2023屆河北省石家莊市部分學校高三年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★啟用前

高三數(shù)學考試

注意事項：

1.答題前、考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將

答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜產(chǎn)一4%-12<0bB={x|2-x>l},則Ac3=（）

A.1x|-2<x<1}B.{x卜6<x<1}C.{x[l<x<2}D.<x<6}

2.已知復數(shù)z=a+i（aeR）,若z2=3+4i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.某數(shù)學興趣小組的學生為了了解會議用水的飲用情況，對某單位的某次會議所用奴泉水飲

用情況進行調(diào)查，會議前每人發(fā)一瓶500ml的泉水，會議后了解到所發(fā)的礦泉水飲用情況

主要有四種：A.全部喝完；B.喝剩約,；C.喝剩約一半；D.其他情況.該數(shù)學興趣小組的學

3

生將收集到的數(shù)據(jù)進行整理，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息，本次調(diào)查中會議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是（）

6.在四棱錐P—ABCD中，平面ABCO,四邊形ABCD是正方形，PA=AB,

PH=2HC,E,F分別是棱CD,Q4的中點，則異面直線3〃與ER所成角的余弦值

是（）

16c迎272

A.-B.---C.---D.----

3333

7.當光線入射玻璃時，表現(xiàn)有反射、吸收和透射三種性質(zhì).光線透過玻璃的性質(zhì)，稱為“透射”，

以透光率表示.已知某玻璃的透光率為90%(即光線強度減弱10%).若光線強度要減弱到原

來的上以下，則至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是(參考數(shù)據(jù)：1g2go.30,1g3no.477)

塊塊塊塊

8.已知函數(shù)/(x)=2sinr|cosx|+J§cos2x,則()

jr

Aj(x)的最小正周期是乃Bj(x)的圖象關于直線》=看對稱

14-rr勺-rr

”(力在［0,2可上有4個極值點口./(另在資考上單調(diào)遞減

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知點A0,—2),8(2,0),C(3,-3),￡>(-1,-6),則O

A.AB〃ACB.網(wǎng)=|AC|C.AC1ADD.cos/AB,BD\=0

10.已知。>0,b>0,且a+2Z?=l,則()

1i12

A.cibK-B.2a+。<—C.—H—29D.log/>0

82ab

11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該

禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的

等腰三角形.將長方體44G。的上底面4耳G0繞著其中心旋轉(zhuǎn)45。得到如圖

2所示的十面體ABCZ)'G".已知AB=AD=2,AE=布,貝ij()

A.十面體A8CD—跖G”的上、下底面之間的距離是a+1

B.十面體ABCD—EFG”的表面積是8指+8

C.十面體ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距離是史壁

2

D.十面體A5CD—￡FG”外接球的表面積是(11+20)》

12.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)-g(2—x)=-5,

g(x)+/(x+2)=3.若〃x)的圖象關于直線x=l對稱，且〃3)=-3,則()

A.g⑴=6B.g(無)的圖象關于點(0,4)對稱

22

c.g(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為8D.W>(%)=90

k=\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線

上.

13.已知拋物線。:*=2〃？(〃>0)的焦點為尸，點4在拋物線。上，若點A到x軸的距

離是|A同一2,則〃=.

14.寫出一個同時滿足下列條件①②的雙曲線的標準方程：.

①焦點在x軸上；②離心率為2.

15.某班派甲、乙等五人參加跳高、跳遠、50米短跑這三個項目，要求每人只參加一個項目，

且每個項目都要有人參加，則甲、乙參加同一個項目的概率是.

16.已知/（x）是定義在（ro,0）D（0,+s）上的奇函數(shù)，/'（X）是/（x）的導函數(shù)，當x>0

時，+.若"2）=0,則不等式只/（力>0的解集是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.（10分）

公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且滿足。3=10，%，。4，%成等比數(shù)列.

（1）求｛%｝的前"項和S,,；

2

（2）記仇=-----,求數(shù)列｛〃｝的前〃項和

S“+6

18.（12分）

某商場在周年慶舉行了一場抽獎活動，抽獎箱中所有兵乓球都是質(zhì)地均勻，大小與顏色相同

的，且每個小球上標有1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中的一個，每個號都有若干個兵乓球.

顧客有放回地從抽獎箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的數(shù)字，當x?5時，該顧客積

分為3分，當3Wx<5時，該顧客積分為2分，當x<3時，該顧客積分為1分.以下是用電

腦模擬的抽獎,得到的30組數(shù)據(jù)如下:

1311633412

4125312631

6121225345

(1)以此樣本數(shù)據(jù)來估計顧客的抽獎情況，分別估計某顧客抽獎一次，積分為3分和2分

的概率；

（2）某顧客從上述30個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，若該顧客總積分是幾分，商場就讓利幾

折（如該顧客積分為3+3=6,商場就給該顧客的所有購物打10-6=4折），記該顧客最

后購物打X折，求X的分布列和數(shù)學期望.

