：AD.

本題考查橢圓，雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

22

10.已知M是橢圓C：1_+?=1上一點(diǎn)，耳，鳥是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的

是（）

A.橢圓的焦距為2B.橢圓的離心率e=^

2

C.用+|嶼|=4近D.△吟鳥的面積的最大值是4

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)同、定義計(jì)算出焦距、離心率、焦點(diǎn)三角形面積并判斷各選項(xiàng).

22

【詳解】由橢圓方程二+-=1得a=26，b=2,所以c=2,

84

焦點(diǎn)為2c=4,A錯；離心率為e=：=J^=孝，B正確；|阿|+|叫|=2a=4正，C正

確；當(dāng)"短軸端點(diǎn)時(shí)，△加尸內(nèi)的面積的最大，最大值為:x4x2=4,D正確.

故選：BCD.

22022

11.若（IT嚴(yán)2=斯+axx+a2xH---Fa2022x，貝U（）

A.展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22°22

B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第1012項(xiàng)

C.=1

D.4+。2+。3+",+。2022=0

【正確答案】ABC

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可以判定AB;利用賦值法可以判定CD.

【詳解】展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為。卜2+C；022+…+C；修=產(chǎn)22,故A正確：

展開式中第1012項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為是所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值，故B正確；

在二項(xiàng)式展開式中，令x=0可得。。=1,故C正確；

令X=1可得+41+…+。2022=0，,a\+…+。2022=一旬=-1,故D錯誤.

故選：ABC

12.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為，，若存在實(shí)數(shù)A,使得對任意〃eN\都有|S"|<N,則稱

數(shù)列｛見｝為"T數(shù)列''.則以下結(jié)論正確的是（）

A.若｛《,｝是等差數(shù)列，且《>0,公差d<0,則數(shù)列｛〃“｝是“T數(shù)列”

B.若｛%｝是等比數(shù)列，且公比4滿足|如<1,則數(shù)列｛/｝是“T數(shù)列”

〃+2

C.若4,=-;^_BT，則數(shù)列｛%｝是“7數(shù)列”

n(n+1)2

,5

D.若%=口_,則數(shù)列｛%｝是“7數(shù)列

4/?~-1

【正確答案】BC

寫出等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和結(jié)合“7數(shù)歹的定義判斷4寫出等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和結(jié)合“T數(shù)列”

的定義判斷&利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；當(dāng)〃無限增大時(shí)，|七|也無限增大判斷。.

【詳解】在/中，若｛4｝是等差數(shù)列，且q>0,公差d<0,則S“=?〃2+K]〃，當(dāng)〃

無限增大時(shí)，|S,J也無限增大，所以數(shù)列｛。.｝不是“T數(shù)列"，故/錯誤.

在8中，因?yàn)椋祝堑缺葦?shù)列，且公比4滿足

所以B，l=叱:)=言-圖|言+鑿<21言卜所以數(shù)列｛%｝是“7數(shù)列”，故8

正確.

〃+21

在。中，因?yàn)樯?,所以

n（n+l）2n+,n-2"（n+l）-2"+,

-----；---------7-------7-------1+-I4=—/。一所以數(shù)列

1x2'2x222x223x23n-28+1）-2"123+1）"

｛%｝是“7數(shù)列”，故C正確.

n211

在。中，因?yàn)橐?1+,所以

4n2-l-44n2-\

〃-1---F---------F----z---+4/f-l,當(dāng)〃無限增大時(shí)，|S,J也無限增大，所以數(shù)

S.]34x2-4x32-1

列｛對｝不是"T數(shù)列”，故。錯誤.

故選：BC.

方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突

破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)7匚不=-一

nyn+k)k\nn+kJ

潟+64"-町⑶（2-1）；2〃+1）中止r*

2"（2-'-1）-（2"-1）11

；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中

（2,,-1）（2,,+|-1）-（2n-l）（2"+l-l）-2"-\~2"+'-\

容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.

三、填空題

13.有3名男演員和2名女演員，演出的出場順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不

同的出場順序共種

【正確答案】36

【分析】本道題目是一個(gè)排列問題，先將2名女生和1名男生捆綁，然后排列，在作為一個(gè)

整體參與全排，即可.

【詳解】采用捆綁法，將2名女演員和1名男演員捆綁有3x4；=6,然后在全排，有《=6,

共有36種方法.

本道題目考查的是排列問題，可以采取捆綁法進(jìn)行解答.

14.若直線4：2、+什-2=0與直線小x-y+a=O平行，則直線4與4之間的距離為.

【正確答案】立

【分析】先根據(jù)直線4與4平行求出參數(shù)。，再由兩平行直線間的距離公式可得答案.

【詳解】；直線4與4平行，????===二，解得。=-2,

1-1a

?，?直線4：X—y—l=O,直線4：x—y—2=0,

...直線/,與1之間的距離d12

2=I~^Z)I=顯.

