2024考研數(shù)學(xué)二模擬真題答案詳解

2023年全國碩士碩士入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二真題分析

(word版)

一、選擇題：1?8小題，每題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一項符合題目規(guī)定的,

請將所選項前的字母填在答理紙指定位置上.

1-COSG八

(1))若函數(shù)F(x)=<四'在x=0處持續(xù)，貝U()

b,x<0

(A)ab=—(fi)ab=(C)ab=Q(D)ab=2

22

【答案】A

1

COSn

【解析】lim-~^=-/(x)在x=0處持續(xù)：.-^-=b=>ab=L.選A.

xfo+axQ0+ax2a2a2

(2)設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)y(x)滿足/(1)=7(-1)=1,7(0)=—1且/'。)〉0,則()

(A)jf(x)dx>Q(B)j^f(x)dx<0

(C)jf(x)dx>￡f(x)dx(D)j^f(x)dx<^f(x)dx

【答案】B

【解析】

/(x)為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時J°j(x)dx=￡f(x)dx,排除C,D.

jjf(x)dx=J](2%2—1)公=_g<0

取/（幻=2尤2—1滿足條件,則選B.

（3）設(shè)數(shù)列｛%｝收斂，則（）

當(dāng)時

(A)當(dāng)limsin七=0時，limxn=0(8)lim(x?+=0，lim=0

oon—>00n—>ooY/I—>oo

當(dāng)時,

(C)當(dāng)lim(xw+xj)=0時，limxn=0(D)lim(xn+sin%)=0limx〃=0

n—>oons

【答案】D

【解析】特值法：（A）取乙=?,有l(wèi)imsinx八二0,lim/=萬，A錯;

8n-?oo

取Z=-1，排除B,C.因此選D.

(4)微分方程的特解可設(shè)為

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2%+Csin2x)(D)Axe2x+^2X(BCOS2x+Csin2x)

【答案】A

【解析】特性方程為：4%+8=0n4,2=2±2i

/(x)=/x(i+cos2x)=e2x+e2xcos2%/.y[=Ae2x,y^=xe2x(Bcos2x+Csin2x),

故特解為：y*=V：+y；=A/*+X^2X(BCOS2X+Csin2x),選C.

(5)設(shè)/'(x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的(x,y),均有名生宜〉0,生p〉0,則

oxoy

(A)/(0,0)>/(1,1)(B)/(0,0)</(1,1)(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

【答案】C

【解析】“新\〉0,"心田<0,n于(x,y)是有關(guān)x的單調(diào)遞增函數(shù),是有關(guān)y的單調(diào)遞減函數(shù),

oxoy

因此有/(0,1)</(1,1)</(1,0),故答案選D.

(6)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實線表達(dá)甲的速度曲線丫=匕(。(單

位：m/s),虛線表達(dá)乙時速度曲線v=%?)，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3,計時開始后乙追

上甲的時刻記為"(單位：s),則()

(A)t0—10(B)15<%<20(C)t0—25(D)t0>25

【答案】B

【解析】從。到t0這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為￡°匕⑴流J：v2(t)dt,則乙要追上甲，則

0

:匕⑴―V](t)d/=10,當(dāng)"=25時滿足，故選C.

,0、

(7)設(shè)A為三階矩陣，P=(%,%,%)為可逆矩陣，使得P~'AP=1，則A(%,%，%)=()

2J

(A)%+%(B)a2+2a3(C)a?+%(D)4+2a2

【答案】B

【解析】

「0、<0、「0、

PlAP=

1^AP=P1=>A?,%，%)=(%%,%)1=%+2a3,

2J2J2J

因此B對的I。

200210100

(8)設(shè)矩陣A=021,B=020,C=020，則()

001001002

(A)A與C相似,5與C相似(B)A與C相似,3與C不相似

(C)A與C不相似,3與C相似(D)A與C不相似,3與C不相似

【答案】B

【解析】由4石—H=0可知A的特性值為2,2,1,

"100、

由于3—r(2E—A)=l,，A可相似對角化，即4~020

、002,

由口后一回=0可知B特性值為2,2,1.

