2021-2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高二下學期6月份聯(lián)合考試數(shù)學試題（解析版）

2021-2022學年遼寧省名校聯(lián)盟高二下學期6月份聯(lián)合考試數(shù)學試題一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率的定義計算即可【詳解】由題，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為故選：D2．已知四組不同數(shù)據(jù)的兩變量的線性相關系數(shù)如下：數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組②的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組③的相關系數(shù)；數(shù)據(jù)組④的相關系數(shù).則下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)組①對應的數(shù)據(jù)點都在同一直線上B．數(shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關性最強C．數(shù)據(jù)組③中的兩變量線性相關性最強D．數(shù)據(jù)組④中的兩變量線性相關性最弱【答案】B【分析】根據(jù)線性相關系數(shù)的性質逐個判斷即可【詳解】對A，數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)，故數(shù)據(jù)組①對應的數(shù)據(jù)點無線性關系，故A錯誤；對BC，數(shù)據(jù)組②的相關系數(shù)為4組中絕對值的最大值，故數(shù)據(jù)組②中的兩變量線性相關性最強，故B正確，C錯誤；對D，數(shù)據(jù)組①的相關系數(shù)為4組中絕對值最小，故數(shù)據(jù)組①中的兩變量線性相關性最弱，故D錯誤故選：B3．某校高二（3）班安排學生參加該校的“學雷鋒活動周”，星期一至星期日每天安排人數(shù)如下：，，因不慎丟失星期六的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律，則星期六的數(shù)據(jù)為（

）A．17 B．19 C．21 D．25【答案】C【分析】易得從第3項起，每項均為前2項之和即可判斷【詳解】易得從第3項起，每項均為前2項之和，故星期六的數(shù)據(jù)為故選：C4．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質即可解出．【詳解】因為，解得：，所以．故選：D．5．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線，再分別求解切線與坐標軸的交點即可求得圍成的三角形面積【詳解】由題，，故，又，故曲線在處的切線方程為，即，故切線與軸的交點分別為，故切線與坐標軸圍成的三角形的面積為故選：B6．已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再利用導數(shù)的定義可得，進而代入求解即可【詳解】因為，則，所以，故，故，解得故選：B.7．設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得到，結合基本不等式，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，又因為，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.8．已知某圓錐的內切球（球與圓錐側面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內切球半徑，再畫圖設底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達出表面積的公式，再設，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設圓錐的內切球半徑為，則，解得，設圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內切球球心為，內切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當且僅當，即時取等號.故選：A.二、多選題9．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則計算判斷.【詳解】為常數(shù)，，A錯誤；，，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC10．記為等差數(shù)列的前項和，已知，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．C． D．的最小值為3【答案】BCD【分析】設等差數(shù)列的公差為，再根據(jù)與的公式可得，進而求得與的通項公式，再逐個判定即可【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，故，.故是遞減數(shù)列，A錯誤；，B正確；，，故C正確；，當時，，因為函數(shù)的對稱軸為，開口向下，故當時，取得最小值；當時，，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，故當時，取得最小值，綜上有的最小值為3，故D正確；故選：BCD11．經(jīng)市場調查，某產(chǎn)品宣傳費用（單位：萬元）與銷售量（單位：萬噸）的數(shù)據(jù)如下表所示：宣傳費用1銷售量6由表中數(shù)據(jù)得出關于的回歸直線方程為，用回歸方程進行預測，當宣傳費用為2萬元時，銷售量為萬噸，則（

）A．與之間呈正相關關系B．C．當宣傳費用每提高2萬元時，銷售量估計增加了萬噸D．當宣傳費用為3萬元時，銷售量一定超過了10萬噸【答案】AC【分析】由已知條件結合回歸直線過樣本點中心的性質，可計算出回歸直線為.則A選項正確；B選項錯誤；因為一次項的系數(shù)為，結合回歸直線的實際含義知C選項正確；回歸直線只是一個預測的函數(shù)模型，不能斷定當宣傳費用為3萬元時其銷售量一定超過10萬元，則D選項錯誤.【詳解】由已知數(shù)據(jù)得，因為回歸直線過樣本點中心，結合已知條件可列出方程組，解得.則B錯誤，因為，所以A正確；因為，由回歸直線的實際含義知C正確；回歸直線只是一個預測的函數(shù)模型，只能預測而不能斷定當宣傳費用為3萬元時其銷售量一定超過10萬元，則D錯誤.故選：AC.12．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調遞增B．在上單調遞減C．D．的極小值大于0【答案】ACD【分析】分析可得得到關于對稱，故可考慮設，分析的單調性，數(shù)形結合分析的正負區(qū)間，從而得到的單調性，進而得到的單調性與極值即可【詳解】因為，故，即，故關于對稱.故可設，即，為偶函數(shù)，則，畫出與，考慮時的情況，易得兩圖象交點為與，當時，在上方，故，當時，在下，故.故當時，單調遞增，當時，單調遞減.又，故為的圖象往左平移個單位，故當時，單調遞增，當時，單調遞減.又關于對稱，故當時，單調遞增，當時，單調遞減.故A正確，B錯誤；又最大值，故C正確；又極小值，故D正確故選：ACD三、填空題13．已知數(shù)列滿足，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)遞推式倒推即可解出．【詳解】因為，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案為：．14．已知函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)，若具有下列性質：①的值域為；②為奇函數(shù)；③對任意的，且，都有.則的一個解析式為___________.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)③可取函數(shù)為二次函數(shù)，再結合②①可確定函數(shù)解析式.【詳解】由③知可為不含常數(shù)項的一次函數(shù)，所以函數(shù)可為二次函數(shù)，由②可知由①知所以滿足題意，故答案為：(答案不唯一)15．某市舉行了首屆閱讀大會，為調查市民對閱讀大會的滿意度，相關部門隨機抽取男女市民各50名，每位市民對大會給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當時，若沒有的把握認為男?女市民對大會的評價有差異，則的最小值為___________.附：，其中【答案】【分析】根據(jù)定義算出的表達式，由題意得，結合可得出的最小值.【詳解】由題意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值為.故答案為：.四、雙空題16．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.【答案】

