天津市武清區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

天津市武清區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期

H月期中數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.

1.直線后一,一2=0的傾斜角為()

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】底-y-2=0的斜率為若，設(shè)傾斜角為ae[0,7i),

則tana=6，故cz=60°.

故選：B

2.已知空間向量a=(3,—3,2),〃=(2,0,—3),c=(—6,6,—4),則下列結(jié)論正確的是

()

A.aLb.aI/cB.aLb.aLc

C.aI/b,a//cD.aIlb,aLc

【答案】A

【解析】由題意可知〃=3x2+(-3)x0+2x(-3)=0=>a_Lb,c=-2a，alIC.

故選：A

3.圓2%—5=0的圓心和半徑分別為()

A.(1,0),2B.(1,0),46

C.(-1,0),2D.(-l,0),5/6

【答案】B

【解析】由/+產(chǎn)一2%-5=0可得，(％一1)2+丁=6,

所以圓心為(1,0),半徑為JS，

故選:B.

4.如圖，在平行六面體ABC?！?4GR中，若5D]=xA3+yAO+zAA，則

(x,y,z)=()

A.(-1,1,1)B.(1-1,1)

c.(LL-1)D.(-1,-1,-1)

【答案】A

【解析】BH=BBI+BR,又因班廣招，BR=BD=AD—AB,

BD]=AAl-^AD-AB=xAB-hyAD^-zAAi,

x=-ly=1,z=1,

故選：A.

5.已知直線過點(diǎn)(2,1),且橫截距〃、縱截距方滿足。=2匕，則該直線的方程為()

A.2x+y-5=0B.x+2y-4=0

C.x-2y=0或x+2y-4=0D.x-2y=0或2x+y-5=0

【答案】C

【解析】當(dāng)截距為。時(shí)，設(shè)直線的方程為：y=kx,

因?yàn)橹本€過點(diǎn)(2,1),所以1=2左，即4=工，則直線方程為：y=-x；

22

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為二+二=1,

2aa

因?yàn)橹本€過點(diǎn)(2,1),所以2+工=1,則。=2,

2aa

所以直線方程為:+V=1,即x+2y_4=0,

綜上：直線的方程為：x-2y=0或x+2y-4=0,

故選：C

6.已知向量空間。=(1,一1,一2)1=(0,l/),c=(2,0,0),若共面，則實(shí)數(shù)x等于

()

A.2B.-2C.2或—2D.2或0

【答案】A

【解析】若〃必，＜?共面，則a=mb+nc，

,1

1=0+2〃n=2

所以＜-1=加+0,解得＜根二一1.

-2=mx+0x=2

故選：A

7.若直線/與直線x+2尸0垂直，且與圓(尤―3p+y2=5相切，則/的方程為()

A.x+2y-8=0B.x+2y+2=0

C.2x-y-l=0D.2x-y-10=0

【答案】C

【解析】因?yàn)橹本€/與直線x+2y=0垂直,

所以可設(shè)直線/方程為2x—y+C=O,

因?yàn)橹本€/與(％-3)2+y2=5相切，

|2x3-0+C|

則有產(chǎn)="r，即c=—i或—n,

所以直線方程為2x—y—1=0或2x—y—n=0,

故選：C.

8.已知兩點(diǎn)A(—1,2),8(3,1),直線/:公―y—a—1=0與線段A3有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

D.[1,+℃)

【答案】D

【解析】直線/可化為a(x—1)—(y+l)=0,

%-1=0X—1/、

由＜.C可得，＜所以直線/恒過點(diǎn)C。,—1).

[y+l=0

_-1-2_3-i-i

=1-(-1)="2'嚷=丁7=1，

如圖可知，直線4的傾斜角。介于直線傾斜角與直線AC的傾斜角之間.

JT

所以當(dāng)。＜5時(shí)，有^BC~1；

TT3

當(dāng)5＜。＜兀時(shí)，有勺＜kAC=~~.

又直線/:依一丁一々一1=。的斜率為〃=勺，

一、3

所以，或—.

