(6.4)-概率論-跟數(shù)學(xué)家賭錢是你這輩子最不應(yīng)

跟數(shù)學(xué)家賭錢，是你這輩子最不應(yīng)該做的事情原創(chuàng)超模君超級(jí)數(shù)學(xué)建模2017-12-22再需要運(yùn)氣的事情，其中也有規(guī)律可尋轉(zhuǎn)眼間，2017年又到了尾聲了，不知道各位年初定下的“年終目標(biāo)”又完成了多少呢？（別想著打聽超模君怎么樣，年終目標(biāo)？不存在的。）既然到了年終，商家們自然要搞各種促銷活動(dòng)來沖一沖年終業(yè)績，好讓自己的腰包鼓一點(diǎn)——除了常規(guī)的價(jià)格優(yōu)惠以外，抽獎(jiǎng)活動(dòng)也是屢試不爽的一種促銷手段。這些抽獎(jiǎng)活動(dòng)的頭等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品通常非常豐厚，曾經(jīng)讓年輕的超模君產(chǎn)生一個(gè)疑問：提供這么豐厚的獎(jiǎng)品，商家不會(huì)虧本嗎？后來超模君才知道，年輕的自己還是太善良了——商家怎么會(huì)做虧本的買賣呢？這些抽獎(jiǎng)活動(dòng)，都是算過數(shù)學(xué)期望之后再來設(shè)計(jì)的。說起數(shù)學(xué)期望，想必模友們都會(huì)聯(lián)想到一門學(xué)科——概率論，那超模君就來講講那些有關(guān)概率論誕生的故事吧！概率論的起源，確實(shí)是跟一項(xiàng)相當(dāng)看運(yùn)氣的“娛樂活動(dòng)”——賭博有關(guān)。雖然中國有“十賭九輸”的誡語，但是賭桌上那種動(dòng)動(dòng)手指就可以下半輩子衣食無憂的誘惑，還是讓很多人趨之若鶩。而這些人把賭桌上的輸贏都?xì)w結(jié)于運(yùn)氣使然（用中國話來講就是“手氣”），可總有人會(huì)琢磨怎樣才能贏得更多，贏得更穩(wěn)，別上一刻還是開著法拉利來，下一刻就輸?shù)弥皇Ｒ粭l內(nèi)內(nèi)，灰溜溜地回家。而較早開始研究這個(gè)問題的人，是意大利學(xué)者卡爾達(dá)諾。（沒錯(cuò)，就是那個(gè)沉迷占星術(shù)算出自己死期，結(jié)果到了時(shí)間依舊活蹦亂跳只好自殺來維護(hù)自己聲譽(yù)的猛人）這位猛人不單單是位學(xué)者，還是個(gè)不折不扣的“賭鬼”。他利用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)當(dāng)時(shí)的賭博項(xiàng)目——紙牌、西洋雙陸棋、骰子、距骨等做了分析，在賭桌上要風(fēng)得風(fēng)、要雨得雨，最后將這些分析結(jié)果和實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)寫成了一本書：《論賭博游戲》。在這本書里面，卡爾達(dá)諾給出了擲兩顆或者多顆骰子時(shí)，在一切可能方法中有多少方法得到某一總點(diǎn)數(shù)等賭博技巧。在卡爾達(dá)諾之后，繼續(xù)“從事”賭博研究的是兩位“大?！薄▏呐了箍ê唾M(fèi)馬。1653年的夏天，帕斯卡前往浦埃托鎮(zhèn)度假。在路上，他遇到了當(dāng)時(shí)的一位“賭壇老手”——梅爾。兩人為了消除旅途的寂寞，梅爾向帕斯卡提出了一個(gè)“分賭注”的問題。一次，梅爾與賭友賭擲骰子，每人壓了32個(gè)金幣，并約定：如果梅爾先擲出3個(gè)6點(diǎn)，或者賭友先擲出3個(gè)4點(diǎn)，就贏得此次賭局。當(dāng)梅爾擲出兩個(gè)6點(diǎn)，賭友擲出1個(gè)4點(diǎn)時(shí)，梅爾接到通知，要立即去陪同法國國王接見外賓，賭局無法完成，但是兩人又不愿意各自收回賭注，只好約定按照已有的成績來分賭注。可是，賭注應(yīng)該怎么分呢？這個(gè)問題把帕斯卡當(dāng)場難住了，他并沒有解出來。