2023-2024學(xué)年河北省衡水市高一年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省衡水市高一下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={-2,2},8={x|丁-5%一機=0}.若AcB={2},則8=（）

A.{-2,3}B.{2}C.{-2,2}D.{2,3}

【正確答案】D

【分析】由2e8得出加=-6,進而得出集合B.

【詳解】因為Ac8={2},所以2c3,4-10=0,m=-6.

則3={HX2-5X+6=0}={2,3}.

故選：D

2.命題“存在實數(shù)加，使關(guān)于x的方程丁-2,加+3=0有實數(shù)根'’的否定是（）

A.存在實數(shù)機，使關(guān)于x的方程/一2,總+3=0無實數(shù)根

B.對任意實數(shù)機，都能使關(guān)于x的方程/一23+3=0有實數(shù)根

C.不存在實數(shù)加，使關(guān)于x的方程f-2皿+3=0有實數(shù)根

D.至多有一個實數(shù)山，使關(guān)于x的方程2皿+3=（）有實數(shù)根

【正確答案】C

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項.

【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

所以命題的否定是“對任意的實數(shù)，”,都能使關(guān)于x的方程2皿+3=0無實數(shù)根

等價的命題是“不存在實數(shù)〃?，使關(guān)于x的方程V-2,加+3=0有實數(shù)根”

故選：C

3.近年來，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥”問月……中國航天碩果累累,令

國人備感自豪.這些航天器的發(fā)射中，都遵循“理想速度方程“：v=vln—,其中v是理想速

（1m

度（單位：m/s）,%是燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度（單位：m/s）,M是火箭起飛時的總質(zhì)

量（單位：kg）,是火箭自身的質(zhì)量（單位：kg）.小婷同學(xué)所在社團向有關(guān)部門申請，準

備制作一個試驗火箭，得到批準后，她們利用的某民用燃料燃燒時產(chǎn)生的噴氣速度為50m/s,

火箭自身的質(zhì)量為4kg,燃料的質(zhì)量為5kg,在不計空氣阻力等因素影響的理想狀態(tài)下發(fā)射,

至燃料燃盡時，該試驗火箭的理想速度大約為()ln2?0.7ln3?l.l

A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題中條件確定M=4+5=9kg,6=4kg,%=50m/s,按公式直接運算即可.

【詳解】解：由于u=%ln—,其中例=4+5=9kg,〃z=4kg,v=50m/s,

m0

4+5

J9fWv=50xln^-=50x(ln9-ln4)=50x2(ln3-ln2)?100x(1.1-0.7)=40(m/s).

故選：A.

4.己知a為第一象限角，cos(a+10)=g,則tan07O-a)=()

A.-2A/2B.2A/2C.-夜D.五

【正確答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】由a為第一象限角，cos(a+10)=1,得sin(a+")=Jl-cos^a+lO。)=半,

sin(a+10。)

故tan(a+10。)==272,故

cos(a+10。)

tan(170-a)=tan[180-(a+10)]=-tan(a+10)=-2^2.

故選：A.

5.不論。力取何值，函數(shù)〃力=。1"+33>0且〃Hi),g(x)=iog/+M>>0且"1)的圖象

都必經(jīng)過同一個定點尸，則加+〃=()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

【分析】根據(jù)指，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求定點。的坐標，即可求解.

【詳解】函數(shù)/(力恒過定點(皿4),函數(shù)g(x)恒過定點由條件可知，

相=1,〃=4,m+n=5.

故選：D

6.己知函數(shù)〃x)=F),函數(shù)g(x)與“X)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，則

r(x)—/(x)+g⑼1的解集為()

A.{xlx>-log321B.{J:Ix<-log32)

C.{x|x>log32}D.{x|x<log32)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)對稱性先求出g(x)的解析式，再根據(jù)單調(diào)性和一元二次不等式的解法求解不

等式/㈤一/(x)+g(9)N0.

