5.3平行線的性質(zhì)（八大題型）-（題型·技巧培優(yōu)系列）2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練（人教版）（ ）

（人教版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.3平行線的性質(zhì)知識點一知識點一平行線的性質(zhì)★1、平行線性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．性質(zhì)定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．性質(zhì)定理3：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．★2、平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別：區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．知識點二知識點二命題及其組成★1、概念：判斷一件事情的語句，叫做命題．【注意】（1）.只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題.（2）.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題.★2、命題的組成每個命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．【注意】在改寫成“如果……那么……”的形式時，需對命題的語序進行調(diào)整或增減詞語，使句子完整通順，但不改變原意.知識點三知識點三真、假命題★1、真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；★2、假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.【注意】判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.知識點四知識點四定理與證明★1、定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理論證的依據(jù)．【拓展】數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如直線公理：兩點確定一條直線.★2、證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．【注意】（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實、定理等.（2）.定理一定是真命題，但真命題不一定是定理.★3、證明的一般步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；③經(jīng)過分析，找出由已知條件推出結(jié)論的方法，或依據(jù)結(jié)論探尋所需要的條件，再由題設(shè)進行挖掘，尋求證明的途徑；④書寫證明過程.題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例題1】（2023秋?太康縣期末）如圖，BC⊥AE，垂足為C，CD∥AB，∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由垂線可得∠ACB＝90°，從而可求得∠B的度數(shù)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故選：A．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．解題技巧提煉兩直線平行時，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù).【變式1-1】（2023秋?簡陽市期末）如圖，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，則∠4＝（）A．70° B．110° C．140° D．150°【分析】先根據(jù)a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度數(shù)，由平角的定義得出∠5的度數(shù)，再由∠2＝∠3得出∠2的度數(shù)，再得出∠2+∠5的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故選：B．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022春?五蓮縣期末）如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式1-3】（2021秋?霍州市期末）如圖，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，則∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行線的性質(zhì)可用∠2、∠3分別表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定義可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．【變式1-4】（2022秋?安岳縣期末）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【分析】①圖1時，由兩直線平行，同位角相等，等量代換和角的和差計算出∠2的度數(shù)為40°；②圖2時，同兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，等量代換和角的和差計算出∠2的度數(shù)為140°．【解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1與∠2位置如圖2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°，故答案為：40°或140°．【點評】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角的和差，等量代換，鄰補角性質(zhì)，對頂角性質(zhì)等相關(guān)知識點，重點掌握平行線的性質(zhì)，難點是兩個角的兩邊分別平行是射線平行，分類畫出符合題意的圖形后計算．【變式1-5】（2022春?海淀區(qū)月考）如圖，點C在∠MON的一邊OM上，過點C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM．當(dāng)∠DCM＝60°時，求∠O的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠ACM的度數(shù)，進而得出∠OCB的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠O的度數(shù)．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直線AB與OM交于點C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（對頂角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠O＝60°．【點評】本題主要考查了角的計算，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式1-6】（2023秋?海門區(qū)期末）如圖，直線CE，DF相交于點P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度數(shù)；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度數(shù)；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD稱四邊形PCOD的一組“對角”，則該四邊形的另一組對角相等嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可求得答案；（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等及兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求得答案；（3）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可證得結(jié)論．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【點評】本題考查平行線性質(zhì)，熟練掌握并利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】（2021春?黃岡期中）如圖，DB∥FG∥EC，A是FG上的一點，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠DAG和∠CAG度數(shù)，然后根據(jù)AP平分∠CAD，即可得到∠PAG的度數(shù)．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式1-8】（2023秋?原陽縣校級期末）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求證：CE平分∠BCD．【分析】過E作EF∥AB交BC于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再結(jié)合垂線的定義可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分線的定義可證明結(jié)論．【解答】證明：過E作EF∥AB交BC于點F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，證明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解題的關(guān)鍵．題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直【例題2】已知，如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，試說明DA⊥AB．【分析】由角平分線的定義和條件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可證明DA∥BC，再由平行線的性質(zhì)可得到∠A＝90°，可證明DA⊥AB．