2

故選：D.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓G:(x—l)?+(y—4)2=/(廠＞0)上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)p

關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱點(diǎn)。在圓。2：/+(丁+4)2=9上，則/?的取值范圍是

()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(2,8)D.[2,8]

【答案】D

【解析】G：(X—+(y—4)2=r2圓心坐標(biāo)q(l,4),

設(shè)(1,4)關(guān)于直線x+y—1=0的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b),

a+1Z7+41八

----+------1=0c

22ra--3

由7,，可得7八，

b-4b-Q

----二Ii

、。一I

所以圓G：(X-l『+(y—4)2=/關(guān)于直線x+y—1=0對(duì)稱圓的方程為

222

Co:(x+3)+y=r,

則條件等價(jià)為：Co：(尤+3)2+y2=/與+(y+4『=9有交點(diǎn)即可，

兩圓圓心為q(—3,0),G(0,T),半徑分別為乙3,

則圓心距|孰。2|=J(-3-0)2+(0+4)2=5,

則有卜-3|W+3,

由上一3歸5得一2WrW8,由廠+325得讓2，

綜上：2WrW8,

所以廠的取值范圍是[2,8],

故選：D.

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

10.經(jīng)過4(0,2),5(—1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為則左=.

【答案】2

【解析】由已知R4=(l,2),。㈤是直線AB的方向向量，則左=2,

故答案為：2.

11.若直線x+y-1=0是圓/+(y+a)2=i的一條對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù)”的值為

【答案】-1

【解析】圓N+(y+a)2=i的圓心為(0,_°),

由題意，直線過圓的圓心，

所以0—a—1=0,解得a=-1.

故答案為：-1

12.已知空間向量a=(-3,2,5)3=(1,3,-1),且4a—b與b相互垂直，則實(shí)數(shù)力的值為

【答案】-y

【解析】因?yàn)?a-b與b相互垂直，

所以(2a—2=2a力—d=2(—3xl+2x3+5x—1)-(1+9+1)=—22—11=0,

所以拒一二.

2

故答案為：-日

13.已知兩條平行直線2%-丁一3=0,/2：4%-沖一1=0(加6尺),則h與%間的距離為

【答案】也

2

【解析】由題意得：直線414，

直線乙可化簡(jiǎn)為：4x—2y—6=。，

所以兩平行線間的距離為：d=-^^==-^==—.

A/4*2+22V202

故答案為：好.

2

14.已知點(diǎn)P(—1,2,1),直線/過點(diǎn)A。,1,1),且/的一個(gè)方向向量為/=(0,1,—1),則點(diǎn)尸

到直線/的距離為.

【答案】孚

【解析】易知叢=(2,—1,0),所以點(diǎn)尸到直線/距離為

故答案為：m

2

15.已知直線/：7年一丁一772=0與.C:(x+1)2+丁=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足

_ABC的面積為6的實(shí)數(shù)m的一個(gè)值___________.

【答案】舊(-行立,—立任意一個(gè)也對(duì))

33

【解析】一C:(無(wú)+1)2+V=4的圓心為(—1,0),半徑為r=2，

\—m—m2m

則圓心到/:rwc-y-m=0的距離為d=/=/,

vml23+12+1

則|=2〃—/=24一屋,

故SABc=g|AB|-d=d曰二/=有，解得d=l或6，

當(dāng)［=1時(shí)，-ZhL=i,解得加=±走，

y/m2+13

l2|m|rl

當(dāng)d=A/3時(shí)，i,解得m=±6，

Vm2+1

故加=±或±yf3

故答案為：出(-"且,-走任意一個(gè)也對(duì))

33

三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知點(diǎn)4(1,0,2),5(-2,1,3)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),向量°=。4/=OA

(1)求向量a的單位向量%;

(2)求卜-2N；

(3)求cos(a/)

解：(1)由已知得：a=(1,0,2)，則卜/J1+0+4=6

a(也門20

因此”0=廠7=二，°，一；

眄I55J

(2)因?yàn)閍=(1,0,2),6=(—2,1,3),

所以a—2》=(1,0,2)-2(-2,1,3)=(5,-2,-4)，

則|2a-Z?|=J25+4+16=345.