Vi+T

釁

15./(x)=d-，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的公式的方法，可求得

2x-1

+…+H=.

U021J-U021J1.2021)------

【正確答案】2020

【分析】先證得/(力+/(1-無)=2,利用倒序相加法求得表達(dá)式的值.

“、”、2x2(l-x)2(2x-l)

【詳解】解：由題意可知/x+/I—=2,

2x-l2(l-x)＜-l一:2x-l「

+.??+/

卜/(2021

人nIS=//(2200220J、+//(2200129J、+…+A1A

兩式相加得，2s=2020x2

S=2020.

故填：2020

本題考查借助倒序相加求函數(shù)值的和，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是找到/")+/(l-x)=2的

規(guī)律.

\PA\,

16.在平面上給定相異兩點(diǎn)4B,設(shè)尸點(diǎn)在同一平面上且滿足扁=2，當(dāng)％>0且4x1時(shí),

P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿

工22

波羅尼斯圓，現(xiàn)有雙曲線J_y_=1a>0b>0A,8為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，C,。為雙

af

|PJ|64

曲線的虛軸端點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足身=2,"48面積的最大值為?，APC。面積的最小值為

3

4,則雙曲線的離心率為.

【正確答案】7

【分析】根據(jù)48為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可設(shè)/=(-。,0),8何,0),尸(3》,由兩點(diǎn)間距離公式

并化簡可得動點(diǎn)P的軌跡方程.由48為雙曲線的左、右頂點(diǎn)可知當(dāng)尸位于圓的最高點(diǎn)時(shí)

AP/8的面積最大,根據(jù)面積最大值求得〃.當(dāng)P位于圓的最左端時(shí)APCD的面積最小,結(jié)合最

小面積可求得b,即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)/=(-。,0),鞏。,0),尸(xj),

依題意，得|尸聞=21冏，

即J(x+r)2+丁=2yl(x-a)2+y2,

兩邊平方化簡得,則圓心為半徑/=

當(dāng)P位于圓的最高點(diǎn)時(shí)”48的面積最大，最大面積為51x20x54〃=：64,

解得。=4；

當(dāng)P位于圓的最左端時(shí)APCD的面積最小，最小面積為

解得b=3,

故雙曲線的離心率為e=Jl+f=：.

故答案為：（

本題考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，軌跡方程的求法，圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,雙曲線離心率

的求法，屬于中檔題.

四、解答題

17.已知+展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256

⑴求〃；

（2）若展開式中常數(shù)項(xiàng)為3瞪5，求現(xiàn)的值;

8

【正確答案】（1）8

(2)±|

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=256,可得〃的值;

（2）根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)得到從而得到〃=4,即可得到答案.

【詳解】（1）+展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,

2"=256,解得"=8

（2）+的通項(xiàng)公式：=

令8-2「=0,解得r=4,則

8

解得加=±;

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“=/+〃,

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列心忐不

，的前”項(xiàng)和騫.

【正確答案】(l)a“=2”(，?eN*)

n

(2)7；,=

2774-1

\S-S.,n>2

【分析】(1)根據(jù)公式%=;7n可求得4.

凡〃=1

1\(11、

(2)結(jié)合⑴得/—=--—j-三再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.

【詳解】(1)解：因?yàn)镾〃=〃2+”，

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=2

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-SZJ_!=n+n-(w-l)-(/?-l)=2w

又6=2也適合上式

所以勺=2〃(〃wN,)

(2)解：由(1)知%=2〃(〃EN")

一]_[_1_____

=9

所以，(a?+l)-(a,f-l)(2?-l)(2n+l)2n-\2n+l)

.1乙1111111、1、n

所以，T〃=-1---1------F-----F...H------------=-41-----=-----

〃21335572/7-12/7+1J2(2//+1J2/1+1

19.如圖①所示，長方形48CD中，AD=\,48=2,點(diǎn)M是邊C。的中點(diǎn)，將△力DW沿

4"翻折到連結(jié)P8,PC,得到圖②的四棱錐P-45cM.

(1)求四棱錐尸-48CW的體積的最大值;

(2)若棱心的中點(diǎn)為N,求CN的長；

(3)設(shè)P-/A/-O的大小為e,若。=60。，求平面P4W和平面尸8c夾角的余弦值.

【正確答案】(1)也

【分析】(1)作出輔助線，得到當(dāng)平面P4WJ■平面/8CM時(shí)，P點(diǎn)到平面/8CM的距離最

大，四棱錐P-/8cM的體積取得最大值，求出尸G=從而得到體積最大值；

22

(2)作出輔助線，證明出四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到CN=M。即可得所求值;

(3)作出輔助線，得到NPG。為的平面角，即NPGO=60。，建立空間直角坐標(biāo)

系，求解平面尸和平面P8C的法向量，利用空間向量夾角余弦公式得即可.