【詳解】由于g(x)與/(x)關(guān)于y=x對稱，所以g(x)是/(X)的反函數(shù)，即

g(x)=logiX

-2,原不等式即為1m_2NO,

g(9)=bg19=log1

33

令t=,則f>0,得產(chǎn)—f-2N(),(f-2)(f+l)2(V」N2或.4-1(舍)，

3-x>2,-X>log,2,x<-log,2；

故選：B.

7.已知函數(shù)f(x)=cos(s+^)(0>O)的最小正周期為4萬，則下面結(jié)論正確的是

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,0上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,萬)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線》=與對稱

27r

D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(彳,0)對稱

【正確答案】C

【分析】/(x)最小正周期為紅，可求得函數(shù)解析式；再依次將四個選項代入/(x),與cosx

CO

進行對比，得到正確結(jié)果.

【詳解】由題意知：紅=4萬=0=1

co2

???〃x)=cos(gx+5

A選項和8選項：當X￡(o㈤時，+當;x+,時，“X)單

調(diào)遞減；+（乃，號）時，f（x）單調(diào)遞增.因此，A和B都錯誤；

C選項：x=■時，~2.X~^~3~=；%="是cosx的對稱軸，則K=-^■■是/（x）的對稱軸.因

此，C正確；

27r

。選項：由C可知，x=q"是對稱軸的位置，則必不是對稱中心.￡）錯誤.

本題正確選項：C

本題考查'=48$（，/+9）的圖像與性質(zhì)，處理此類問題的關(guān)鍵是采用整體代入的方式，將

X范圍代入函數(shù)，得到5+9整體所處的范圍，進而與CO“圖像相對應(yīng)，確定最終結(jié)果.

8.設(shè)/（x）=a1+lnW，則（）

A./（503）＞/（-^）＞/（0.35）

B./（-75）＞/（0.35）＞/（5°3）

C./（0.35）＞/（50，）＞/（-^5）

D./（-75）＞/（5,U）＞/（0.35）

【正確答案】D

【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)比較大小，即可求解.

【詳解】〃力=陰+1小|的定義域為（y,O）U（O,E）,

且/（T）=/（X）,所以函數(shù)是偶函數(shù)，當x＞0時，/（x）=e'+lnx單調(diào)遞增，

也=空,0＜0.35＜1＜503＜52）

是偶函數(shù)，所以/卜石）=/（石），

〃x）在（0,+8）上遞增，

所以75己＞/（503）＞/（0.35）.

\/

即止灼＞/（503）＞/（0.35）.

故選：D

二、多選題

9.對任意實數(shù)。涉,。，給出下列命題，其中假命題是()

A.“。=人”是“ac=5c”的充要條件

B."a<5”是“。<3”的必要條件

C.是“/>小，的充分條件

D.“a+5是無理數(shù)”是是無理數(shù)”的充要條件

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)充分必有條件的定義逐項分析.

【詳解】對于A,如果a=A，則必定有ac=Ac，是充分條件，如果ac=Ac,則c(a-b)=O,

得c=0或a=8,

不是必要條件，所以是"ac=6c”的充分不必要條件，錯誤；

對于B,如果a<3,必定有a<5,是必要條件，正確；

對于C,如果。>力，比如〃=—1/=-2,(_1)2<(-2)2,不能推出標>加，不是充分條

件，錯誤；

對于D,因為有理數(shù)+無理數(shù)=無理數(shù)，有理數(shù)+有理數(shù)=有理數(shù)，5是有理數(shù)，

所以“a+5是無理數(shù)”必定有a是無理數(shù)，是充分條件，如果Z是無理數(shù)”則“a+5也是無理數(shù)”,

是必要條件，

所以％+5是無理數(shù)”是、是無理數(shù)”的充要條件，正確；

故選：AC.