19.（12分）

A

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，右cosA+cos—=0,且A￡>=2￡>8,

2

AE=4EC.

（1）求A的大?。?/p>

（2）若a=7,DE=2不,求△ABC的面積.

20.（12分）

如圖，在正三棱柱ABC—44a中，AA]=AB,D,E分別是樓BC,Bg的中點.

（1）證明：平面AG。，平面4CE.

（2）求平面ACE與平面4CE的夾角的余弦值.

21.（12分）

225

已知橢圓C:，+/=l（a>〃>0）的離心率是半，點M（0,2）在橢圓。上.

（1）求橢圓C的標準方程.

⑵已知P（O,1）,直線/:>="+加化HO）與橢圓C交于A,B兩點，若直線AP,BP

的斜率之和為0,試問△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，

請說明理由.

22.（12分）

已知函數(shù)/（x）=e*-3f+冰的圖象在％=1處的切線方程為>=（e-2）x+8.

（1）求a,b的值；

（2）若關于x的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)加的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：1由0之2.3）

高三數(shù)學考試參考答案

【解析】本題考查集合的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由題意可得A={H-2<X<6},8={X|X<1},則AC8={X[—2<X<1}.

【解析】本題考查復數(shù)，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

f/72-1-3

由題意可得z2=q2-i+2ai=3+4i,則/'解得。=2,從而N=2—i,故復數(shù)N

2a=4,

在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.

【解析】本題考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

當同時，〃力>0,則排除A,D；當xee考卜卜/（x）<0,則排除C.

故選B.

【解析】本題考查充要條件與三角恒等變換，考查函數(shù)與方程的數(shù)學思想.

得

sin2a---=-sin=1-2sin21cr——I=—由

I6

是

~3

“sin（2aj）=；”的充分不必要條件.

【解析】本題考查統(tǒng)計圖表，考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

由題中統(tǒng)計圖可知參加這次會議的總?cè)藬?shù)為40+40%=100,則所發(fā)礦泉水喝剩約一半的

人數(shù)為100x30%=30,故會議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)為100—40—30—8=22.

【解析】本題考查異面直線所成角，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

如圖，分別取依，P4的中點M,N,連接MF,CM,MN.易證四邊形CEE0是

平行四邊形，則。0〃所，。3=石戶.因為加，N分別是PB,PH的中點，所以

MN//BH,則NCMN是異面直線3”與￡尸所成的角（或補角）.設AB=6,則

CM=EF=3娓,PM=-PB=342,CN=2PN=46,

2

MN=VPM2+PN2-2PM-PNcosZMPN="，故cosZCMN=""一*=1

2X3V6XV63

【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)的運算，考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

設原來的光線強度為a(a>0),則要想通過〃塊這樣的玻璃之后的光線強度

6zx（90%）n<^a,即09'，即lg0.9n<lg^-,即

-21g5_-2（l-lg2）_-2+2x0.3

?30.4,故至少要通過31塊這樣的玻璃，才能

21g3-1-21g3-1-2x0.477-1

使光線強度減弱到原來的以下.

25

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

2sin[2x+—,2k兀----WxW2&萬H—,

3J22

f（x）=2sia￥|cosx|+>/3cos2x=<畫出/(%)

（八左、冗八，3九

-2sin2x,2kTV4—<x<2kjtd----,

I3j22

的圖象，如圖所示,

由/(x)的圖象可知/(x)的最小正周期為2〃，則A錯誤./(x)的圖象關于直線

x=br+^UeZ)對稱，則B錯誤./(x)在［0,2同上有6個極值點，則C錯誤.當

XG■，當時，cosx>0,則/(%)=2sinf2x+y'j.令

■rr77r

解得k兀+一<x<k7r+——（keZ）.因為

1212v）

2k7T--<x<2k7r+—(%eZ),所以2k兀+2-&x<2k7V+—(kwZ).當攵=1時，

22'，122V'

25%5^rrj-..,137r5萬,25乃5萬、+13萬5%..、可、當、斗

——<x<—.因為—r,——D——,一，所以/(x)在—上單倜遞臧，則

122|_62」|_122」L62

D正確.

【解析】本題考查平面向量，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由題意可得A8=(l,2),fiC=(l,-3),AC=(2,-1),AD=(—2,T),BD=(-3,-6),

則AB=—2AO,卜耳=卜。卜行，ACBD=0,故A,B,C正確，D錯誤.