【詳解】(1)解：取4”的中點(diǎn)G,連接PG,

當(dāng)平面尸4W_L平面/8CM時(shí)，P點(diǎn)到平面/8CW的距離最大，四棱錐尸-Z8CA/的體積取

得最大值，

此時(shí)PG_L平面Z8CM,且PG=2/A/=變，

22

13

底面/8CM為梯形，面積為(l+2)xlx：=:，

22

則四棱錐尸-48CM的體積最大值為_Lx3x』l=1

3224

(2)解：取4P中點(diǎn)。，連接NQ,MQ,

則因?yàn)镹為尸8中點(diǎn)，所以NQ為尸28的中位線,

所以NQ//AB且NQ=,

因?yàn)椤镃D的中點(diǎn)，四邊形N8C。為矩形，

所以CM///8且

2

所以CM"NQ且CM=NQ,

故四邊形CN0M為平行四邊形，

所以CN=MQ=J]1)+12;

(3)連接。G,過戶作PH_LOG于點(diǎn)H,由題意得尸”_L平面/8CM,

因?yàn)镈4=CM,所以。G_L/M,

所以NPG。為尸-4〃-。的平面角，即NPGD=60。，

所以HG，PG=LDG=2,HP=BPG='DG=蟲，

224224

過點(diǎn)。作DzJ.平面/8CQ,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。/,DC,OZ所在直線為x軸，y

軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則網(wǎng),0,0),M(0,l,0),8(1,2,0),C(0,2,0),P,

l七7

cfT(31

設(shè)平面P/W的法向量為4=區(qū),必，4),又4A1=(-l,l,0),21=

-玉+乂=0士=必..

則1yj~6，令ZI=2,則〃|=(跖瘋2),

3〃「

%=F4

17_如］

設(shè)平面P8C的法向量為〃2=(X2,%,Z2)，又因?yàn)镃B=(l,0,0),PC=-4’4’4『

x2=0I%?=0

則1J卡「,JL，令Z[=7,可得：〃,=(0,V6,7)，

一產(chǎn)+井-722=0產(chǎn)=7芍

設(shè)兩平面夾角為。，

0+6+145/55

則COS弭，“2=F

所以平面和平面P8C夾角余弦值為叵.

11

20.已知點(diǎn)尸在拋物線。:/=2眇(0>0)上，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,點(diǎn)尸到拋物線焦點(diǎn)尸的

距離為2

(1)求拋物線C的方程；

(2)若拋物線的準(zhǔn)線與〉軸的交點(diǎn)為“，過拋物線焦點(diǎn)尸的直線/與拋物線C交于A,B,

且求|4用一|8尸|的值.

【正確答案】(1)x2=4y(2)4

【分析】(1)由拋物線定義，點(diǎn)尸到拋物線焦點(diǎn)廠的距離為2,故1+￡=2,可得解

2

(2)AB工HB可轉(zhuǎn)化為女艱?=-I，代入坐標(biāo)可得(必—1)(%+1)+中2=0,即=16,

M尸|一|8尸|=必+1-%-1=：儲-芯)可得解

【詳解】(1)設(shè)尸(x0,l),由拋物線定義，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)廠的距離為2

故1+勺2;.p=2

故拋物線C的方程為：X2=4P；

(2)拋物線f=4y的焦點(diǎn)為尸(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,"(0,-1)；

設(shè)/(占,%)8(3,%),

直線的方程為y=履+1,代入拋物線方程可得x2-4kx-4=0,

：.再+x2=4k,x,x2=-4,...①

由可得砥1&.=一1

.y,-1.y.+1

又^rAB=^AF=，^HB=1

演X2

.21Z1.A±1,

>?=1,

%x2

???(必-1)(夕2+1)+'儼2=。，

BPf-X1--1jf—X2+1)+X]/=。，

焉X\X2+jI；-X；)-

把①代入②得，X；-￥=16,

本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔

題

12

21.已知數(shù)列｛“J滿足3《用=%+三，4=§，設(shè)2=3"””.

（1）證明：也｝為等差數(shù)列:

（2）求數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“

52〃+5

【正確答案】）證明見解析：）

（1（24-4-3w,

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義,證明也用為常數(shù)，即可得到答案;

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯位相減法求和：

,+|

【詳解】（1）3??+|=??+y=>3-a,l+l^3'+bn+l-b?=],

也｝為等差數(shù)列;

(2)b]=3-a,=2,:.bn=2+(//-1)=/?4-1,

n+1

-**Sn=?|+?2++"”=2,§+3.承+(〃+l).尹，①

/.—S=2-r-+3,-r++(〃+1)?j,(^)

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