10.設(shè)。泊為正實數(shù)，則下列命題錯誤的是()

A.若°2-從=],則a-A<l

B.若!-1=1,則4一。<1

ba

C.若出一閩=1,則|q_4Vl

D.若時41,小區(qū)1,則卜-闿印-幽

【正確答案】BCD

【分析】對已知等式分解因式，可判斷選項A；舉反例可判斷選項B和C；根據(jù)作差法以及

a,。的范圍，可判斷選項D.

【詳解】對于A,若。2—從4，則(a+b)(?！?=1>0,

又。>0,b>0,所以a+b>a-Z?>(),

所以(〃一6)2<(〃+b)(a-b)=l,

故0V正確；

對于B,y--=l,取。=7/=/，貝必―方>1,錯誤；

ba8

對于C,|&-四|=1,取”9,6=4,則,-6|=5>1,錯誤；

對于D,-(l-abj=a2+。2-1-4%2=(/-1)(1-加)40,.?14-6閆1一/，錯誤;

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=lg(xT)+lg(3—x),則()

A.“X)在(1,3)單調(diào)遞增

B./(x)在(1,2)單調(diào)遞增，在(2,3)單調(diào)遞減

C.“X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

D.函數(shù)/(x)的最小值為0

【正確答案】BC

【分析】由對數(shù)性質(zhì)求函數(shù)定義域，再根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷復(fù)合函數(shù)的單

調(diào)性并判斷最值情況，判斷/(4-%),/(%)是否相等判斷對稱性.

【詳解】由題設(shè)、C，故1<X<3,其定義域為(1,3),

[3-x>0

令1=。一1)(3-幻=一(％-2)2+1,而gQ)=lg，遞增，

又y=-(x-2『+l在(1,2)上遞增，在(2,3)上遞減，

故/(x)在(1,2)上遞增，在(2,3)上遞減，且最大值為/(2)=0,無最小值，

所以A、D錯誤，B正確；

/(4-x)=lg(3-x)+lg(x-1)=/(x),則〃x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，C正確.

故選：BC

12.下列計算或化簡結(jié)果正確的是()

A.若sin，.cos9=Ltan0+^^=2

2sin，

什12siar.

B.右tanx=—,貝(J-------------=2

2cosx-sinx

若sina=^^,貝ijtana=2

C.

5

cosasincr

D.若a為第二象限角,則后忑十七忑=0

【正確答案】ABD

【分析】運用三角函數(shù)的定義和同角關(guān)系逐項分析.

-M.-r*八cos。sin。cosdsin26>+cos27r-十

【詳解】對于A,tan0+------=-------+-------=-------------------=2，正確;

sindcos。sin。sin6cos6

1

2sinx2X

21

2sinxcosx_2tan/

對于B,=2,正確;

cosx-sinxsinx1-tanx,1

i—

cosx2

對于C,sina=^~~^~,cosa=±Jl-sin2a=±—^~,tana=‘由。=±2,錯誤;

55cosa

cosa+sinacosasina

對于D,+-=--°---,正確;

Vl-sin2aJl-cos2a-cosasina

故選：ABD.

三、填空題

,47r2545萬

13.sin-----cos-------tan——=

346

【正確答案】孝

【分析】運用誘導(dǎo)公式計算.

?、45、.4兀25兀5n.(兀、(._(n

【詳]sin—?cos-----?tan—=sin兀H—?cos3x2JTH—卜tan|?！?/p>

346I3)[4}[6

.兀71(汽、6及(百〕夜

-sm—.cos—?-tan—------X-------X----------=----------

3416；22[3)4

故也.

4

14.已知1.8V=3,y=log。23,則^一；=，

【正確答案】2

【分析】運用換底公式計算.

【詳解】由題意：=logi.8=l0§31-8,-=log0.2,

工題盤y3

111Q

----=log31.8-log,0.2=log3—=log,9=2；

xy0.2

故2.

15.直線y與函數(shù)，(x)=tan(25+V(0>0)的圖像的相鄰兩個交點的距離為環(huán)若

/(x)在eN")上單調(diào)遞增，則m的最大值為.

