2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題第31煉 解三角形的要素含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題第31煉解三角形的要素含答案第31煉解三角形中的要素一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：（1）①此公式通過(guò)邊的大?。ń莾蛇吪c對(duì)邊）可以判斷出是鈍角還是銳角當(dāng)時(shí)，，即為銳角；當(dāng)（勾股定理）時(shí)，，即為直角；當(dāng)時(shí)，，即為鈍角②觀察到分式為齊二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和時(shí)不需要計(jì)算出的值，進(jìn)行整體代入即可3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對(duì)應(yīng)的高）（2）（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑）（4）海倫公式：（5）向量方法：（其中為邊所構(gòu)成的向量，方向任意）證明：，而坐標(biāo)表示：，則4、三角形內(nèi)角和（兩角可表示另一角）。5、確定三角形要素的條件：（1）唯一確定的三角形：①已知三邊（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三個(gè)角②已知兩邊及夾角（SAS）：可利用余弦定理求出第三邊，進(jìn)而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余兩角③兩角及一邊（AAS或ASA）：利用兩角先求出另一個(gè)角，然后利用正弦定理確定其它兩條邊（2）不唯一確定的三角形①已知三個(gè)角（AAA）：由相似三角形可知，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)。由正弦定理可得：已知三個(gè)角只能求出三邊的比例：②已知兩邊及一邊的對(duì)角（SSA）：比如已知，所確定的三角形有可能唯一，也有可能是兩個(gè)。其原因在于當(dāng)使用正弦定理求時(shí)，，而時(shí)，一個(gè)可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角（1個(gè)銳角，1個(gè)鈍角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角對(duì)大邊的特點(diǎn)，具體可參考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個(gè)數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進(jìn)行求解7、三角形的中線定理與角平分線定理（1）三角形中線定理：如圖，設(shè)為的一條中線，則（知三求一）證明：在中①②為中點(diǎn)①②可得：（2）角平分線定理：如圖，設(shè)為中的角平分線，則證明：過(guò)作∥交于為的角平分線為等腰三角形而由可得：二、典型例題：例1：（1）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則_____（2））的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則_____思路：（1）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：。由可得：，所以答案：（2）由已知求可聯(lián)想到使用正弦定理：代入可解得：，則或，由可得：，所以和均滿足條件答案：或小煉有話說(shuō)：對(duì)比（1）（2）可發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩邊及一邊的對(duì)角，滿足條件的三角形可能唯一確定，也有可能兩種情況，在判斷時(shí)可根據(jù)“大邊對(duì)大角”的原則，利用邊的大小關(guān)系判斷出角之間的大小關(guān)系，判定出所求角是否可能存在鈍角的情況。進(jìn)而確定是一個(gè)解還是兩個(gè)解。例2：在中，，若的面積等于，則邊長(zhǎng)為_(kāi)________思路：通過(guò)條件可想到利用面積與求出另一條邊，再利用余弦定理求出即可解：答案：例3：（2012課標(biāo)全國(guó)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且有（1）求（2）若，且的面積為，求（1）思路：從等式入手，觀察每一項(xiàng)關(guān)于齊次，考慮利用正弦定理邊化角：，所涉及式子與關(guān)聯(lián)較大，從而考慮換掉，展開(kāi)化簡(jiǎn)后即可求出解：即或（舍）（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面積與關(guān)于的余弦定理可列出的兩個(gè)方程，解出即可解：可解得小煉有話說(shuō)：通過(guò)第（1）問(wèn)可以看出，在遇到關(guān)于邊角的方程時(shí)，可觀察邊與角正弦中是否具備齊次的特點(diǎn)，以便于進(jìn)行邊角互化。