2021-2022學(xué)年福建省三明市四地四校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年福建省三明市四地四校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以；故選：B2．已知平面向量，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由可得，解出即可【詳解】解：因為，且，所以，得故選：A.3．中，角A、B、C所對的邊為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因為已知三角形的三邊長，所以利用余弦定理可求出角B的值.【詳解】解：因為，所以由余弦定理得，，因為，所以，故選：C.4．如圖，扇形中，，，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，旋轉(zhuǎn)體為一個半球，利用球的表面積公式和圓的面積公式，求解即可【詳解】由題意，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個以為半徑的半球表面積故選：D5．如圖，在平行四邊形中，頂點，，在復(fù)平面內(nèi)分別表示0，，，則點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行四邊形法則，求得，利用復(fù)數(shù)的運算法則求得結(jié)果.【詳解】，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)的求解，屬于基礎(chǔ)題目.6．已知是不同的平面，是兩條不重合的直線，下列說法正確的是（

）A．若則 B．若，則C．若則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)條件作出圖示可判斷A，由題可得可能可判斷B，由線面平行及面面的位置關(guān)系可判斷C，利用面面垂直的性質(zhì)及判定定理可判斷D.【詳解】如圖顯然與平面不垂直，故A錯誤；若，則可能，故B錯誤；若則平面與平面可能相交，如圖，故C錯誤；若，在平面內(nèi)作平面與平面的交線的垂線，則，由，可得，進而可得，故D正確.故選：D.7．已知為的外心，若AB=1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點為，連接，則，利用向量的線性運算可得，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】因為點為的外心，設(shè)的中點為，連接，則，如圖所以.故選：B.8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=csinB，則tanA的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理得，可得，進而，利用基本不等式可得，化簡可得，則可求出最值.【詳解】在中，由及正弦定理得：.，即，兩邊除以可得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，則，則當(dāng)時，取得最大值為.故選：C.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件得出，利用基本不等式求出.二、多選題9．下列有關(guān)復(fù)數(shù)的敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則的虛部為C．若，則不可能為純虛數(shù)． D．若，則

．【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷各選項．【詳解】，所以，A正確；，虛部是，B錯誤；，若，則是實數(shù)，若，則是虛數(shù)，不是純虛數(shù)，C正確；，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，這個圓上的點到原點的距離最小值為0，最大值為2，所以，D正確．故選：ACD．10．設(shè)非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則與垂直的單位向量B．若，則在上的投影向量為C．若，則D．若，且，則與的夾角為【答案】BC【分析】根據(jù)單位向量的概念、向量投影的定義，向量模的坐標(biāo)表示，由數(shù)量積的定義求向量夾角分別判斷各選項．【詳解】與垂直的單位向量有兩個，它們是相反向量，A錯；，又，所以在上的投影向量為，B正確；若，則，所以，C正確；若，且，則，所以，D錯．故選：BC．11．中，角A、B、C所對的邊為，下列敘述正確的是（