；

．【分析】依題可知，各等邊三角形的面積成等比數(shù)列，公比為，首項為，即可求出以及，再根據(jù)分組求和法以及錯位相減法求出．【詳解】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即；，而，設，，作差得：，所以，所以．故答案為：；．五、解答題17．2022年是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校組織了團史知識測試，測試成績分為優(yōu)秀與非優(yōu)秀兩個等級.隨機抽查了高一年級?高二年級各100名學生的測試成績，統(tǒng)計如下表：高一年級成績優(yōu)秀非優(yōu)秀女生人數(shù)3614男生人數(shù)3218高二年級成績優(yōu)秀非優(yōu)秀女生人數(shù)446男生人數(shù)3812(1)根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計女生男生合計(2)根據(jù)（1）中列聯(lián)表，判斷能否有的把握認為男?女生測試成績的等級有差異？附，其中.【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)沒有的把握認為男?女生測試成績的等級有差異【分析】（1）根據(jù)高一二的表格人數(shù)，逐項相加分析即可；（2）求出卡方再對比表格判斷即可【詳解】(1)由表格可知，高一年級?高二年級總共優(yōu)秀女生人數(shù)為，優(yōu)秀男生人數(shù)為，非優(yōu)秀女生人數(shù)為，非優(yōu)秀男生人數(shù)為，故優(yōu)秀非優(yōu)秀合計女生8020100男生7030100合計15050200(2)由（1）可得，故沒有的把握認為男?女生測試成績的等級有差異18．設數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為.(1)從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求的通項公式；①是等比數(shù)列；②.(2)在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】設等比數(shù)列的公比為（1）若選①，根據(jù)是等比數(shù)列可知，再化簡求解即可；若選②，根據(jù)兩式相減可得公比，再代入求得即可（2）代入（1）中可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解即可【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為，若選①，根據(jù)是等比數(shù)列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此時，故即為等比數(shù)列符合題意，故若選②，由可得，即，故，故，解得，故(2)，故19．已知函數(shù).(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）對函數(shù)求導，解導數(shù)不等式可得函數(shù)的單調性.（2）有兩個零點，即在上有兩個不等的實數(shù)根，對函數(shù)求導，判斷單調性極值，畫出圖像，結合圖像可得答案.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，當時，易知，在上為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，且當時，當時，故函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)有兩個零點，所以在上有兩個不等的實數(shù)根，即在上有兩個不等的實數(shù)根，即直線與有兩個交點，當時，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，則的極大值為又，當時，，當時，由圖可得要使直線與有兩個交點，則，故實數(shù)的取值范圍為.20．某企業(yè)積極響應“碳達峰”號召，研發(fā)出一款性能優(yōu)越的新能源汽車，備受消費者青睞.該企業(yè)為了研究新能源汽車在某地區(qū)每月銷售量（單位：千輛）與月份的關系，統(tǒng)計了今年前5個月該地區(qū)的銷售量，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中.(1)根據(jù)散點圖判斷兩變量的關系用與哪一個比較合適？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（的值精確到），并預測從今年幾月份起該地區(qū)的月銷售量不低于萬輛？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）結合散點圖可知合適；（2）由題中所給的數(shù)據(jù)及公式計算回歸方程，并進行估計即可.【詳解】(1)比較合適(散點圖中點的分布不是一條直線,相鄰兩點的縱坐標的差值是增大趨勢,所以比較合適)(2)設,則，先建立y關于t的回歸方程則所以y關于t的回歸方程為，因此y關于x的回歸方程為令，解得或（舍去），故估計從今年8月份起該地區(qū)的月銷售量不低于萬輛.21．設各項均不等于零的數(shù)列的前項和為，已知.(1)求的值，并求數(shù)列的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）當和時，可以求出，；當時，，兩式相減化簡得：，討論為偶數(shù)和奇數(shù)時，數(shù)列的通項公式即可求出；（2）求出，令，再由裂項相消法求出，要證明，即證明，即證即可.【詳解】(1)因為，當時，，所以，當時，，所以，又因為，當時，，兩式相減得：，又因為，所以，當為偶數(shù)時，的奇數(shù)項是以為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以，當為奇數(shù)時，的偶數(shù)項是以為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以，.(2)因為為等差數(shù)列，所以，所以，所以令，要證明，即證明，則，所以，即證，即證，即證，因為在上單調遞減，所以.所以.22．已知函數(shù).(1)求的極大值；(2)設、是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)的極大值；（2）由已知條件可得出，設，構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，可得出，可推導出，再利用函數(shù)在上的單調性可證得結論成立.【詳解】(1)解：因為的定義域為，，當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，所以，函數(shù)的極大值為.(2)證明：因為，則，即，由（1）知，函數(shù)在上單調遞增