【正確答案】1

【分析】利用三角函數(shù)的圖像的周期性質(zhì)，求出。，得到/(x)=tan(x+?J,進而求出尤的

范圍，進而可求出機的范圍.

]TT

【詳解】因為直線八萬與函數(shù)/⑺的圖像的相鄰兩個交點的距離為一個周期，..?五”,

,二/(x)=tan(x+27TTT7T

/.CD=—.由ATT---<X4■一<k7t-\——(kwZ),得

2262

24幾2萬7T

k;r--<x<k;r+—(keZ),，./'(x)在上單調(diào)遞增，故(一見⑼口5,解

33TT

TT

得又zweN”,二，"的最大值為1.

故1

四、雙空題

16.已知函數(shù)若關(guān)于*的方程/(》)=加恰有3個不相等的實數(shù)

根，則實數(shù)機的取值范圍是;若三個不相等的實數(shù)根分別為冷格與，則x,+x2+x3

的取值范圍是.

【正確答案】卜3,1)-日「2)

【分析】作出函數(shù)y=.f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為交點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；

結(jié)合函數(shù)的對稱性，得%+々=-4,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求當?shù)娜≈捣秶?，即可求?/p>

%+々+彳3的取值范圍.

【詳解】作出函數(shù)y=/(x)的圖象及直線y=〃?，如圖,

而曲線y=/（x）與直線）=機交點的橫坐標即為方程/（x）=加的解,

所以方程/（力=加恰有3個不等實根，實數(shù)小的取值范圍是［-3,1）；

如圖，三個交點的橫坐標分別為X|,*2,七，且玉<々<*3，

由對稱性可知，%+々=-4,

對于函數(shù)y=log?x,當yw［—3,l］時，xe）,2

|_O

所以鼻eI'2）'即玉+'2+F的取值范圍是一茅地

故［T1）；卷，-2）

五、解答題

17.

⑴設(shè)全集為R，A=?-*<g｝,8=W+3x+2>0｝且解集為｛xl求

4（AuB）；

⑵求關(guān)于x的不等式以2+3x+2>-or-l（其中a>0）的解集.

【正確答案】（i）a（AuB）=（-8,-；）3i，+8）；

（2）答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)條件先求出mb,再根據(jù)交并補的定義求解;

（2）根據(jù)一元二次不等式的解法求解.

【詳解】(1)因為集合8的解集是e,1),所以x=l是方程/+3x+2=0的一個根，即

4+3+2=0,。=-5,

22

代入上方程得：-5f+3x+2=0,(-x+l)(5x+2)=0,々=-彳，--~~~~,

3

(2)加+3工+2>-辦-1,加+(3+a)x+3>0,(x+l)(or+3)X),a>0,.\——<0,

當0<”3時，-1<-1,原不等式的解集為xe(-8,-3j(-1,+8).

當〃=3時，-±=-1,原不等式的解集為xe(3,—l)(-1,+w)；

當a>3時，-->-1,原不等式的解集為xe(y,-l)；

18.已知函數(shù)f(x)=sin(的+9)(。>0,0<。<乃)的最小正周期為萬，且其圖象關(guān)于直線

x=9對稱.

O

(1)求0和8的值；

(2)若/礙-')=1,a為銳角，求cos(c-3m的值.

7T4

【正確答案】(1)切=2,(p=--,(2)--

65

【分析】(1)由函數(shù)圖象上相鄰兩個最高點的距離為萬，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得

解最小正周期，利用周期公式求。，根據(jù)對稱軸可求夕(2)由(1)可得/")的解析式，根

據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式即可求值.

【詳解】(1)—=T=7t,

CO

CD—2,

A冗萬，

2x—+^7=—+K7T,

:.(p=—+k7T,kwZ,

6

又0<。<萬，

-兀

(2)./(x)=sin2xH--

6

3

z=-

5

Q。是銳角，

4

.二cosa=一,

5

.?.cos（?-3,）=-cosa=--.

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.

