2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.1是數(shù)列;、L的（）

6424816

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

【正確答案】A

【分析】列舉出該數(shù)列的前6項(xiàng)，可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，該數(shù)列為;、

248163264

1

故專是數(shù)嗚、“

8-一的第6項(xiàng).

16

故選：A.

丫2

2.已知橢圓3+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥，若過耳且斜率不為0的直線交橢圓于A、

8兩點(diǎn)，則△48工的周長為（）

A.2B.273C.4D.473

【正確答案】D

【分析】利用橢圓的定義可求得△XB心的周長.

2

【詳解】在橢圓工+/=1中，〃=百，

3.

所以，△/愿的周長為用叫+|"2|+麻2?（河|+卜牙卜（陽卜桃|）=4=4瓦

故選：D.

3.在數(shù)列｛《J中，a“+i=3、/右"i=、，則％。3=：（)

\2an-?>,an>\5

12八4D.日

A.-B.-C.一

5555

【正確答案】D

【分析】推導(dǎo)出對任意的“eNL。*4=%，利用數(shù)列的周期性可求得《。3的值.

,、2a?,a?<\2

【詳解】在數(shù)列⑴中,“2：二華,且

4812

則出=2q=—,a=2a=-a=2a-3=—a=2a=-L,

53259A35t545f

Q

以此類推可知，對任忌的〃eN*,。"+4=。"，所以，。103=“4x25+3=%=1.

故選：D.

4.如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時(shí)，拱頂距離水面4m,當(dāng)水面上升1m后,

橋洞內(nèi)水面寬為()

A.4mB.46mC.8A/3ITID.12m

【正確答案】C

【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為V軸，過原點(diǎn)且垂直于了軸的直線

為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為》2=-2期5>0),分析可知點(diǎn)(8,-4)在該

拋物線上，求出P的值，可得出拋物線的方程，將丁=-3代入拋物線方程，即可得出結(jié)果.

【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為N軸，過原點(diǎn)且垂直于N軸的直線

為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為丁=-2外(p>0),由題意可知點(diǎn)(8,-4)在拋物線上,

所以，64=-2px(-4),可得p=8,所以，拋物線的方程為W=-16y,

當(dāng)水面上升1m后，即當(dāng)產(chǎn)=-3時(shí)，x2=48,可得x=±4百，

因此，當(dāng)水面上升1m后，橋洞內(nèi)水面寬為8百m.

故選：C.

5.《算法統(tǒng)宗》是一部我國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著.《算法統(tǒng)宗》中記載

了如下問題情境：“遠(yuǎn)望魏魏塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，意思為：“一座7

層塔，共懸掛了381盛燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍”.在上述問題情

境中，塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為（）

A.12B.24C.48D.96

【正確答案】B

【分析】由題意可知每層燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2,然后由等

比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381列式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)燈塔每層的燈數(shù)滿足數(shù)列頂層的燈數(shù)為《，前〃項(xiàng)和為5“，

則｛4｝為公比為2的等比數(shù)列，

根據(jù)題意有S,381,解得q=3，

33

.?.a4=?,x2=3x2=24,塔的正中間一層懸掛燈的數(shù)量為24.

故選:B.

6.若橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在〉軸上；順次連接。的兩個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成

等邊三角形，順次連接C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形的面積為4百，則C的方程為（）

己+

A.b=1cD-AQ

43-44-

【正確答案】A

a=2c

【分析】由題可知，2a.2b=電,解之即可得a和6的值,從而求得橢圓的方程;

a2=b2+c2

【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+/l（a>6>0）,

a=2c

12a2=475,解得a=2,6=3,

由題可知，■

a2=b2+c2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為己+2=?

43

故選：A.