另一方面當(dāng)角同時(shí)出現(xiàn)在方程中時(shí)，通常要從所給項(xiàng)中聯(lián)想到相關(guān)兩角和差的正余弦公式，然后選擇要消去的角例4：如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)__________思路：求的值考慮把放入到三角形中，可選的三角形有和，在中，已知條件有兩邊，但是缺少一個(gè)角（或者邊），看能否通過(guò)其它三角形求出所需要素，在中，三邊比例已知，進(jìn)而可求出，再利用補(bǔ)角關(guān)系求出，從而中已知兩邊一角，可解出解：由可設(shè)則在中，在中，由正弦定理可得：小煉有話說(shuō)：（1）在圖形中求邊或角，要把邊和角放入到三角形當(dāng)中求解，在選擇三角形時(shí)盡量選擇要素多的，并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出。（2）本題中給出了關(guān)于邊的比例，通常對(duì)于比例式可考慮引入一個(gè)字母（例如本題中的），這樣可以將比例轉(zhuǎn)化為邊的具體數(shù)值，便于計(jì)算例5：已知中，分別是角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，若的面積為，且，則等于___________思路：由已知可聯(lián)想到余弦定理關(guān)于的內(nèi)容，而，所以可以得到一個(gè)關(guān)于的式子，進(jìn)而求出解：而代入可得：答案：例6：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，則的值為.思路：已知求可以聯(lián)想到余弦定理，但要解出的值，所以尋找解出的條件，，而代入可得，再由可得，所以答案：例7：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若，且，則的值為（）A.B.C.D.思路：由可得：，從而，解得，從可聯(lián)想到余弦定理：，所以有，從而再由可得，所以的值為答案：C小煉有話說(shuō)：本題的難點(diǎn)在于公式的選擇，以及所求也會(huì)讓我們想到正弦定理。但是通過(guò)嘗試可發(fā)現(xiàn)利用角進(jìn)行計(jì)算較為復(fù)雜。所以在解三角形的題目中，條件的特征決定選擇哪種公式入手；如果所給是關(guān)于邊，角正弦的其次式，可以考慮正弦定理。如果條件中含有角的余弦，或者是邊的平方項(xiàng)，那么可考慮嘗試余弦定理。例8：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且，則（）A.B.C.D.或思路：由的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到余弦定理：，可以此為突破口，即，代入解得：，進(jìn)而求出，得到比例代入余弦定理可計(jì)算出解：由可得：，代入到可得：例9：已知的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值是（）A.B.C.D.思路：不妨考慮，將三個(gè)邊設(shè)為，則，想到正弦定理，再將利用余弦定理用邊表示，列方程解出，從而求出解：設(shè)，則代入可得：，解得：答案：A小煉有話說(shuō)：本題的特色在于如何利用“最大內(nèi)角是最小內(nèi)角2倍”這個(gè)條件，可聯(lián)想到正余弦的二倍角公式。本題采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找到聯(lián)系。如果采用余弦二倍角公式，則有，即便使用余弦定理也會(huì)導(dǎo)致方程次數(shù)過(guò)高，不利于求解。例10：在中，為邊上一點(diǎn)，，若的面積為，則_________思路：要求出，可在中求解，通過(guò)觀察條件，可從可解，解出，進(jìn)而求出，再在中解出，從而三邊齊備，利用余弦定理可求出解：同理答案：小煉有話說(shuō)：（1）本題與例4想法類(lèi)似，都是把所求要素放入到三角形中，同時(shí)要通過(guò)條件觀察哪個(gè)三角形條件比較齊備，可作為入手點(diǎn)解出其他要素（2）本題還可以利用輔助線簡(jiǎn)化運(yùn)算，作于，進(jìn)而利用在中得，再用解出進(jìn)而，則在上所以可得：，所以三、近年好題精選1、設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且，則（）A.B.C.D.2、設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且，則的值為（）A.B.C.D.3、在中，為邊上一點(diǎn)，，若，則（）A.B.C.D.4、（2015，北京）在中，，則_______5、（2015，廣東）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則_______6、（2