【解答】證明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【點評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補，④a∥b，b∥c?a∥c．解題技巧提煉準確識別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)及鄰補角的定義求解.【變式2-1】（2022春?龍崗區(qū)期末）已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根據(jù)∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠BCD．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代換），∴CD∥FH（同位角相等，兩直線平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（兩直線平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【分析】過E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根據(jù)平行線的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：過E作EF∥AD，交CD于F，則∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，能正確作出輔助線，并綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級月考）如圖，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分線交BC的延長線于點E，CF平分∠DCE．求證：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分線定義可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，進而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=1【解答】證明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠∴∠CGF=12∠∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠∴∠FCG=12∠∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線判定定理和性質(zhì)定理．題型三利用平行線的性質(zhì)解決實際問題題型三利用平行線的性質(zhì)解決實際問題【例題3】（2023秋?深圳期末）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點O照射到拋物線上的光線OB，OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，則∠OCD的度數(shù)為（）A．88° B．89° C．90° D．91°【分析】依題意得AB∥OP∥CD，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，從而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，進而可得∠OCD的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故選：B．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉給出一個實際問題，聯(lián)系平行線的性質(zhì)解答實際問題，有時需要通過作輔助線構(gòu)造平行線，同時還會綜合運用平行線的判定和性質(zhì).【變式3-1】如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時開工，若干天后公路準確接通，若公路AB長8千米，另一條公路BC長是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是千米．【分析】根據(jù)方位角的概念，圖中給出的信息，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度求解．【解答】解：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距離是AB＝8千米，故答案為：8．【點評】此題是方向角問題，結(jié)合生活中的實際問題，將解三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．【變式3-2】（2022春?滄縣期中）某學(xué)員在駕校練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分別判斷得出即可．【解答】解：∵兩次拐彎后，按原來的相反方向前進，∴兩次拐彎的方向相同，形成的角是同旁內(nèi)角，且互補，故選：D．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出是解題關(guān)鍵．【變式3-3】如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請解釋進入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合條件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可證得∠5＝∠6，可證明l∥m，據(jù)此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代換），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定義），即：∠5＝∠6（等量代換），∴l(xiāng)∥m．【點評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補，④a∥b，b∥c?a∥c．【變式3-4】（2023秋?市南區(qū)期末）如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點G和點D，AB與DM交于點N，當(dāng)前支架OE與后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°時，人躺著最舒服，則此時扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)OE∥DM即可求出∠ANM的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案為：122°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2023秋?東莞市校級期末）如圖為某椅子的側(cè)面圖，∠DEF＝120°．DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝．【分析】根據(jù)平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性質(zhì)和對頂角相等，進行求解即可．【解答】解：由題意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案為：70°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2022?小店區(qū)校級開學(xué)）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是乎動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】過點F作FM∥CD，因為AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出∠MFA，∠EFA，進而可求出∠EFM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠DEF．【解答】解：如圖，過點F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故選：C．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的轉(zhuǎn)化和計算．【變式3-7】（2023春?岱岳區(qū)期末）如圖，EF，MN分別表示兩面互相平行的鏡面，一束光線AB照射到鏡面MN上，反射光線為BC，此時∠1＝∠2；光線BC經(jīng)鏡面EF反射后的反射光線為CD，此時∠3＝∠4，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】先根據(jù)MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，據(jù)此得出結(jié)論．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【點評】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．題型四借助三角尺求角的度數(shù)題型四借助三角尺求角的度數(shù)【例題4】（2022春?秦淮區(qū)校級月考）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．52° D．58°【分析】根據(jù)已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：如圖：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉借助三角尺求角的度數(shù)主要是利用三角尺的特征，結(jié)合平行線的性質(zhì)一般解決求角的度數(shù)問題.【變式4-1】（2022秋?瓊海期中）如圖，將三角板的直角頂點按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解．