7.己知數(shù)列｛叫、｛4｝的通項(xiàng)公式分別為?！?3〃-1和々=4〃-3（〃eN）,設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的

公共項(xiàng)構(gòu)成集合A,則集合2023,〃eN*｝中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.166B.168C.169D.170

【正確答案】C

【分析】利用列舉法可知，將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝,可

知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，求出數(shù)列匕,｝的通項(xiàng)公式，然后解不等式%W2023,即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意可知，數(shù)列?！埃?、5、8、11、14、17、20、23、26、29、L,

數(shù)列"：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、L,

將集合A中的元素由小到大進(jìn)行排序，構(gòu)成數(shù)列%:5、17、29、L,

易知數(shù)列｛c.｝是首項(xiàng)為5,公差為12的等差數(shù)列，則c,,=5+12（〃-l）=12〃-7,

由c“=12〃-7V2023,-=169+-,

66

因此，集合Zc卜卜42023,〃eN*｝中元素的個(gè)數(shù)為169.

故選：C.

8.已知直線/過雙曲線=l的左焦點(diǎn)產(chǎn)，且與C的左、右兩支分別交于48兩點(diǎn)，

3

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，若△OEP是以尸尸為底邊的等腰三角形，則直線/的斜率

為（）

A.土叵B.士姮C.土姮D.土巫

2235

【正確答案】D

【分析】由點(diǎn)差法得％”?〃相=3,由條件知直線。尸的傾斜角為Z8傾斜角的兩倍，代入兩

直線的斜率關(guān)系式左“/“B=3即可求得/的斜率.

【詳解】設(shè)“（X]，必），8仁,乃）,產(chǎn)&）0）,

由42均在上，P為的中點(diǎn)，

3

得■一;+'；，貝13（占-々）（*+匕）=（M一%）（必+為）,

[3々=3+%

??kop?kAB=3,

設(shè)直線48的傾斜角為a,則K,=tana,不妨設(shè)a為銳角,

???△。底產(chǎn)是以FP為底邊的等腰三角形，直線0P的傾斜角為2a，則%=tan2a.

tana?tan2a=3,

.,2tana皿曰岳

??tana?-------5—=o3,解得tana=-----,

l-tan2a5

...由對稱性知直線/的斜率為±巫.

5

故選：D

中點(diǎn)弦定理：直線與橢圓(雙曲線)交于4B兩點(diǎn),中點(diǎn)為P,則有3/”=e2-l,(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))

此題解答過程中中點(diǎn)弦定理起了核心作用，通過中點(diǎn)弦定理建立了心B與即「的關(guān)系，另一

方面通過△OFP是以FP為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求

直線的斜率.

二、多選題

22

9.已知曲線C:二——匚=l(meR),下列說法正確的有()

2—mm—\

A.若曲線C表示橢圓，貝！|加>2或,*<1

B.若曲線C表示橢圓，則橢圓的焦距為定值

C.若曲線C表示雙曲線，則

D.若曲線C表示雙曲線，則雙曲線的焦距為定值

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的方程求出心的取值范圍，可判斷AC選項(xiàng)：利用橢圓、雙曲線

的幾何性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng).

2-m>0

【詳解】對于A選項(xiàng)，若曲線C表示橢圓，則〈機(jī)-1<0，解得加<1,A錯(cuò)；

iv2

對于B選項(xiàng)，若曲線C表示橢圓，則加<1,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工—+」」=1,

2-m\-m

橢圓C的焦距為2優(yōu)2-力-（1-加）=2,B對；

對于C選項(xiàng)，若曲線C表示雙曲線，則（2-5）（1一加）<0,解得1<機(jī)<2,C對；

22

對于D選項(xiàng)，若曲線C表示雙曲線，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為」-----匚=1,

2-〃Im-\

雙曲線C的焦距為2"（2-"?）+（加-1）=2,D對.

故選：BCD.

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,[〃€N*）,若q>034=%，則（）

A.公差d<0B.%+偈<0

C.S,,的最大值為國D.滿足g<0的〃的最小值為16

【正確答案】AC

【分析1根據(jù)4>0,邑=，2求出力與公差d的關(guān)系即可判斷AB；再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和

公式即可判斷CD.