015，福建）若銳角的面積為，且，則等于_______答案：77、（2015，天津）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，，則的值為_(kāi)________8、（2014，天津）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則的值為_(kāi)______9、（2014，山東）在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)____10、（2014，遼寧）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，已知，求：（1）的值（2）的值11、（2015，陜西）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量與平行（1）求（2）若，求的面積12、（2015，新課標(biāo)II）在中，是上的點(diǎn)，平分，的面積是面積的2倍（1）求（2）若，求的長(zhǎng)13、（2015，安徽）在中，，點(diǎn)在邊上，，求的長(zhǎng)14、(2015，江蘇）在中，已知（1）求的長(zhǎng)（2）求的值習(xí)題答案：1、答案：A解析：代入可得：2、答案：D解析：3、答案：C解析：設(shè)，則，由余弦定理可得：，代入可得：解得：4、答案：1解析：5、答案：1解析：由及可得：，從而，由正弦定理可得：，解得6、答案：7解析：由，可得：，即，再由余弦定理可計(jì)算7、答案：8解析：由余弦定理可得：8、答案：解析：由可得代入到即可得到，不妨設(shè)，則9、答案：解析：10、解析：由可得：由余弦定理可得：即解得：（2）由可得：由正弦定理可知：為銳角11、解析：（1）（2）由余弦定理可得：即12、解析：（1）（2）在中，由余弦定理可得：再由可解得：13、解析：由正弦定理可得：由可知為等腰三角形由正弦定理可得：14、解析：（1）由余弦定理可得：（2）由余弦定理可得：第32煉解三角形中的不等問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：此公式在已知的情況下，配合均值不等式可得到和的最值3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對(duì)應(yīng)的高）（2）（3）（其中為外接圓半徑）4、三角形內(nèi)角和：，從而可得到：（1）正余弦關(guān)系式：（2）在已知一角的情況下，可用另一個(gè)角表示第三個(gè)角，達(dá)到消元的目的5、兩角和差的正余弦公式：6、輔助角公式：，其中7、三角形中的不等關(guān)系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可。由于不存在等號(hào)成立的條件，在求最值時(shí)使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系：其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效。8、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過(guò)邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例題精析：例1：△各角的對(duì)應(yīng)邊分別為，滿足，則角的范圍是A． B． C． D．思路：從所給條件入手，進(jìn)行不等式化簡(jiǎn)：，觀察到余弦定理公式特征，進(jìn)而利用余弦定理表示：，可解得：答案：A例2：在中，角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求的大?。?）若，求的取值范圍 解：（1）由條件可考慮使用正弦定理，將分子進(jìn)行“邊化角”（2）思路：考慮在中，已經(jīng)已知，從而可求出外接圓半徑，進(jìn)而與也可進(jìn)行邊角互化。若從邊的角度考慮，則能夠使用的不等關(guān)系只有“兩邊之和大于第三邊”，但不易利用這個(gè)條件，考慮利用角來(lái)解決解：例3：在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角（2）求的取值范圍解：（1）方法一：使用余弦定理由余弦定理得：方法二：觀察等式齊次，考慮使用正弦定理（2）為銳角三角形小煉有話說(shuō)：要注意對(duì)銳角三角形條件的運(yùn)用：三個(gè)角均為銳角，而用代換，所以滿足銳角的條件也由來(lái)承擔(dān)，這也是在利用等式消元時(shí)所要注意的一點(diǎn)：若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。