【解答】解：∵兩直線平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故選項A不符合題意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合題意；由題意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故選項B不符合題意；∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，∴∠3+∠4＝180°，故選項C不符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理．【變式4-2】（2023秋?榆樹市校級期末）把一副三角板按如圖所示擺放，使FD∥BC，點E落在CB的延長線上，則∠BDE的大小為度．【分析】由題意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行線的性質(zhì)可得∠BDF＝∠ABC＝60°，從而可求∠BDE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案為：15．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式4-3】（2023秋?新野縣期末）如圖，直線m∥n，且分別與直線l交于A，B兩點，把一塊含60°角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠2＝98°，則∠1＝．【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠4的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案為：52°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記平行線的性質(zhì)．【變式4-4】（2022?大渡口區(qū)校級模擬）將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE．則∠BAE的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】由題意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行線的性質(zhì)可求得∠CAE＝120°，從而可求得∠CAD＝30°，則∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故選：B．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運用．【變式4-5】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】將∠AEG，∠GEF的度數(shù)，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度數(shù)，由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，可求出∠DFE的度數(shù)，再結(jié)合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2023秋?鹽城期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，則∠ACD的度數(shù)為．【分析】過點C作CF∥AB，則有AB∥CF∥DE，從而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度數(shù)．【解答】解：過點C作CF∥AB，如圖，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案為：105°．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題【例題5】如圖所示，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠1＝58°，則∠AEG的度數(shù)（）A．58° B．64° C．72° D．60°【分析】由平行線的性質(zhì)得∠DEF＝∠1＝58°，由折疊的性質(zhì)得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定義求出∠AEG即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折疊的性質(zhì)得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、長方形的性質(zhì)以及平角定義；熟練掌握平行線的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉結(jié)合長方形的性質(zhì)，對邊是互相平行的，從而綜合折疊的特征和平行線的性質(zhì)求解即可.折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化.【變式5-1】（2022秋?陳倉區(qū)期末）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AEG的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得出∠α的度數(shù)．【解答】解：∵矩形紙條ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折疊可得，∠α=12∠DEG故選：A．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【變式5-2】（2023?臺州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【分析】利用平行線的性質(zhì)和各角之間的關(guān)系即可求解．【解答】解：如圖，標注三角形的三個頂點A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵圖案是由一張等寬的紙條折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵紙條的長邊平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案為：140°．【點評】本題比較簡單，主要考查了平行線的性質(zhì)的運用．【變式5-3】（2022秋?昭陽區(qū)期中）如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，BC∥DE；若∠B＝50°，則∠BDF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝50°，再利用折疊前后圖形不發(fā)生任何變化，得出∠ADE＝∠EDF，從而求出∠BDF的度數(shù)．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故選：C．【點評】此題主要考查了折疊問題與平行線的性質(zhì)，利用折疊前后圖形不發(fā)生任何變化，得出∠ADE＝∠EDF是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2023秋?陽城縣期末）將一張長方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠1＝110°，則∠2＝．【分析】證明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題．【解答】解：如圖，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折變換的性質(zhì)可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案為：55°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解翻折變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式5-5】（2022?沭陽縣模擬）已知長方形紙條ABCD，點E，G在AD邊上，點F，H在BC邊上．將紙條分別沿著EF，GH折疊，如圖，當(dāng)DC恰好落在EA'上時，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折疊得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠∴∠1+∠2＝135°，故選：A．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，由折疊的性質(zhì)得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠【變式5-6】如圖，長方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°【分析】設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分兩種情況進行討論：①當(dāng)∠BCE＝α+18°時，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分別根據(jù)∠BCD＝90°列式計算即可．【解答】解：如圖，設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①當(dāng)∠BCE＝α+18°時，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；綜上所述，圖中∠1的度數(shù)為72°或48°，故選：A．【點評】本題主要考查了折疊問題，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．題型六平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型六平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題6】（2023秋?