到了1954年的時(shí)候，帕斯卡和費(fèi)馬通過書信來往，簡化并解決了這個(gè)“分賭注”的問題——簡化后的問題如下：甲乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一分；反面朝上，乙得一分，先積滿3分者贏得賭局。假定在甲積兩分，乙積一分時(shí)，賭局因某種原因中止，問應(yīng)該怎么分賭注才公平？帕斯卡提出的解決方案是：再擲一次的話，若正面朝上，則甲獲得全部賭注；若反面朝上，則兩人平分賭注。因?yàn)檫@兩種情況出現(xiàn)的概率是等可能的，所以甲應(yīng)該獲得1×1/2+1/2×1/2=3/4的賭注，乙則應(yīng)該獲得0×1/2+1/2×1/2=1/4的賭注。而費(fèi)馬的方法更為詳盡，他設(shè)想完成賭局最多還需要兩局，這兩局的可能情況如下：按照表中羅列出的情況，甲應(yīng)該拿走賭注的3/4，而乙應(yīng)該拿走賭注的1/4——這與帕斯卡的結(jié)果一致。兩個(gè)人在完整解決“分賭注”問題之后，將這個(gè)問題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了一個(gè)概率論的基本概念——數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和，它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。1655年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯恰好造訪巴黎，當(dāng)他了解到帕斯卡和費(fèi)馬的工作詳情之后，也饒有興致地加入到了兩人的討論中。1657年，惠更斯將他和帕、費(fèi)兩人的討論情況整理成了《關(guān)于賭博中的推斷》一書，該書成為公認(rèn)的概率論奠基之作。在帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯之后，將概率論再推進(jìn)一大步的人是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利。他先是證明了當(dāng)初由卡爾達(dá)諾所提出的一個(gè)猜想——“大數(shù)定律”猜想，即用經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)后穩(wěn)定的頻率來作為某事件發(fā)生概率P的近似值，然后又提出和研究了獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概型——這種概型在許多概率論專著中依舊被稱作“貝努利概型”。1705年，雅各布去世，8年后，他生前所著的《猜度術(shù)》才被出版，成為繼惠更斯《關(guān)于賭博的推斷》之后，概率論領(lǐng)域的又一部奠基巨著。截至雅各布為止，概率論的早期建設(shè)已接近完成，人們已經(jīng)意識(shí)到，曾經(jīng)讓他們覺得虛無縹緲的“運(yùn)氣”，原來還是有規(guī)律可尋的。時(shí)間進(jìn)入十八世紀(jì)，概率論得到了快速的發(fā)展。概率論工作者開始不再孤立的、靜止地研究事件發(fā)生的概率，而是把隨機(jī)現(xiàn)象看做一種特殊的變量——隨機(jī)變量。而率先對(duì)這種特殊變量進(jìn)行研究的，是法國數(shù)學(xué)家棣莫佛。棣莫佛研究了隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的情形，發(fā)現(xiàn)了正態(tài)概率的分布曲線。這個(gè)發(fā)現(xiàn)具有重大的意義——因?yàn)樵诒姸嗟碾S機(jī)現(xiàn)象中，服從正態(tài)分布的隨機(jī)現(xiàn)象是占大多數(shù)的。隨后他還提出了概率論中一條重要的定理：中心極限定理。中心極限定理（centrallimittheorem）是概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量累積分布函數(shù)逐點(diǎn)收斂到正態(tài)分布的積累分布函數(shù)的條件。