【解析】本題考查不等式，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為a〉0,b>0,且a+2/?=l,所以2缶^《1,即abW1，則A正確；

8

當a=L,〃時，2a+0=3>,，則B錯誤；

2442

>

l+_=（a+2Mf-+-|=—+—+5>9,當且僅當4時，等號成立，貝IJC正

abyab）ab3

確；

因為且。+2Z;=1,所以OCQVLO<Z?<1,所以log/>0,則D正確.

【解析】本題考查多面體外接球，考查直觀想象的核心素養(yǎng).

如圖，補全長方體A3C￡>-AB|GA?由題中數(shù)據(jù)可知4左=1+（/一1『=4一2正，則

A4,=^7-（4-2V2）=V2+l,故A正確.

因為AB=2,AE=y/l,所以aABE的面積R=,x2xJ7=T=逐，則十面體

2

ABCO-EFGH的表面積S=8#+8,故B正確.

因為十面體ABC。一瓦GH由長方體A5CZ）—4gG。的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得

到，所以長方體ABC。-4用GA的外接球就是十面體ABCD-EFGH的外接球.設十面

體ABCD-EFGH外接球的半徑為R,則R2=-'+,則十面體ABCD-EFGH外

4

接球的表面積是4萬穴2=（11+2夜,，故D正確.

,，所以=《=叵，所以產(chǎn)

因為AE=BE=&sin/84E9BE49

幣72sinN84E24

則十面體ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距離是

111+2y/249_117+12^2_1（3+2&）_3指+4#

V-424-V-24--V24一12故C錯誤.

【解析】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

因為/(3)=—3,且g(x)+/(x+2)=3,所以g(l)+/(3)=3,所以g(l)=6,則A正

確.因為y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱，所以“x)=/(2-x),所以

/(x+2)=/(—x).因為/(x)—g(2—x)=—5,所以/(2—x)—g(2—x)=—5,所以

f(-x)-g(-x)=-5.因為g(x)+/(x+2)=3,所以g(x)+f(-x)=3,所以

g(x)+g(—x)=8,則g(x)的圖象關于(0,4)對稱，且g(O)=4,故B正確.因為

/(x)—g(2-x)=-5,所以/(-x)—g(x+2)=-5,所以g(x)+g(x+2)=8,所以

g(x+2)+g(x+4)=8,貝Ug(x)=g(x+4),即g(x)的周期為4,故C錯誤.因為

〃3)=-3,且g(x)+〃x+2)=3,所以g(l)=6.因為g(x)+g(x+2)=8,所以

g⑶=2.因為g(O)=4,所以g⑵=4,則

22

>⑻=5[g(l)+g⑵+g⑶+g(4)]+g(l)+g⑵=5x16+10=90,故D正確.

k=\

【解析】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

由題意可得5=2,解得〃=4.

2、,2

AV.

14.-----=1(答案不唯一)【解析】本題考查雙曲線，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

412

72

滿型口足犬一—yr1即可.

a~3。~

15.—【解析】本題考查概率，考查分類討論的數(shù)學思想.

25

空^+C；.A；=150種,

甲、乙等五人參加跳高、跳遠、50米短跑這三個項目的情況有

2)

其中符合條件的情況有(c；+C；)A；=36種，故所求概率P=卷=卷.

16.(^O,-2)U(2,4W)【解析】本題考查導數(shù)的運用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

設g(x)=(x),則g'(x)=2xf(x)+x2f\x).當x>°時,因為礦(x)+2/(x)>0,

所以g'(x)〉0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.因為是奇函數(shù)，所以

/(-x)=-/(x),所以g(—x)=(—X)=r2/(x)=_g(x),則g(x)是奇函數(shù).

x3/(x)>0,即xg(x)>0.因為/(2)=(),所以g(—2)=—g(2)=0,則xg(x)>0等價

x>0,x<0,

于，或,解得％<—2或x>2.

g(x)>0-1g(x)<0,

a,+2d=10,

17.解：(1)設數(shù)列｛凡｝的公差為d,由題意可得，2/、即

(%+3d)~=(4+d)(q+6d),

%+2d=10,

3屋一3qd=0,

,,八n(n-\\d

因為dwO,所以4=6,4=2,則S〃=??n2+5n.

(2)由(1)可知a=

11、

則(=4+4+-+b?

〃+2n+3>

(12n

故駕=2一—

"(3〃+33〃+9

評分細則：

(1)第一問中，也可以將為，4，%用％和。表示，從而求出d，再根據(jù)前〃項和公式

求出S.；

22

(2)第二問中求出7；=§一宗與不扣分;

（3）若用其他解法，參照評分標準按步驟給分.