仁壽縣期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，則下列結(jié)論：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AD⊥EF，故①符合題意；∠CEF＝∠BCE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CEF＝∠ACE，故③符合題意；根據(jù)角平分線的定義得到CE平分∠ACB，故②符合題意；根據(jù)已知條件無法證明AB∥CF，故④不符合題意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合題意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合題意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合題意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，則CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定與BC相等，∴無法證明AB∥CF，故④不符合題意，故選：C．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉平行線的判定和性質(zhì)在解題中經(jīng)常反復(fù)使用，見到角相等或互補就應(yīng)該聯(lián)想到能否判定兩條直線平行，見到直線平行就應(yīng)該聯(lián)想到能否證明相關(guān)的角相等或互補.【變式6-1】（2023秋??？h期末）如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐一進行判斷求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，則a∥e∥b，則∠3＝∠4，故此說法正確；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，則∠1＝∠5，則c∥d；故此說法正確；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，則∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此說法正確；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°時，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此說法錯誤．故選：B．【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠2+∠BDC＝180°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，從復(fù)雜圖形中找出內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春?鎮(zhèn)江期中）如圖，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直線DE與AB有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根據(jù)∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根據(jù)∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠CED＝71°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定．【變式6-4】（2022春?舞陽縣期末）如圖，點D在AC上，點F、G分別在AC、BC的延長線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【分析】（1）由對頂角相等、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定BF∥EC，則同位角∠ACE＝∠F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合已知條件，角平分線的定義，利用等量代換推知同位角∠BCE＝∠G，則易證DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度數(shù)為60°；（2）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【點評】本題考查了平行線的判定．解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角．【變式6-5】（2022春?溫江區(qū)校級期中）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DGF＝∠EFG，根據(jù)等量關(guān)系得到∠DGF＝∠C，根據(jù)平行線的判定可得CE∥GF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和鄰補角的定義即可求解．【解答】（1）證明：∵∠D+∠AED＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DGF＝∠EFG，∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠C，∴CE∥GF，∵∠CED＝75°，∴∠DHG＝75°，∴∠FHD＝105°．【點評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式6-6】（2022春?木蘭縣期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標左鍵點住點E，拖動后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能，找到了這三個角之間的關(guān)系．（1）請直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？（2）請從圖③④中，選一個說明它成立的理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補解答；（2）選擇③，過點E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，再根據(jù)∠BED＝∠DEF﹣∠BEF整理即可得證．【解答】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC；②∠C+∠D+∠DEC＝360°；③∠DEC＝∠C﹣∠D；④∠DEC＝∠D﹣∠C；（2）選圖③，過點E作EF∥AD，如圖：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF，又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF，∴∠DEC＝∠C﹣∠D．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目解題關(guān)鍵在于過拐點作平行線．【變式6-7】（2023春?江北區(qū)期中）如圖（1），直線MN與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠1與∠2互補．（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），∠AEF與∠EFC的角平分線交于點P，EP延長線與CD交于點G，點H是MN上一點，且PF∥GH，試判斷直線GH與EG的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（3），點P為AB，CD之間一點，EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEF和∠CFN，求∠AEP與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用鄰補角的定義及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∥CD；（2）利用平行線的性質(zhì)推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理證得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故結(jié)合已知條件PF∥GH，易證GH⊥EG；（3）根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)得∠EQF＝∠2﹣∠1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AEF＝∠CFN＝2∠2，即∠AEP＝2∠2﹣2∠1，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1與∠2互補，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠2+∠CFE＝180°，∴∠1＝∠CFE，∴AB∥CD；（2）GH⊥EG，理由如下：由（1）知，AB∥CD，∴∠AEF+∠EFC＝180°．又∵∠AEF與∠EFC的角平分線交于點P，∴∠FEP+∠EFP=12（∠AEF+∠∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，∵PF∥GH，∴GH⊥EG．（3）如圖，∵AB∥CD，F(xiàn)Q平分∠CFN，∴∠AEF＝∠CFN＝2∠2，∵EQ平分∠PEF，∴∠AEP＝2∠2﹣2∠1＝2（∠2﹣∠1），∵∠EQF＝∠2﹣∠1，∴∠AEP＝2∠EQF．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟記平行線的判定與性質(zhì)及注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的運用是解題的基礎(chǔ)．題型七命題與定理題型七命題與定理【例題7】（2023秋?田陽區(qū)期末）下列四個句子中是命題的是（）A．正方形的四條邊相等 B．利用三角板畫60°的角 C．生活在水里的動物是魚嗎？ D．直線、射線、線段【分析】判斷一件事情的語句，叫做命題，由此即可判斷．【解答】解：A中的語句是命題，故A符合題意；B、C、D中的語句不是命題，故B、C、D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查出命題與定理，關(guān)鍵是掌握命題的定義．解題技巧提煉命題是判斷一件事情的語句，正確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題改寫的原則是不改變原題的原意．【變式7-1】（2021秋?涇陽縣期末）下列語句中，不是命題的是（）A．相等的角是對頂角 B．同旁內(nèi)角互補 C．平角是一條直線 D．延長線段AO到點C，使OC＝OA【分析】根據(jù)命題的定義作答．【解答】解：根據(jù)命題的定義，可知A、B、C都是命題，而D屬于作圖語言，不是命題．