由于3—r(2E—8)=2,.?.B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，A?C,但B不相似于C.

二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在管醒紙指定位置上.

(9)曲線y=x^l+arcsin—的斜漸近線方程為

【答案】y=x+2

【解析】

y2/、2

lim—=lim(l+arcsin—)=l,lim(y-=limxarcsin—=2,

x—>00%X-?00冗x-?oo'/x—>00%

/.y=x+2

(10)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程='+e確定，則咤=______

y=sinZdx

—zf=un

【答案】」

8

【解析】

dydx，dycost

——=cost,—=l+en——=----

dtdtdx1+e

(cos八

/y_11+/J__sin￡(l+d)-cos/dd2y_1

=右—dx-0+d)2=蘇仆~-8

dt

?+ooln(l+x)

(H)-dx=

o(1+x)2'

【答案】1

【解析】

[削*=1皿1+加1

1+x

ln(l+x)i^71.

+oo[

=f--------dx=1.

{(1+x)2

(12)設(shè)函數(shù)〃x,y)具有一階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且的■(x,y)=yeZx+x(l+y)e&,/(0,0)=0,則

于(x,y)=

【答案】孫e'

yyyy

(解析】f'x=ye,f'y=%(1+y)e,f(x,y)=j*yedx=xye+c(y),故

于;=xey+xyey+c\y)=xey+xyey,

因此c'(y)=O,即c(y)=C,再由/(0,0)=0,可得=盯

【答案】

【解析】

1tanx

(13)dx-______

yx

【答案】Incos1.

【解析】互換積分次序:

1tanx,

-----dx=Incos1.

yx

-41-2[1、

(14)設(shè)矩陣A=12a的一種特性向量為1則a=_____

31-1a

【答案】-1

【解析】設(shè)4二由題設(shè)知=故

1

、3

故a=-1.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字闡明、證明過程或

演算環(huán)節(jié).

(15)(本題滿分10分)求極限lim

x->0+

2

【答案】-

3

-__7=——力，令%—%=〃，則有

【解析】lim77

[y/x-t^dt=-[y[uex+udu=f\/uex+udu

JOJxJO

[X^ex+udu靖

原式二lim----7-----二lim——~~-----

%-o_x->0-

X2X2

2

(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有2階持續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex,cosx),求電

dxx=0

I答案嘲JQ啥""』),

【解析】

1=0

y=f(ex,cosx)=>y(0)=/(1,1)

=(￡e'+￡(-sinx))L=，(lDl+￡(lDO=￡(l,l)

小x=o

dy2%x2x

+/；/(—sinx)+fne(-sinx)+f22sinx+于;e-f2cosx

=工；(1,1)+R(1/)一￡(1,1)

x=Q

結(jié)論:

dy\

=￡(i,i)

亂=0

=/(1/)+而,1)一￡(i,i)

?(k

(17)(本題滿分10分)求lim￡=ln1+—

…In

【答案】-

4

【解析】

J?S4ln(1+1)=Gw+x)^=|￡ln(l+x)Jx2=1(ln(l+x)-x2|*-￡^^Jx)=1

后=]rLfb乙乙I-?4?

(18)(本題滿分10分)已知函數(shù)y(x)由方程V+y3—3x+3y—2=0確定，求y(x)的極值

【答案】極大值為y(l)=l,極小值為y(—1)=0

【解析】

兩邊求導(dǎo)得：

3必+3凸―3+3歹=0(1)

令V=0得*=土1

對(1)式兩邊有關(guān)x求導(dǎo)得6尤+6y(y'y+3y2y"+3y"=0(2)

x=l\x=-l

將％=±1代入原題給歐I等式中，得〈or\，

y=l［y=0

將x=l,y=l代入(2)得y"(l)=—l<o

將％=—Ly=O代入(2)得y"(—1)=2>0

故x=i為極大值點，y(i)=1；x=—1為極小值點，y(-i)=o

(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且/(l)>0,limJ?<0,證明:

xf0+x

(I)方程/(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一種實根；

(口)方程/(x"'(x)+(/'(x))2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不一樣實根。

