四川省達州市高三二模數學（理科）試題

達州市普通高中2023屆第二次診斷性測試數學試題（理科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.[1，4] B. C.(1，4) D.[1，4)【答案】B【解析】【分析】求出集合，再由并集的定義即可得出答案.【詳解】，因為，所以.故選：B.2.復數，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據復數的除法運算法則即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：B.3.在等比數列中，，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設等比數列的公比為，求出的值，可得出，代值計算即可得解.【詳解】設等比數列的公比為，則，所以，.故選：D.4.命題p：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】對全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.【詳解】因為對全稱量詞的否定用特稱量詞，所以命題p：，的否定為：，.故選：D5.設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（）A.5 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據指數函數、對數函數的單調性及正切函數的單調性即可得解.【詳解】，，，，故選：C7.果樹的負載量，是影響果樹產量和質量的重要因素.蘋果樹結果期的負載量y（單位：kg）與干周x（樹干橫截面周長，單位：cm）可用模型模擬，其中，，均是常數.則下列最符合實際情況的是（）A.時，y是偶函數 B.模型函數的圖象是中心對稱圖形C.若，均是正數，則y有最大值 D.蘋果樹負載量的最小值是【答案】C【解析】【分析】因為的定義域為，不關于原點對稱，可判斷A，B；對函數求導，得出函數的單調性，可判斷C，D.【詳解】因為的定義域為，不關于原點對稱，故A不正確；模型函數的圖象也不可能是中心對稱圖象，故B不正確；，則或，若，，均是正數，則，令，則；令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，y有最大值，故C正確；，若，則，函數在上單調遞增，所以，蘋果樹負載量的最小值不是，故D不正確.故選：C.8.已知向量滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的運算作出圖形進行分析，再由圓的對稱性得出的最大值.【詳解】如下圖所示：圓的半徑為1，設，因為，所以點在圓上，則，由圖可知，，即的最大值為.故選：A9.三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面平面有兩個內角分別為和，則球的表面積不能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據面面垂直結合直角三角形三邊關系分類討論確定外接球半徑的可能值，即可求表面積，故得答案.【詳解】如圖取中點為，連接因為平面平面，平面平面，又，中點為，所以，又平面，所以平面因為，所以，有兩個內角分別為和，所以為直角三角形①當為斜邊時，連接則在中，，即，所以為三棱錐的外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；②當為內角所對的邊時，則不妨取，取中點，連接則在中，，則，所以，因為分別為中點，所以，又平面，平面，所以，則，所以為三棱錐外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；③當為內角所對的邊時，則不妨取，取中點，連接則在中，，則，所以，因為分別為中點，所以，又平面，平面，所以，則，所以為三棱錐的外接球球心，為半徑大小所以球的表面積為；綜上，球的表面積為.故選：C.10.如圖，在中，，，，平面內的點、在直線兩側，與都是以為直角頂點的等腰直角三角形，、分別是、的重心.則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量數量積的定義可求得，求出、、，利用余弦定理可求得的長.【詳解】由平面向量數量積的定義可得，解得，延長交于點，延長交于點，則、分別為、的中點，因為、均是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，，所以，，，則，，因為、分別是、的重心，則，，又因為，同理可得，所以，，由余弦定理可得，因此，.故選：A.11.把腰底比為（比值約為，稱為黃金比）的等腰三角形叫黃金三角形，長寬比為（比值約為，稱為和美比）的矩形叫和美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時期的單檐建筑中存在較多的的比例關系，常用的紙的長寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條對角線構成的圖形），.圖二是長方體，，.在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定黃金三角形和和美矩形的個數，利用組合計數原理結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】在如下圖所示的正五角星中，該圖中共有個三角形，且等腰的腰底之比大于，等腰的腰底之比小于，且，則等腰的腰底之比為，則在該五角星中，黃金三角形的個數為，在如下圖所示的長方體中，，，則，，，所以，矩形、均為和美矩形，所以，長方體中共個矩形，其中和美矩形的個數為，所以，圖一和圖二中共個三角形，個矩形，在圖一圖二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率為.故選：B.12.點均在拋物線上，若直線分別經過兩定點，則經過定點，直線分別交軸于，為原點，記，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用條件，用表示出兩點坐標，從而求出直線的方程，進而求出定定點，再根據條件得到，再利用柯西不等式即可求出結果.【詳解】如圖，由題易知直線斜率均存在，設直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，代入，得到，所以，設直線方程為，，由，消得，即，由韋達定理得，所以，又因為，所以，代入，得到，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，即所以，即，故直線過定點，令，得到，所以，所以，，又因為，所以，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，當且僅當，即時，取等號，所以，即，故選：D.【點睛】解決本題的關鍵在于，利用條件求出，兩點，再利用點斜式表示出直線，進而求出定點.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若展開式的二項式系數和為64，則展開式中系數為___________.【答案】【解析】【分析】根據二項式系數和求得，根據二項式展開式的通項公式求得的系數.【詳解】依題意的展開式的二項式系數和為，所以，即.二項式展開式的通項公式為.