故選：D．【點評】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．一般說來，對于任何一個命題，都可以加上“是”或“不是”．注意，作圖語言不是命題．【變式7-2】（2023秋?全椒縣期末）下列命題是假命題的是（）A．對頂角相等． B．如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等． C．在同一平面內(nèi)有三條直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c． D．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．【分析】分別判斷后，找到錯誤的命題就是假命題．【解答】解：A、對頂角相等，正確，是真命題；B、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等，錯誤也可能互補，是假命題；C、在同一平面內(nèi)有三條直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c，正確，是真命題；D、兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行，正確，是真命題．故選：B．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對頂角的定義、平行線的性質(zhì)等知識，難度不大．【變式7-3】（2023秋?德化縣期末）下列選項中，可以用來說明命題“若|a|＞3，則a＞3”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣5 B．a(chǎn)＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝4【分析】根據(jù)絕對值的意義、有理數(shù)的大小比較法則解答．【解答】解：當(dāng)a＝﹣5時，|a|＝5＞3，而﹣5＜﹣3，∴“|a|＞3，則a＞3”是假命題，故選：A．【點評】本題考查的是假命題的證明，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．【變式7-4】（2023秋?射洪市期末）已知下列命題：①若a≤0，則|a|＝﹣a；②若m＞n，則ma2＞na2；③對頂角相等；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等．其中為真命題的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【分析】由對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，絕對值的意義，即可判斷．【解答】解：①若a≤0，則|a|＝﹣a，正確，故①符合題意；②若m＞n，如果a＝0，那么ma2＝na2，故②不符合題意；③對頂角相等，正確，故③符合題意；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等，正確，故④符合題意．∴其中為真命題的個數(shù)是3個．故選：B．【點評】本題考查命題與定理，絕對值，對頂角，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，絕對值的意義．【變式7-5】（2022春?北京期末）已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理判斷即可．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命題；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小題命題是假命題；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命題；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命題；故答案為：①③④．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．【變式7-6】（2023秋?子洲縣校級期末）將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果…，那么…”的形式．【分析】根據(jù)“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論，即可解決問題．【解答】解：命題“同角的余角相等”，可以改寫成：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．故答案為如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．【變式7-7】把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式，并指出命題的真假．（1）等角的補角相等．（2）垂直于同一直線的兩直線平行．【分析】（1）等角的補角相等的題設(shè)為兩個角是兩相等角的補角，結(jié)論為這兩個角相等，它為真命題；（2）垂直于同一直線的兩直線平行的題設(shè)為兩條直線都垂直于同一條直線，結(jié)論為這兩條直線平行；由于沒有同一平面的條件，所以它為假命題．【解答】解：（1）等角的補角相等改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是兩相等角的補角，那么這兩個角相等．此命題為真命題；（2）垂直于同一直線的兩直線平行改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．此命題為假命題．【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．【變式7-8】（2023春?確山縣期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．（1）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；（2）內(nèi)錯角相等；（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）題設(shè)：如果兩個角的和等于平角時，結(jié)論：那么這兩個角互為補角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個角是內(nèi)錯角，結(jié)論：那么這兩個角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯角，∠2＞∠1；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補．是真命題．【點評】此題考查命題與定理，命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．題型八命題的分析與證明題型八命題的分析與證明【例題8】（2023秋?市南區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D，F(xiàn)在邊AB上，點G，E分別在邊AC，BC上，連接DG，DC，EF．①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA＝∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B＝∠BEF，請你從上面四個選項中任選出三個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明．你選擇的條件：，結(jié)論：（填序號）．【分析】選擇①②③為條件，④為結(jié)論組成一個命題．先由①得到DG∥BC，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADG＝∠B，∠GDC＝∠BCD，再有②得到∠ADG＝∠GDC，所以∠B＝∠DCB，接著由③得到EF∥CD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCD＝∠BEF，然后利用等量代換得到∠B＝∠BEF．【解答】解：選擇的條件：①②③，結(jié)論：④．證明如下：∵∠DGA＝∠BCA，∴DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠GDC＝∠BCD，∵DG平分∠ADC，∴∠ADG＝∠GDC，∴∠B＝∠DCB，∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD，∴∠BCD＝∠BEF，∴∠B＝∠BEF．故答案為：①②③；④．【點評】本題考查了命題：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了命題證明的書寫，推理過程要具有邏輯性，在解題的過程中需要綜合運用平行線的性質(zhì)與判定.【變式8-1】（2022秋?南岸區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中．點E為AB延長線上一點，點F為CD延長線上一點，連接EF，交BC于點G，交AD于點H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求證：∠E＝∠F．【分析】應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進行求解即可得出答案．【解答】證明：∵∠1＝∠3（對頂角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代換），∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠A+∠4＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代換），∴CF∥EA（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022春?萍鄉(xiāng)期末）如圖，EF⊥AC交AC于點F，DB⊥AC交AC于點M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求證：AB∥MN．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：AB∥MN，理由如下：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴DB∥EF，∴∠2＝∠MDC，又∵∠1＝∠2，∴∠1