高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第41講 第八章 立體幾何初步 章節(jié)驗(yàn)收測評(píng)卷（教師版）

第18講第八章立體幾何初步章節(jié)驗(yàn)收測評(píng)卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】此幾何體自上向下是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）水平放置的的直觀圖如圖所示，是中邊的中點(diǎn)，且平行于軸，則，，對(duì)應(yīng)于原中的線段AB，AD，AC，對(duì)于這三條線段，正確的判斷是（

）

A．最短的是AD B．最短的是AC C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槠叫杏谳S，所以在中，，又因?yàn)槭侵羞叺闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以.故選：A3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點(diǎn).為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長度最短時(shí)，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.則從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑為線段，，所以.過S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為，因?yàn)?，所以，故選:D.4．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．72【答案】B【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心，連接，則底面邊長，對(duì)角線，.又，故高.故該正四棱錐體積為.

故選：B5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，交于點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角為，（由正方體的幾何性質(zhì)易知為銳角，故即所求角）設(shè)，則，則，故，故，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：C．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面是正三角形，是圓錐底面圓的圓心，是底面圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若三棱錐的高為，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接OP，則由圓錐的性質(zhì)可知底面，，因?yàn)槭钦切?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是底面圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，所以是正三角形，故，設(shè)中點(diǎn)為，中邊上的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且是劣弧的中點(diǎn)時(shí)，最大，且最大距離為，此時(shí)的面積的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為,

故選：A7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖①所示，四邊形是由一個(gè)邊長為的等邊與另外一個(gè)拼接而成，現(xiàn)沿著直線進(jìn)行翻折，使得平面平面，連接，得到三棱錐，如圖②所示．若，，則三棱錐的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】

由已知，，，即，故，設(shè)等邊的中心，連接，，，可得，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，連接，，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，，所以，則三棱錐的外接球球心即為的中心，故三棱錐的外接球的體積，故選：B．8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)半徑為1的球面上，則正三棱柱側(cè)面積的最大值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解法一：設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，則，故，所以，即，又三棱柱的側(cè)面積，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為．解法二：設(shè)正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為，則，故，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，則三棱柱的側(cè)面積最大值為.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2024上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，則【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，若，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，，則或，相交，只有加上條件m，n相交，結(jié)論才成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，又因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，若，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，D錯(cuò)誤.故選：ABD.10．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中正確的序號(hào)是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【詳解】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，對(duì)于A中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對(duì)于B中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對(duì)于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對(duì)于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.11．（2024上·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，滿足，下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面；B．在棱上不存在點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為；D．點(diǎn)到直線的距離；【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，故即為與底面所成的角，即，故，而，所以，在直角梯形中，，則，故，又因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，故平面平面，故A正確；D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)的證明過程可知：平面，因?yàn)槠矫妫?，故點(diǎn)到直線的距離即為的長度，因?yàn)槠矫妫矫?，故，而，即點(diǎn)到直線的距離，故D正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即為的中點(diǎn)，

設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，則，故異面直線與所成角即為的夾角，在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對(duì)于B，由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以時(shí)，平面，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.12．（2024上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）四棱錐的底面為正方形，與底面垂直，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則（

）A．不存在點(diǎn)，使得 B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為 D．點(diǎn)到直線的距離的最小值為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A：連接，且，如圖所示，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)闉檎叫危?又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將和所在的平面沿著展開在一個(gè)平面上，如圖所示，

則的最小值為，直角斜邊上高為，即，直角斜邊上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對(duì)于C：易知四棱錐的外接球直徑為，半徑，表面積，所以C正確；對(duì)于D：點(diǎn)到直線的距離的最小值即為異面直線與的距離，因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作，因?yàn)槠矫?，所?又,且,故平面，平面，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離，即為的長，如圖所示，

在中，，，可得，所以由等面積得，即直線到平面的距離等于，所以D正確，故選：BCD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若平面，則.【答案】【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面所?又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).因?yàn)樵谥?，，?故答案為：14．（2024上·上?！じ叨軛疃行？计谀┮阎獔A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，則小圓錐和圓臺(tái)的體積之比為.【答案】/1:7【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，由題意，，，故，作圓錐軸截面如下圖：所以，，，所以圓錐體積為，因?yàn)橛门c底面的距離為的平面截圓錐，故，且，所以小圓錐體積，所以圓臺(tái)的體積，故小圓錐和圓臺(tái)的體積之比為.故答案為：15．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長均為4，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為．【答案】【詳解】如圖：取的中點(diǎn),連接，結(jié)合題意：易得為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)樵谥彼睦庵杏忻?且面，所以,又因?yàn)?且面所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心，因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L均為4，，所以,,,,故以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以為圓心,為半徑的圓所成的圓弧.所以.故答案為:.16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個(gè)矩形折成一個(gè)空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點(diǎn)分別記為，，為的中點(diǎn)，則多面體的體積為；若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為．【答案】【詳解】連接，有，而，為中點(diǎn)，則有，，則平面，同理平面，又平面與平面有公共點(diǎn)，于是點(diǎn)共面，而，即有，，因?yàn)?，，平面，則平面，又平面，即有，則，同理，即，從而，即四邊形為平行四邊形，，，等腰梯形中，高，其面積，顯然平面，所以多面體的體積；因?yàn)槠矫?，同理可得平面，又，則平面，依題意，動(dòng)點(diǎn)所在平面與垂直，則該平面與平面平行，而此平面過點(diǎn)，令這個(gè)平面與幾何體棱的交點(diǎn)依次為，則,又為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為五邊形，長度為：.故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E為線段PA的中點(diǎn).(1)求證：平面BDE.(2)求三棱錐的體積【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接.

∵四邊形是正方形，在中，為的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，

則且，∵平面，∴平面，∴就是三棱錐的高.∴.18．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，把和分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【詳解】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．又∵，平面，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（2）如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，∵四邊形為矩形，∴，因?yàn)?，所以⊥，⊥，故就是二面角的平面角．又⊥平面，平面，所以⊥，∵，∴，∴．∴二面角P－AD－E的大小為．19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點(diǎn)，連接PM交CE于點(diǎn)G，連接BM交AC于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所?20．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：⊥平面.(2)若，平面平面，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以⊥平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以均為等邊三角形，故，故，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，連接，在中，，故⊥，故，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得.21．（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大?。?2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，1【詳解】（1）因?yàn)闉檎叫?，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補(bǔ)角，因?yàn)槿切问堑冗吶切危瑒t平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點(diǎn)，連接，平面，平面，則與平面