(3)因?yàn)閍=(1,0,2),6=(—2,1,3),所以|a|=Jl+0+4=非,[b|=J4+1+9=,

,,\a-b1x(-2)+0xl+2x3_2/

貝！Icos(a,b)=----------

\/\a\-\b\V5xV1435

17.已知一ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),8(3,-3),C(0,2).

（1）求邊A3所在直線的方程；

（2）求邊A3上的高所在直線的方程.

（）

解：（1）直線AB的斜率為左=0-<-33

-5-38

3

直線AB的方程為y-0=—(x+5),

8

即3x+8y+15=0.

3

（2）由（1）知直線A5的斜率為左二—1

Q

所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率為一，

3

因?yàn)锳5上的高過點(diǎn)。（。,2）,

Q

所以A5上的高線方程為y-2=§x,

化為一般式可得：8x-3y+6=0.

18.如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面4BC,AB1BC,E,F,M分別為4P,AC,

尸8的中點(diǎn)，PA=AB^BC=1.

B

(1)求證：EF_LAM;

(2)求直線E尸與AB所成角的余弦值；

(3)求平面朋C與平面夾角的大小.

解：(1)以A為原點(diǎn)，A3為x軸，過A且與平行的直線為＞軸，AP為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則：4(0,0,0),P(0,0,l),C(l,l,0),3(1,0,0),

E[O,O，J，哈別，呢叫，

EF±AM

(2)由(1)可得：AB=(1,0,0),

EFAB2__^/3

所以:

EF^AB\3

T

所以：直線所與A5所成角的余弦值為：昱

3

⑶由(1)可得：AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為：m=(x,y,z),

m-AC=x+y=0、

則得：■,令X=l,得y=T,所以：772=(z1,—1,0),

mAP=z=0

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為：n=(a,b,t),

則得：，令Q=l,得：t=l,所以："=(1,0,1),

nPC=a+b-t=G

TT

所以：平面PAC與平面PBC夾角為：一.

3

19.已知圓C過點(diǎn)A(8,-1),且與直線/i：2x—3y+6=0相切于點(diǎn)2(3,4).

(1)求圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P(-3,0)的直線，2與圓C交于M,N兩點(diǎn)，若cOVW為直角三角形，求,2的方

程.

解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為。(。力)，又直線4與圓C相切，所以：CB",

設(shè)MB，勺分別代表直線CB，4的斜率，所以有：kCB-klt=-1,

2A-43

由題意得：k,=-,所以有：kCB=--=

13?-32

Z?-4_3

結(jié)合|C4|=|CB|,并聯(lián)立得：卜一32

[(a—8『+()+1)2=(tz-3)2+(Z^-4)2

a=5

解之得:<b=l

所以：圓的半徑廠=J(a—3y+(5-4)~=\/13>

所以：圓C的方程為：(x—5『+(y—1『=13.

(2)因?yàn)?cMN為直角三角形且|CM|=|CN|,所以WCN,

圓心C到直線4的距離：J=—r=—，

-22

易知直線4的斜率存在，記為左，又直線4過點(diǎn)p(-3,0),

設(shè)直線方程4的方程為：y=k(x+3),

即：kx-y+3k=0,

因?yàn)閳A心。(5,1)到直線12的距離為：d==2，

整理得：115左2—32左—11=0，解之得：左=—2或左=二,

523

所以直線方程4的方程為：％+5丁+3=0或11》—23丁+33=。.

20.如圖，4)//3。且40=25。，AD±CD,即//〃)且2￡6=4￡>,CD//FG且

CD=2FG,￡)GJ_平面ABC。，DA=DC=DG=2,M是AB的中點(diǎn).

(1)若DN=^DC,求證：BN//平面DMF；

3

(2)求直線EB與平面DA"所成角的正弦值；

(3)若在DG上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到平面NWF的距離為典,求DP的長(zhǎng).