令，所以展開式中含的系數為.故答案為：14.函數的部分圖象如圖，是曲線與坐標軸的交點，過點的直線與曲線的另一交點為．若，則___________.【答案】【解析】【分析】由題設分析知過，且，求出、，根據求結果即可.【詳解】由題設，過，，則，即，又，則，故且，即，，顯然，則，故且，可得，綜上，當時，，故，故故答案為：.15.如圖，、、分別是正方體的棱、、的中點，是上的點，平面.若，則___________.【答案】【解析】【分析】設，其中，將、、用基底表示，分析可知、、共面，則存在、，使得，根據空間向量的基本定理可得出關于、、的方程組，解出的值，即可得出的長度.【詳解】設，其中，，，，因為平面，則、、共面，顯然、不共線，所以，存在、，使得，即，因為為空間中的一組基底，所以，，解得，因此，.故答案為：.16.是數列前項和，，，給出以下四個結論：①；②；③；④.其中正確的是___________（寫出全部正確結論的番號）.【答案】①②③【解析】【分析】分析可知為常數列，求出數列的通項公式，可判斷①；求出的表達式，利用等差數列的求和公式可判斷②；證明出當時，，可得出，結合放縮法可判斷③；取可判斷④.【詳解】對于①，因為，，所以，，所以，數列為常數列，則，所以，，①對；對于②，，令，則，所以，數列為等差數列，因此，，②對；對于③，設，其中，則，當時，，單調遞減，，即，當且僅當時，等號成立，所以，，所以，，③對；對于④，因為，而，④錯.故答案為：①②③.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22?23題為選考題，考生根據要求作答.17.村民把土地流轉給農村經濟合作社后，部分村民又成為該合作社職工.下表是某地村民成為合作社職工，再經過職業(yè)培訓后，個人年收入是否超過10萬元的人數抽樣統(tǒng)計：年收入超過10萬元年收入不超過10萬元合計男45550女7525100合計12030150（1）是否有99%的把握認為經過職業(yè)培訓后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關？（2）根據合同工期要求，合作社要完成A，B，C三種互不影響的產品加工，擬對至少完成其中兩種產品加工的職工進行獎勵（每個職工都有加工這三種產品的任務），若每人完成A，B，C中任何一種產品加工任務的概率都是0.8，求某職工獲獎的概率（結果精確到0.1）.附①參考公式：.②檢驗臨界值表：0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）沒有的把握認為經過職業(yè)培訓后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關（2）0.9【解析】【分析】（1）計算，比較臨界值，得出結論；（2）某職工獲獎為獲兩項或者獲三項兩互斥事件，根據互斥事件概率求和公式計算.【小問1詳解】由表知，觀測值.沒有的把握認為經過職業(yè)培訓后，合作社職工年收入超過10萬元與性別有關.【小問2詳解】由題意，設某職工獲獎概率為.則，所以某職工獲獎的概率為0.9.18.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面平面,,，，、分別是、的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質可得出平面，可得出，再證明出，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以過點平行于的直線為軸，分別以直線、為軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：：，是的中點，.平面平面，平面平面，平面，平面.平面，，設，則，，在中，由余弦定理得，.，，是中點，四邊形是平行四邊形，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，，則，，、平面，平面.平面，平面平面.【小問2詳解】解：由（1）知，且平面，，以過點平行于的直線為軸，分別以直線、為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，，則，，，則、、、，則，，設平面的一個法向量為，則，取，可得，易知平面一個法向量為，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19.在中，角、、所對的邊分別為、、，.（1）求；（2）若，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的余弦公式化簡可得出，即可求得的值；（2）分析可知、均為銳角，利用兩角和的正切公式結合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：，.由正弦定理得..因為，則，，，則，所以，，即，所以，，，即.【小問2詳解】解：由（1）得.若，則、均為鈍角，則，矛盾，所以，，，此時、均為銳角，合乎題意，，當且僅當時，等號成立，且為鈍角.，則，且為銳角，由，解得，即，當且僅當時，等號成立，，.因此，面積的最小值為.20.已知分別是橢圓的左頂點和右焦點，過的直線交于點.當到的最大距離為4時，.（1）求的標準方程；（2）設的右頂點為，直線的斜率為，直線的斜率.若，①求的值；②比較與的大小.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由題意時，到距離最大為4，此時為通徑，列出方程即可得解；（2）①直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，設的坐標為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由根與系數的關系及斜率公式列式可求得，②由①及，求出直線的斜率，聯(lián)立橢圓求出的坐標，計算即可得解.小問1詳解】設橢圓的焦距為，則.到的最大距離為，此時，橢圓的通徑為，解得.所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】如圖，①分別設的坐標為.因為直線過定點，所以當時，；當時，，都與矛盾，因此.設直線的方程為，將代入，化簡得，..由（1）得，.②，.直線與直線的方程分別為.分別由方程組和解得.，.21.設函數（、均為實數）.（1）當時，若是單調增函數，求的取值范圍；（2）當時，求的零點個數.【答案】（1）（2）的零點個數是【解析】【分析】（1）當時，可得出，求得，令，利用導數求出函數的最小值，分析可知恒成立，即可得出實數的取值范圍；（2）令可得出，設，則，利用導數分析函數的單調性與極值，即可得出方程的解的個數，即可得解.【小問1詳解】解：，.，且，即.設，則，即.不等式的解集為，的解集為.所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.因為，所以，，為單調增函數，恒成立，即.【小問2詳解】解：由得.設，則，則，即.令，則，且.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.，.且，，在區(qū)間單調遞增.設，其中，則，當時，，單調遞減，，即，，，當時，.當時，，，當時，.對任意實數，方程只有一個解，即的零點個數是.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想