【答案】

【解析】

(I)/(x)二階導(dǎo)數(shù)，/(1)>0,lim^<0

%f0+X

解：1)由于lim1里<0,根據(jù)極限的保號性得

10+X

33>0,\/%€(0?)有^^<0,即/'(x)<0

X

進(jìn)而三不€(0,3)有了(5)<0

又由于F(x)二階可導(dǎo)，因此/(x)在［0,1］上必持續(xù)

那么/(%)在［J,l］上持續(xù)，由于⑶<0,/(1)>0根據(jù)零點定理得:

至少存在一點Je3,1),使/C)=0,即得證

(II)由⑴可知〃0)=0,We(0,1),使/"0=0,令砥x)=/(x)/(x),則/(0)=/C)=0

由羅爾定理瀝e(0區(qū)),使/'(〃)=0,則F(0)=F(7)=F?=0,

對F(x)在(0,〃),(〃,J分別使用羅爾定理：

6(0,77),4且q,〃2e(0,l),〃尸％，使得尸(7)=?(V)=。，即

F'(x)=f(x)f"(jc)+(f'(x))2=0在(0,1)至少有兩個不一樣實根。

得證。

(20)(本題滿分11分)己知平面區(qū)域0={(尤,#|/+/<2?,計算二重積分口(％+1)2公辦。

D

■57r

【答案】一

4

【解析】jj(x+dxdy-jj(%2+^)d^dy=2jjx2dxdy+jjdxdy-2jjf2cos2=—

DDDD4

(21)(本題滿分11分)設(shè)y(x)是區(qū)間內(nèi)日勺可導(dǎo)函數(shù)，且y(l)=0,點P是曲線L:y=y(x)上

任意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點(0,%),法線與x軸相交于點(Xp,0),若Xp=〃，求L

上點的坐標(biāo)(尤,y)滿足aI方程。

【答案】

【解析】設(shè)p(x,y(x))的切線為F—y(x)=y'(x)(X—x),令X=0得4=y(x)—V(x)x,法線

Y-y(x)=—I(X—x)，令y=0得X.=x+y(x)y'(x)由Xp=打得丁一書/(%)=%+y/(x),即

y(%)

?+ly'(x)=』-1。令工=〃，則丁=口，按照齊次微分方程的解法不難解出

X)XX

12

—ln(w+1)+arctanu=-ln\x\+C,

x

(22)(本題滿分11分)設(shè)3階矩陣4=(%,%,4)有3個不一樣的特性值，且［3=%+2%。

(I)證明：r(A)=2

(口)若/=%+%+%，求方程組Ax=4肚I通解。

3

【答案】⑴略；(II)通解為左2+1,keR

、T,

【解析】

(I)證明：由%=%+2a2可得%+2&2-&3=0，即％,%，%線性有關(guān)，

因此，同=?4?=0,即A的特性值必有0。

又由于A有三個不一樣的特性值，則三個特性值中只有1個0,此外兩個非0.

且由于A必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為A=%

r(A)=r(A)=2

(II)由(1)r(A)=2,知3—r(A)=l,即Ac=0的基礎(chǔ)解系只有1個解向量,

由/+2a2-&3=°可得（生，&2，%）2=A2=0,則Ax=0的基礎(chǔ)解系為2

又夕=%+%+%，即（%,。2烏）1=A1,則Ax=￡的一種特解為11

綜上，—=/的通解為左2,keR

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（和々,&）=2x：-X；+竭+2%%2-8王馬+2%%3在正交變換

X=QY下的原則型4代+小￡，求a時值及一種正交矩陣Q.

J_、

瓜

2

【答案】a=2;Q=Jx=Qy一3才+6為

【解析】

/(XI，X2，￡)=XTAX,其中A=1-11

、-41a,

由于/(x15x2,x3)=X，AX經(jīng)正交變換后，得到的原則形為4靖+冬￡

21-4

故廠⑷=2=>|A|=0n1-11=0na=2,

一414

/21-4、

將a=2代入，滿足r(A)=2,因此a=2符合題意，此時A=1-11,則

「412,

2-2-14

|AE—A\=—12