）A．若，則．B．若，則有兩個解.C．若，則是等腰三角形.D．若，則．【答案】AB【分析】由正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化判斷A，由正弦定理求出，再根據(jù)大小關(guān)系確定角的解判斷B，正弦定理化邊為角，進行三角恒等變換后判斷C，利用余弦定理變形后得出角范圍判斷D．【詳解】中，由正弦定理，A正確；若，由得，又，所以，因此角可以為銳角也可以為鈍角，有兩解，B正確；若，則，，或，即或，是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；若，則，整理得，，所以，D錯誤．故選：AB．12．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉膈”．如圖在塹堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”、四面體為“鱉膈”．B．若平面與平面的交線為，且與的中點分別為M、N，則直線、、相交于一點．C．四棱錐體積的最大值為．D．若是線段上一動點，則與所成角的最大值為．【答案】ABD【分析】由塹堵、陽馬、鱉膈的定義判斷A，由平面的基本性質(zhì)判斷B，由棱柱與棱錐的體積公式判斷C，由線面垂直的的性質(zhì)定理，結(jié)合異面直線所成角的定義判斷D．【詳解】塹堵ABC?A1B1C1是直棱柱，平面平面，平面平面，由得，平面，所以平面，四棱錐為“陽馬”，同理平面，平面，則，與垂直易得，四面體為“鱉膈”，A正確；與的中點分別為M、N，則，所以共面，又，所以相交，設(shè)，則，而平面，平面，所以是平面與平面的一個公共點，必在其交線上，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即四棱錐體積的最大值為，C錯；由A選項推理知平面，平面，則，當(dāng)時，，平面，所以平面，又平面，所以，此時與所成角為，是最大值．D正確．故選：ABD．三、填空題13．化簡：=______．【答案】【分析】由向量的加減法法則計算．【詳解】．故答案為：．14．中，角A、B、C所對的邊為，若，，，則的面積為_____．【答案】【分析】利用余弦定理求得邊c，再利用三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因為，，，則，即，解得或（舍去），所以.故答案為：.15．如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，，點在軸上，且，則△AOB的邊__________．【答案】3【分析】在直觀圖中，作軸，交軸于，求出，根據(jù)斜二測畫法作出原圖形中點位置，計算出．【詳解】如圖，作軸，交軸于，由已知得，，在直角坐標(biāo)系的軸上取點，使得，作軸且，則．（可在軸負半軸取點，使得）．故答案為：3．16．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，若二面角為，則與平面所成角的正弦值為__________．【答案】【分析】取中點，連接，證明為二面角的平面角，所以，由余弦定理求得，得，由線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】取中點，連接，如圖，則由已知得，，所以為二面角的平面角，所以，又，，中，，，所以，由，平面，得平面，又平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，平面的一個法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為．故答案為：．四、解答題17．如圖所示，在正方體中，為中點.(1)求證：平面；(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD交AC于O，連接OE，即可得到，從而得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)及計算可得；【詳解】(1)證明：連接BD交AC于O，連接OE，所以O(shè)E是的中位線，所以，又面，面，所以平面；(2)解：正方體中，平面，所以；18．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．(1)若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，求，的值；(2)若為實數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由實系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)，它們互為共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達定理求解；（2）由復(fù)數(shù)的除法法則化簡，然后由復(fù)數(shù)的分類求解．【詳解】(1)依題意知:是方程的另一個復(fù)數(shù)根，所以，(2)因為又為實數(shù)，所以．19．如圖所示，位于A處的甲船獲悉：在其正東方向相距海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待救援.甲船立即把消息分別告知在其北偏東角且相距5海里C處的乙船、和其正北方向D處的丙船.若乙船在丙船的東南方向，且兩船相距2海里．(1)求；(2)若乙船要去救援，至少要航行多少海里才能到達B處？【答案】(1)(2)5海里【分析】（1）中，應(yīng)用正弦定理求解；（2）中，由余弦定理求解．【詳解】(1)依題意知，中，，由正弦定理得即；(2)中，，所以由余弦定理得=25

即BC=5所以乙船至少要航行5海里才能到達救援.20．中，且為的中點，設(shè)，．(1)用表示；(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量線性運算的幾何表示即得；（2）由題可得，然后利用向量的數(shù)量積的定義，運算律結(jié)合向量垂直的數(shù)量積表示即得；或利用坐標(biāo)法，利用向量的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)表示運算即得.【詳解】(1)在中，，所以；(2)法一：∵，∴點在線段上，又，又，所以，即，∴，又，∴，即∴.法二：以A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，又，所以可求得，由，所以，即，整理得，∴.21．中，角A、B、C所對的邊為，若．(1)求角的大??；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化簡后，由正弦定理化邊為角可求得角；（2）把用角表示后，由兩角和與差的正弦公式變形，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】(1)因為，所以，即，，由正弦定理得，三角形中，，所以，，所以．(2)由正弦定理得所以，又，所以當(dāng)時，取最大值為．即取得最大值為．22．如圖所示幾何體中，平面平面，△PAD是直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，PA=AB=2．(1)試在AB上確定一點E，使得平面平面，并說明理由；(2)求證：平面；(3)在線段上是否存在點，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點E為AB中點，理由見解析(2)證明見解析(3)存在，【分析】（1）由線線平行推出線面平行，繼而得面面平行；（2）由