19.已知基函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4,；）

（1）求此函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在（0,+8）上的單調(diào)性；

⑶判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明.

【正確答案】（l）〃x）=；3

⑵/（x）在（0,+"）上的單調(diào)遞減

（3）/（同為非奇非偶函數(shù)，證明見解析

【分析】（1）令/（x）=x",將所過點坐標代入求參數(shù)，即得解析式；

（2）令占>工2>0判斷/（百）-/（々）的符號即可得單調(diào)性；

（3）由解析式確定函數(shù)定義域xw（0,+00）,結(jié)合奇偶性定義即可證奇偶性.

【詳解】⑴令八x）=x",且過（4劣，故4"=g,可得“=-；,

所以f（x）=x2,

（2）令西〉/〉。，則f（石）一/（占）=~'=,

而嘉-嘉<0，\[^>0，故/（百）-/（X2）<。，即/區(qū)）</（工2），

所以/（“在（。，+?）上的單調(diào)遞減.

（3）/（X）為非奇非偶函數(shù)，證明如下:

由(1)知：X€(0,+8),即定義域不關(guān)于原點對稱,

所以/(x)為非奇非偶函數(shù)，.

./、(5)

sm(-a)cos一冗+a

20.已知函數(shù)〃a)=―不-1--------.

cosl--+crltan(-^+tz)

⑴化簡)(。)；

⑵若角a終邊有一點P(w,@,且cosa=g,求小的值;

⑶求函數(shù)g(x)=2尸(x)+/(—^+x)+2在0段的值域.

【正確答案】(l)cosa

(2)1

,,33

(3)3,—

O

【分析】(1)運用誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系化簡;

(2)先判斷點P所在的象限，再求機的值;

(3)對g(x)作恒等變換，再根據(jù)單調(diào)性求值域;

|c兀

sin(-cr)cos-sina?cos2兀+—+。

【2

【詳解】(1)/(?)=

cos」+atan(-71+a)i)]

I2

-sinacos兀+a

(2_一sina?(-sina)_sin2a

=cosa

sina

tan(兀-a)]sinatanasin-------

cosa

(2)p(m,G),V3>0，所以點p在第一或第二象限，又cosa=g>0,所以a在第

一象限，〃?x),

m1?

cos6Z=.==—,m=\.

4^32'

(3)g(x)=2f2(x)+f\-^+x\+22=cos2x+cos--+x+2

I2J

22(1Y33

2cos~x+sinx+2=-2sinx+sinx+4=-2sinx——+—

I4j8

當xw0,1時，sinXG[0,1],令，=sinx,則/w[0,l],

g(x)=—2。-2丫+生，當r=!時，取得最大值=?,當f=l時取得最小值=3,

'JI4)848

「33-

所以g(x)的值域是3,十；

_O_

「33-

綜上，(1)/(a)=cos?,(2)m=\,(3)g(x)的值域是3,—.

_O_

21.某地為響應(yīng)他關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程.為加強污染治理,

某工廠產(chǎn)生的廢氣需經(jīng)過過濾后排放，已知在過濾過程中廢氣中的污染物濃度P(單位：

mg/L)與過濾時間？(單位：h)之間的函數(shù)關(guān)系式為P=4e-"(4為初始濃度，k,凡均

為正常數(shù)).假設(shè)過濾過程中廢氣的體積不變.

(1)若Z=lng,求過濾2h后污染物的濃度與初始濃度的比值是多少；

(2)若排放時污染物的濃度不超過初始濃度的4%,前4h的過濾過程中污染物已經(jīng)被過濾掉

了80%,求至少還需要過濾多少小時才能排放.

【正確答案】(1)葛

(2)4(h)

【分析】(1)根據(jù)題意將G=ln2,f=2代入計算即可得到污染物的濃度與初始濃度的比值;

(2)由前4h消除了80%的污染物，可得0.2=eT*,再根據(jù)污染物的濃度不超過初始濃度

的4%求得處理的總時間，可得結(jié)果.