例4：在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且（1）當(dāng)時(shí)，求的值（2）若角為銳角，求的取值范圍解：（1）或（2）思路：以“角為銳角”為突破口，聯(lián)想到余弦定理，而也剛好得到與的關(guān)系式，再由可解得的范圍解：考慮余弦定理為銳角，例5：若的內(nèi)角滿足，則的最小值是思路：所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示，，考慮角化邊得到：，進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可解：由可得：答案：例6：在銳角中、的對(duì)邊長(zhǎng)分別是、,則的取值范圍是()A．B．C．D．思路：本題所給條件為角的關(guān)系，不易從邊入手，所以將所求進(jìn)行邊化角：，只需求出的范圍即可。條件所給的是關(guān)系，從而，利用減少角的個(gè)數(shù)：，代入可得：，根據(jù)銳角三角形求出的范圍即可。解：由因?yàn)闉殇J角三角形解得：答案：B小煉有話說(shuō)：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒(méi)有涉及到邊的關(guān)系，只是給了角的條件，所以?xún)?yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進(jìn)行角化邊的處理，并進(jìn)行了一個(gè)分式的常見(jiàn)變形，將變量集中在分母上。另一個(gè)就是主元的確定：本題的主元是，所以在求表達(dá)式范圍時(shí)將均用來(lái)進(jìn)行表示，以便于求得值域。例7：已知的角所對(duì)的邊分別是，且，若的外接圓半徑為，則面積的最大值為_(kāi)_________思路：由可聯(lián)想到余弦定理求，所以，從而，所求面積可表示為，則只需解出的最大值即可。由外接圓半徑及可得：，所以，而，所以有，所以答案：小煉有話說(shuō)：本題的入手點(diǎn)來(lái)自于條件中對(duì)余弦定理的暗示，從而解出，在計(jì)算面積時(shí)有三組邊角可供選擇：，通常是“依角而選”，從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項(xiàng)，再配上均值不等式往往可以找到最值。例8：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是______________思路：由成等比數(shù)列可得：，也可視為，所求表達(dá)式也可視為。如果從角入手，則無(wú)法與聯(lián)系。所以考慮從邊入手。由可得：，在中，若，則，所以，即，同理，若，則，解得：。綜上答案：例9：已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為，且BC邊上的高為，則的取值范圍為_(kāi)_____．思路：一方面由所求出發(fā)，可用均值不等式得到，驗(yàn)證時(shí)存在這樣的三角形，得到最小值；再?gòu)牧硪粋€(gè)角度入手可聯(lián)想到余弦定理，而由題目中的底和高可得，所以有：，只需求得的范圍即可，考慮，，所以，綜上：答案：小煉有話說(shuō)：（1）在解三角形中，能夠從所給式子中發(fā)現(xiàn)定理的影子，可幫助你迅速確定解題方向，本題沒(méi)有選擇邊化角，而是抓住余弦定理的影子為突破口，然后再去尋找條件能否把多余的元消去（比如本題中的），從而整理出一個(gè)可操作的表達(dá)式（2）最后運(yùn)用輔角公式時(shí)，輔助角并不是特殊角。這種情況下可用代替俯角，并用的一個(gè)三角函數(shù)值刻畫(huà)其大小。本題可通過(guò)作圖大致觀察到的范圍，從而確定的范圍能經(jīng)過(guò)，所以能夠取到例10：（2014，重慶）已知的內(nèi)角滿足，面積滿足，記分別是所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.思路：本題需判斷的式子比較多，先從條件出發(fā)向所求靠攏?；?jiǎn)已知條件可得，即，聯(lián)想到面積公式及可得：，從而可用進(jìn)行表示求出范圍，另一方面可由，利用不等式的傳遞性即可求出的范圍解：即由正弦定理可得：所以由可得：，所以均不正確正確同理，不正確三、近年好題精選1、（2016，上海十校聯(lián)考）設(shè)銳角的三內(nèi)角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.2、（2016江蘇高三第一次聯(lián)考）在中，是的中點(diǎn)，邊（含端點(diǎn)）上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是_______3、（2015，新課標(biāo)I）在平行四邊形中，，，則的取值范圍是_______4、（2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的面積最大值為_(kāi)________5、（2014，新課標(biāo)全國(guó)卷I）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則面積的最大值為_(kāi)______6、（2016，洛陽(yáng)12月月考）在的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列命題正確的是________①若，則②若，則③若，則為銳角三角形