【詳解】因?yàn)?>0,邑=52,

則41%）=a；咐,即％+6=3（%+《2）,

2

則d=-不q<0,故A正確；

%+為=24+14d=-〃>0,故B錯(cuò)誤；

由%+%>0,得知>0,

%=%+8d='d<0,

因?yàn)閐<0,a)>0,

所以數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，且當(dāng)“48時(shí)，%>0,當(dāng)“29時(shí)，??<0,

所以，的最大值為國,故C正確;

令S,<0,解得〃>16,

所以滿足S,<0的〃的最小值為17,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為S,,,4=1,且2a,+]+S“=1+!（N€N*）,則（）

A.數(shù)列｛2%“｝為等差數(shù)列

c.s.隨〃的增大而減小D.S“有最大值

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)~、.求出數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)，即可判斷AB；根據(jù)數(shù)列｛0“｝的符

號，即可判斷5,的增減性，即可判斷CD.

【詳解】由2〃向+5,=1+5，

當(dāng)“22時(shí)，2a“+S,一=1+擊，

兩式相減得2。的-2%+4,=-￡，

即2a?+i=a?-，所以-2%=一1（〃>2），

31

當(dāng)〃=1時(shí)，2a2+q=Q,則4=W，

則2-4-2〃i=-1,

所以數(shù)列數(shù)列｛2”aj是以-1為公差，2%=2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故A正確；

則2"%=3-〃，所以見=學(xué)，故B正確；

3—n

由，得當(dāng)"42時(shí)，a?>0,a3=0,當(dāng)“N4時(shí)，<0,

所以當(dāng)〃42時(shí)，S,,隨〃的增大而增大，當(dāng)〃24時(shí)，S,,隨〃的增大而減小，故C錯(cuò)誤;

所以當(dāng)〃=2或3時(shí);S“取得最大值，故D正確.

故選：ABD.

12.已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P在拋物線上，則（）

A.過點(diǎn)/（0,2）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條

B.設(shè)點(diǎn)8（3,2）,則尸尸|的最大值為2五

C.點(diǎn)P到直線x-y+3=0的最小距離為近

D.點(diǎn)P到直線4x-3y+6=0與點(diǎn)尸到y(tǒng)軸距離之和的最小值為1

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求出直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合求出

|尸8|-|尸刊的最大值，可判斷B選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)P（4產(chǎn),4/）,其中feR,利用點(diǎn)到直線的距離公

式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng);利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合思想求出點(diǎn)P到

直線4x-3y+6=0與點(diǎn)P到歹軸距離之和的最小值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)過點(diǎn)A的直線為機(jī)，若直線，〃方程為x=0,此時(shí)直線機(jī)與拋物線

/=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，

若直線m的方程為y=2,此時(shí)直線〃?與拋物線/=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)，

若直線加的斜率存在且不為零，設(shè)直線〃?的方程為、=丘+2,

[y=kx+2、

聯(lián)立可得ax+（飲-4卜+4=0,

%w01

若直線打與拋物線/=4x相切，則卜=（4八4）2-161=0，解得％=；，

此時(shí)，直線用的方程為y=gx+2,

綜上所述，過點(diǎn)力（0,2）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有三條，A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，如下圖所示:

6

易知點(diǎn)戶（1,0）,4忸耳=J（3-爐+（2-0）2=2五，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為射線BF與拋物線y2=4x的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，

故|尸耳一盧尸|的最大值為2夜，B對；

對于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)尸（4產(chǎn),4/）,其中fwR,

則點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離為144f+3|+2_4,一1+2

V2=—五一=—7T

當(dāng)且僅當(dāng)，=g時(shí)，等號成立，故點(diǎn)P到直線x-y+3=o的最小距離為血，c對;

對于D選項(xiàng)，如下圖所示：

拋物線V=4x的準(zhǔn)線為/:x=-l,過點(diǎn)P作P/，/,垂足為點(diǎn)A,設(shè)尸/交〉軸于點(diǎn)B,

過點(diǎn)P作直線4x-3y+6=0的垂線，垂足為點(diǎn)。，連接尸尸，

則|尸8|+忸0=歸川+|尸必-1=|尸可+|「0-1,

當(dāng)與直線4x-3y+6=0垂直時(shí)，|P0+|PF|取最小值，

10

且最小值為點(diǎn)F到直線4x-3y+6=0的距離d=2

/2+(-3)2

因此，|P3|+|PQ|=|尸尸|+22-1=1,

故點(diǎn)P到直線4x-3y+6=0與點(diǎn)P到夕軸距離之和的最小值為1,D對.