而在棣莫佛研究正態(tài)分布的同時(shí)，另一位法國數(shù)學(xué)家蒲豐則對(duì)概率論的統(tǒng)計(jì)定義和幾何定義做出了很大的貢獻(xiàn)。不過這位先生做研究的方法也實(shí)在特別。為了驗(yàn)證頻率的穩(wěn)定性，他親自將一枚勻質(zhì)硬幣投擲了4040次，得到了“正面朝上”的頻率為0.5069，與理論數(shù)據(jù)0.5非常接近，從而認(rèn)為頻率的穩(wěn)定性成立?？磥磉@位先生的“麒麟臂”也是不同凡響啊……更要命的是，蒲豐不單單自己一個(gè)人拋硬幣，他還讓別人跟他一起來拋針。在1777年出版的《或然算術(shù)實(shí)驗(yàn)》中，蒲豐提出了用“拋小針”的方法來計(jì)算π值的“蒲豐問題”?！捌沿S問題”的內(nèi)容是：設(shè)在平面上有一組平行線，線間的距離均為D。將一根長度為L（L小于D）的小針隨機(jī)投擲到平面上，則這根小針與一條直線相交的概率為：21/（πD）。由于頻率的穩(wěn)定性已經(jīng)被驗(yàn)證，所以如果做大量的拋針實(shí)驗(yàn)，就可以得出一個(gè)頻率，從而計(jì)算π的值。于是，一堆數(shù)學(xué)家跟著蒲豐“瘋”了起來：1850年，瑞士數(shù)學(xué)家沃爾夫拋了5000次針，得到π≈3.1596；1864年，英國人?？藪伭?030次針，得到π≈3.1419；1901年，意大利人拉澤里尼拋了3400次針，得到π≈3.1415929。真的是喪心病狂……后來人們根據(jù)這種幾何概型的思想，創(chuàng)造出了至今依舊應(yīng)用十分廣泛的近似算法——蒙特卡諾法。在陪蒲豐“瘋”完以后，概率論進(jìn)入了十九世紀(jì)的“分析概率”時(shí)期。概率論的研究工具也轉(zhuǎn)到了數(shù)學(xué)分析方法，如特征函數(shù)、微分方程和差分方程等。拉普拉斯是這個(gè)時(shí)代的開拓者，他總結(jié)了之前古典概率論的內(nèi)容，加以發(fā)展之后，于1812年出版了他的著作——《分析的概率理論》，將概率論的研究方法拓展到了數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域。在他之后，法國數(shù)學(xué)家泊松改進(jìn)了概率論的研究方法，尤其是用于統(tǒng)計(jì)方面的方法，建立了一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布——泊松分布。除此之外，泊松還推廣了“大數(shù)定律”，導(dǎo)出了在概率論和數(shù)理方程中有重要運(yùn)用的泊松積分。泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一塊產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等等。而在同時(shí)期的俄國，也有一位數(shù)學(xué)家為概率論做出了杰出的貢獻(xiàn)——他是切雪比夫。他在概率論的兩大主題——大數(shù)定律和中心極限定理上做出了重要的貢獻(xiàn)。1845年，切雪比夫在他碩士論文中，利用ln（x+1）的麥勞克林展開式，對(duì)雅各布的大數(shù)定律作了精細(xì)分析與嚴(yán)格證明。1846年，他又在格列爾的雜志上發(fā)表了“概率論中基本定理的初步證明”一文，文中繼而給出了泊松形式的大數(shù)定律的證明。1866年，切比雪夫發(fā)表了“論平均數(shù)”，進(jìn)一步討論了作為大數(shù)定律極限值的平均數(shù)問題。1887年，他發(fā)表了更為重要的“關(guān)于概率的兩個(gè)定理”，開始對(duì)隨機(jī)變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進(jìn)行討論。切雪比夫的研究，讓俄國徹底站在了概率論的研究前沿。而在19世紀(jì)之后，概率論終于走到了公理化的階段。進(jìn)入二十世紀(jì)，俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在他《概率論