高中數學同步講義（人教A版選擇性必修一）第02講 1.1.2空間向量的數量積運算（學生版）

第02講1.1.2空間向量的數量積運算課程標準學習目標①會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算.1、掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數學抽象的核心素養(yǎng)．2、掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律，提升數學抽象的核心素養(yǎng)．3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．4、能用空間向量的數量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數學運算的核心素養(yǎng).知識點01：空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）已知，則__________．【答案】【詳解】根據向量的夾角公式，，由于向量夾角的范圍是，故故答案為：知識點02：空間向量的數量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數量積是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;2、空間向量數量積的應用(1)利用公式可以解決空間中有關距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數量積的幾何意義：向量，的數量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).【即學即練2】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知在標準正交基下，向量，，，則向量在上的投影為_________.【答案】【詳解】因為向量，，，因此，，所以向量在上的投影為.故答案為：知識點03：空間向量數量積的性質（1）（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．（3）.題型01空間向量的數量積（求空間向量的數量積）【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州銅盤中學?？计谀┤鐖D所示，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（

）A． B．1 C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則______．【變式1】（2023秋·浙江紹興·高二統考期末）已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時練習）已知空間向量滿足，且與的夾角為，則__________．題型02空間向量的數量積（空間向量的數量積的最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數量的取值范圍為______．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，平面，于點，是的中點，，則的最小值為______．【變式1】（2023秋·湖北黃石·高二校聯考期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型03利用數量積求夾角【典例1】（2023春·高二課時練習）空間四邊形中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，正四面體(所有棱長均相等)的棱長為1，，，，分別是正四面體中各棱的中點，設，，，試采用向量法解決下列問題：(1)求的模長；(2)求，的夾角.【變式1】（2023·全國·高二專題練習）如圖，平行六面體中，，，與、的夾角都為求：（1）的長；

（2）與所成的角的余弦值．題型04空間向量的投影（投影向量）【典例1】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.題型05空間向量中的模（距離，長度）【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）已知正四面體的棱長為，若、分別是、的中點，則線段的長為（

）A．2 B．C． D．【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為的正方形，若，則該長方體的外接球的表面積為________；記分別是方向上的單位向量，且，，則（，為常數）的最小值為________．【變式1】（2023春·高一課時練習）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．題型06利用數量積證明垂直問題【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點.(1)用表示，并求出；(2)求證：.【典例2】（2023春·高一課時練習）如圖，棱長為的正方體中，，分別為棱和的中點，為棱的中點.求證：

(1)平面；(2)平面平面.【變式1】（2022秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學校校考期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【變式2】（2022秋·河南周口·高二?？茧A段練習）如圖，正方體的棱長為．(1)求和的夾角；(2)求證：．題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數量積最值）【典例1】（2023春·高二課時練習）已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統考期末）已知球是棱長為1的正四面體的內切球，為球的一條直徑，點為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為_______________.【變式1】（2023秋·重慶·高二校聯考期末）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點在正方體的棱上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023春·高二課時練習）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°2．（2023春·高二課時練習）平行六面體中，，，則的長為（）A．10 B． C． D．3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（

）.A． B． C． D．4．（2023秋·廣東揭陽·高二統考期末）在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定5．（2023春·高二課時練習）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（

）A． B． C．2 D．6．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統考期末）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，，則（

）

A．4 B．5 C．6 D．87．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？计谥校┰诳臻g，已知，為單位向量，且，若，，，則實數k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－38．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，分別是上的點，且.設，若，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023春·高二課時練習）已知為正方體，則下列說法正確的有（

）A．；B．；C．與的夾角為；D．在面對角線中與直線所成的角為的有8條三、填空題11．（2023秋·湖南衡陽·高二?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.12．（2023秋·山東菏澤·高二統考期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點，則______．四、解答題13．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.試確定在直線AB上的投影向量，并求.14．（2023春·高二課時練習）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．B能力提升1．（2023·全國·高一專題練習）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．1 D．02．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學?？茧A段練習）如圖已知矩形，沿對角線將折起，當二面角的余弦值為時，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．3．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設.(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.4．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·江蘇南京·高二南京市人民中學校考階段練習）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是棱的中點，點在棱上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．（多選）（2023春·高二課時練習）在三維空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：①，，且，和構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指?食指?中指的指向一致，如圖所示）；②的模（表示向量，的夾角）.在正方體中，有以下四個結論，正確的有（

）A． B．C．與共線 D．與正方體體積數值相等3．（2023春·上海楊浦·高二上