故選：BCD.

三、填空題

13.已知等差數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S.，若q=3,a3s5=125,則公差d的值為.

【正確答案】1或-4##-4或1

【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得。3的值，由此可求得d的值.

【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得S5==5%，則4s5=5嫉=125,可得%=±5.

當(dāng)q=5時(shí)，d=-24=1；當(dāng)。3=-5時(shí)，d=%2%=—4.

綜上所述，d=l或-4.

故1或-4.

14.已知雙曲線C:「-與=1(〃>0/>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心、。為半徑的圓與C的一

a~b

條漸近線相交于M,N兩點(diǎn)，若NM/N=12O,則C的離心率為.

【正確答案】^林空

33

【分析】由題意知乙01。=120",所以乙WQ4=30°,故2=tan30’，從而求得離心率.

a

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=2x的傾斜角為仇

由題意可得\O^\=\AN\=\AM\=a,所以N與。重合,

所以/M4O=120"，所以。=30°.

15.去掉正整數(shù)中被4整除以及被4除余1的數(shù)，剩下的正整數(shù)按自小到大的順序排成數(shù)列

再將數(shù)列｛風(fēng)｝中所有序號為4,生,％,…的項(xiàng)去掉，｛對｝中剩余的項(xiàng)按自小

到大的順序排成數(shù)列｛"｝（〃eN*）,則,+鼠的值為.

【正確答案】153

【分析】由題意，整理數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，以及分析數(shù)列出｝與數(shù)列｛%｝的對應(yīng)關(guān)系，可

得答案.

【詳解】由題意可知，數(shù)列所有的奇數(shù)項(xiàng)為被4除余2的數(shù)，所有的偶數(shù)項(xiàng)為被4除余3

的數(shù)，

則當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，?！?4-?+2=2〃；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，％=4?腎+3=2〃-1.

即々=2,%=3,%=6,4=7,a5=10,a6=11,L

顯然數(shù)列｛2｝是數(shù)列｛《,｝從第二項(xiàng)開始去掉兩項(xiàng)、保留兩項(xiàng)所組成的

對于九，由（19-1）x2+1=37,則"=/7=74；

對于演，由20x2=40,則％==2x40-1=79,

故加+篇=74+79=153.

故153.

四、雙空題

16.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)尸（x,y）（y20）到點(diǎn)（0，）的距離比它到x軸的距離大（，則

點(diǎn)、p的軌跡r的方程為,過點(diǎn)（o，5）作兩條互相垂直的直線分別與曲線「交于點(diǎn)

41

A、8和點(diǎn)C、D,則麗7+而I的最小值為.

4

【正確答案】Y=y-##0.8

【分析】利用拋物線的定義可得出點(diǎn)P的軌跡「的方程；分析可知直線的斜率存在且不

為零，設(shè)直線的方程為夕=奴+；（發(fā)力0）,設(shè)點(diǎn)/（七,必）、8（々,乂），將直線48的方程

與拋物線的方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得

41

詢+阿的最小值.

【詳解】由題意可知，點(diǎn)尸（x,y）（yzo）到點(diǎn)（0,；）的距離與它到直線x=-；的距離相等，

故曲線點(diǎn)P的軌跡「是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線*=為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為

若直線軸，則直線CD為y軸，此時(shí)直線CD與拋物線》2=、只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎

題意，

設(shè)直線43的方程為〉=丘+；（左二0）,設(shè)點(diǎn)/（網(wǎng),必）、

聯(lián)立一八十4,可得x?-Ax-；=0,△=/+]>0,則玉+*2=%,

y=x2

|/用=必+%+;=4（芭+匕）+1=尸+1,同理可得

ZK

4141

所以，商+所-?+[++]「代+lj，

令￡=公+1〉0,則公=/_1,令/（。=（'；?+4=卜_、+i=5（+gj+g,

4

因?yàn)椤?,所以，/Wmin=/（5）=-.