18.解：（1）由題意可知某顧客抽獎一次，積分為3分的頻率是色=1，則估計某顧客抽獎

305

一次，積分為3分的概率為

5

93

某顧客抽獎一次，積分為2分的頻率是二=±,則估計某顧客抽獎一次，積分為2分的概

3010

3

率為一■

10

（2）由題意可知X的可能取值為4,5,6,7,8.

P（X=8）

亡。29

P（X=7）=2x*lq

Jo

Cj+C：C；5=42

P（X=6）

「145

唳=5）=罟嚏

則X的分布列為

X87654

7942181

D

r

292914514529

,,_/079,42181.

故E（X）=8x----F7x----F6x-------K5x-----F4x—6.6.

v7292914514529

評分細則：

（1）第一問中，直接求出概率，不予扣分；

（2）第二問中，得到隨機變量X的所有取值得1分，每求出一個X取值的概率得1分,

只求出尸（乂,）?=4,5,6,7,8）的值，沒有列出表格，不予扣分；

（3）若用其他解法，參照評分標準按步驟給分.

AAA

19.解:（1）因為cosA+cos—=0,所以2cos2—+cos-----1=0,

222

2cos--1||cos—+1|=0,解得cos"=，或cos4=-l（舍去）.

I2A2J222

m且A?]A7t..2〃

因為一￡0M,一,所rri以sl一=一,則n4=—.

2t2j233

（2）設￡>8=x,EC=y,則c=3x,b=5y,

在△ABC中，由余弦定理可得儲=（3x）2+（5y）2-2.3x-5.y-cosA,

即9/+25^+15孫=49,①

在AADE中，由余弦定理可得。爐=(2x)2+(4y『-2?2x?4y?cosA,

即x2+4y2+2孫=7,②

聯(lián)立①②，解得x=l,y=l,則c=3,0=5.

故△ABC的面積為L/jcsinA=@叵.

24

評分細則：

(1)第一問中，求出cos4=L,得3分，沒有說明直接得到4=工，不

予扣分；

(2)第二問中求出匕，C的值得4分；

(3)若用其他解法，參照評分標準按步驟給分.

20.(1)證明：由正三棱柱的性質(zhì)，易證則NBCE=NCG。.

因為NCGO+NGOC=90，所以NBCE+NGOC=90,即CEJ_G。.

因為AB=AC,。是棱BC的中點，所以A￡>_LBC.

由正三棱柱的定義可知CG1平面ABC,則eg1AD.

因為8C,CQu平面BCG4,且BCcCC|=C,所以AD,平面8CC4.

因為CEu平面BCG4,所以4JLCE.

因為A。，￡Du平面AG。，且ADcGO=。，所以CE_L平面AQ。.、

因為CEu平面4CE，所以平面AG。，平面4CE.

(2)解：取B|G的中點尸，連接。歹.易證D4,DC,OE兩兩垂直，故以。為坐標原

點，分別以。C,

DA,。產(chǎn)的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系.

設AB=2,則A（0,G,0）,A（°，百，2），C（l,0,0）,E（-l,0,l）

故C4=（-1,30）,C￡=（-2,0,1）,C4=（-1,73,2）.

設平面ACE的法向量為〃=（玉,%,zJ,

則/.CA=f+Gx=0,令與=￡,得”=（后1,2網(wǎng).

nCE--2x]+Z]=0,

設平面\CE的法向量為加=（%,%，Z2），

m-CA=一%+6%+2z,=0,//-\

則1222令w=l，得加二（L一石,2）.

mCE--2X2+z2=0,'，

設平面ACE與平面ACE的夾角為夕，

八?/|m-n|47376

則cos，=|cos〈〃?,n）\=n--=-,——/=——.

?'〃H|/?|71+3+4x73+1+124

評分細則:

（1）第一問中，也可以以。為坐標原點，分別以OC,DA,。尸的方向為x,y,Z軸

的正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面AG。和平面的法向量a，b,由

a-b^O,得到平面AG。J_平面4CE；

（2）第二問中，也可以先找出平面ACE和平面AtCE的夾角0,再通過余弦定理求出cos6＞；

（3）若用其他解法，參照評分標準按步驟給分.

\c_41

~a~~,

21.解：（1）由題意可得卜=2,解得/=8,b2=4.

c2^a2-b2,

22

故橢圓C的標準方程為—+^-=1.

84

⑵設4（石,兇）,3（馬,％）,

y=kx+m,

2

聯(lián)立4%y2整理得

---1--—-1,

184

4km2〃/-8

XX

則X]+x2―9——，\2

2尸+12r+1

設直線4P,BP的斜率分別是勺，k2,

2km（m-\\

因為％+Z,=0,所以2%----J——^=0,解得加=4,

m--4

則

4.+[）（4左26）

2x16-8

|AB|="2+11%-々I=JK+1-