故X?=y;y.

五、解答題

17.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=-5,%、%-1、生+1成等比數(shù)列，數(shù)列｛2｝

的前〃項(xiàng)和為9,且北+2=24,（〃6升）.

⑴求數(shù)列｛4｝、也｝的通項(xiàng)公式；

⑵記國表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-2.1]=-3,[1.2]=1,設(shè)°,=常，求數(shù)列也％｝的

前7項(xiàng)和.

【正確答案】（1）勺=4〃-9,b?=2n

（2）218

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,根據(jù)題中條件可得出關(guān)于d的等式，解出d的值,

可得出等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，當(dāng)〃22時(shí)，由北=2々-2可得出7；T=26,I-2,兩式作

差可得出數(shù)列也｝為等比數(shù)列，當(dāng)〃=1時(shí)，求出々的值，可得出等比數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

（2）列舉出數(shù)列化,｝前7項(xiàng)的值，進(jìn)而可求得數(shù)列｛%%｝前7項(xiàng)的和.

【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列｛6｝的公差為d,

因?yàn)?、%T、4+1成等比數(shù)列，所以（4-1）2=%3+1），

即（3d-6）2=（2d-5）（4d-4）,整理可得「一84+16=0,解得"=4,

故=q=-5+4（/?-l）=4w-9,

因?yàn)?；=22-2①，當(dāng)〃22時(shí)，Xlb：②,

①-②可得“=2bli-2bl，即〃=2如（〃之2）,

又〃=1時(shí)，b、+2=2b\,即4=2,

所以數(shù)列｛2｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故"=2-2"T=2".

4〃—9

（2）解：由（1）知，4=4〃-9,則c〃=—^―,

所以q=G=T,c3=c4=0,c5=c6=c7=1,

則數(shù)歹的前7項(xiàng)和，7=-lx（2i+22）+0x（23+24）+lx（25+26+2，）=218.

18.已知雙曲線C與1-2=1有相同的漸近線，僅遙,2）為C上一點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過月且傾斜角為45。的直線與C相交于A、B兩

點(diǎn)，求△Nb用的面積.

【正確答案】=1

（2）yVFo

【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為片-止=4,將點(diǎn)（275,2）的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程,

416

求出，的值，即可得出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)工（七,乂）、8H,8）,將直線48的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,

利用三角形的面積公式可求得心的面積.

【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線C的方程為片-將點(diǎn)（2氏2）代入方程中得力=-；,

416

所以雙曲線C的方程為即雙曲線C的方程為=

（2）解：在雙曲線C中，a=2,h=\,貝Uc=V77F=行,

則川-君,0）,所以直線N8的方程為夕=》+石，設(shè)點(diǎn)4（占,必）、BN，%）,

聯(lián)立卜「J?/可得獷+2&-1=0,A=20+12>0,

[x-4/=4.

由韋達(dá)定理可得為+為=-2叵，%為=T，

33

則瓦-%|=｛（弘+力）2-4必_P2=半1

所以，SABF2=j耳聞,|乂-匆=兩乂-為=考^?

19.已知數(shù)列｛〃,｝滿足q=2,a,N）

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)2=上,數(shù)列他,｝的前"頂和為S,,求證

an-132

【正確答案】（1）?！?2〃

（2）證明見解析

【分析】（1）由氏=〃（，-?！埃┑?=,=~=?,可求得｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）用裂項(xiàng)求和求得-『二），再根據(jù)單調(diào)性求得S”的范圍.

2v2/7+1J

【詳解】（1）由4=〃（。用-4）得，（"+1”"="1,

所以4％=2對任意“eN*恒成立,

n+1n

于是—2"=="-■=y-,又q=2,所以a“=2〃.

nn-\1

6=-J-=lp—-L_

（2）由（1）知,

"4/?2-12\2n-\2n+l

I1I1

所以S“=4+&+—+”,--1--一+…+

335-T)212?+1

因?yàn)??！垂に?<1,

從而"4S"<；.

20.已知拋物線。:/=2X（「＞0）的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線作垂線，垂

足為N,當(dāng)NMV尸=30°時(shí)，|"M=1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線/與拋物線C交于48兩點(diǎn)，與x，y軸分別交于尸,。（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）,且

AP=2PB＞若|/刊忸尸|=川0刊。。|,求實(shí)數(shù)了的取值范圍.

【正確答案】（l）/=3x

（2）2＞1

【分析】（1）由拋物線的定義可知MVF為等腰三角形，當(dāng)|MW|=1時(shí)，|N尸|=6.

設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為T,則|7Fkp=g,求得拋物線方程.

（2）設(shè)直線方程為x=〃沙+f（〃-0）,/（xQj,8（X2，%）,P（f，0）,聯(lián)立直線與拋物線方程得

韋達(dá)定理，由萬=2而得M=-2%，代入韋達(dá)定理得f=6/，根據(jù)條件\AP\\BP\=A\OP\\OQ\

/\

可得2=:H+o,由基本不等式求得義的取值范圍.

2（\m\）

【詳解】（1）如圖：設(shè)準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為T，

由題意知NMNF=/NFO=30°，

由拋物線的定義可知MVF為等腰三角形，所以/A/N/=/MFN=3（r，NNMF=120-，

由=1得，曰=1,在A/N/中由余弦定理得"尸|=6,

在RtNTF看,|用=|陰cos30。=],則|7F|=p=j,故拋物線方程為/=3x.

（2）設(shè)直線方程為x=/wy+f（m+0）,4（X|,凹）,8（占,力），尸。，°），顯然"0,

,、[x=my+t,,、

聯(lián)立2；，消X得/-3叩-3f=0,

[y=3x

所以兇+%=3〃?...①，M%=一土.....②

因?yàn)槿f=2萬，所以（一七,-%）=2（%-，，%）,可得乂=一2%,

將M=一2%代入①式得~y2=3m...③,

將乂=一2%代入②式得一2%2=-夕……④,

將③式平方代入④得，=6病.

22

由題意可得，\AP\=yl\+m\yi\,\BP\=yj]+m|y2|,

所以忸尸I=(1+加2)帆力|=18〃尸(1+w2),

36\m|3,

所以‘t一.+1

^-\OP\\OQ\~2|m|

~2W+R,

故;121,當(dāng)且僅當(dāng)問=*,即，”=±1時(shí)等號成立.

21.已知數(shù)列｛/｝滿足q=-：，%=mT〃€N).

(1)證明：,+2是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

UJ

1

(2)設(shè)數(shù)列圾｝滿足％=(〃-3)五■+1,記他｝的前〃項(xiàng)和為T?,若T“4tb?對v〃eN*恒成

立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見解析：""一彳目‘

⑵-2Y41

【分析】(1)將。向變形為一匚=兩邊同加2后可證得，工+2是等比

2-2%??+13a“3J

數(shù)列，并可求得包｝通項(xiàng)公式.

(2)由錯(cuò)位相減求和法求得7；,由44血恒成立分離常數(shù)后得/的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)閝=工0，“所以產(chǎn)°，

22-Za?

1_2-2a?2J__2

3??3a?3，

又因?yàn)橐?+2=41，所以1一+2是以4;為首項(xiàng)、2;為公比的等比數(shù)列,

q3[a?J33

于是廣臼|[=2(|J,即才;?

=("3)停卜

(2)由(1)得,b.=("3)

T=(<)x侍+(T)x侍+。*0+?一+("-4)x仔)+(〃-3)x(|「

|北=(-2>1)+(-少圖+…+G-4卜圖+”3>

兩式相減得，W+(4+圖+,,,+({!>〃-3)義圖

9⑴