2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第20煉 一元不等式的證明含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題第20煉一元不等式的證明含答案第20煉一元不等式的證明利用函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的一類問題，考察學(xué)生構(gòu)造函數(shù)選擇函數(shù)的能力，體現(xiàn)了函數(shù)最值的一個(gè)作用——每一個(gè)函數(shù)的最值帶來一個(gè)恒成立的不等式。此外所證明的不等式也有可能對(duì)后一問的解決提供幫助，處于承上啟下的位置。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、證明方法的理論基礎(chǔ)（1）若要證(為常數(shù)）恒成立，則只需證明：，進(jìn)而將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（2）已知的公共定義域?yàn)椋?，則證明：對(duì)任意的，有由不等式的傳遞性可得：，即2、證明一元不等式主要的方法有兩個(gè)：第一個(gè)方法是將含的項(xiàng)或所有項(xiàng)均挪至不等號(hào)的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進(jìn)行證明，其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確，構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，但對(duì)于移項(xiàng)后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性第二個(gè)方法是利用不等式性質(zhì)對(duì)所證不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)的項(xiàng)進(jìn)行分割變形，可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單的解析式。但缺點(diǎn)是局限性較強(qiáng)，如果與不滿足，則無法證明。所以用此類方法解題的情況不多，但是在第一個(gè)方法失效的時(shí)候可以考慮嘗試此法。3、在構(gòu)造函數(shù)時(shí)把握一個(gè)原則：以能夠分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)為準(zhǔn)則。4、若在證明中，解析式可分解為幾個(gè)因式的乘積，則可對(duì)每個(gè)因式的符號(hào)進(jìn)行討論，進(jìn)而簡(jiǎn)化所構(gòu)造函數(shù)的復(fù)雜度。5、合理的利用換元簡(jiǎn)化所分析的解析式。6、判斷解析式符號(hào)的方法：（1）對(duì)解析式進(jìn)行因式分解，將復(fù)雜的式子拆分為一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的式子，判斷出每個(gè)式子的符號(hào)即可得到解析式的符號(hào)（2）將解析式視為一個(gè)函數(shù)，利用其零點(diǎn)（可猜出）與單調(diào)性（利用導(dǎo)數(shù)）可判斷其符號(hào)（3）將解析式中的項(xiàng)合理分組，達(dá)到分成若干正項(xiàng)的和或者若干負(fù)項(xiàng)的和的結(jié)果，進(jìn)而判斷出解析式符號(hào)二、典型例題：例1：求證：思路：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)求解即可證明：所證不等式等價(jià)于：令則只需證明：令解得：↗↘即所證不等式成立小煉有話說：（1）此題的解法為證明一元不等式的基本方法，即將含的項(xiàng)移至不等號(hào)的一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)解決。（2）一些常見不等關(guān)系可記下來以備使用：①②③例2：設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，思路：本題依然考慮構(gòu)造函數(shù)解決不等式，但如果僅僅是移項(xiàng)，則所證不等式為，令，其導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜（也可解決此題），所以考慮先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)變?yōu)樾问捷^為簡(jiǎn)單的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明證明：，所以所證不等式等價(jià)于設(shè)只需證即可令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故不等式得證小煉有話說：本題在證明時(shí)采取先化簡(jiǎn)再證明的策略，這也是我們解決數(shù)學(xué)問題常用的方法之一，先把問題簡(jiǎn)單化再進(jìn)行處理。在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題中，所謂的“簡(jiǎn)化”的標(biāo)準(zhǔn)就是構(gòu)造的函數(shù)是否易于分析單調(diào)性。例3：已知函數(shù)，證明：思路：若化簡(jiǎn)不等式左邊，則所證不等式等價(jià)于，若將左邊構(gòu)造為函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)性難于分析，此法不可取?？紤]原不等式為乘積式，且與0進(jìn)行比較，所以考慮也可分別判斷各因式符號(hào)，只需讓與同號(hào)即可。而的正負(fù)一眼便可得出，的符號(hào)也不難分析，故采取分別判斷符號(hào)的方法解決。解：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增為增函數(shù)時(shí)，時(shí)，綜上所述，成立小煉有話說：與0比較大小也可看做是判斷一側(cè)式子的符號(hào)，當(dāng)不等式的一側(cè)可化為幾個(gè)因式的乘積時(shí)，可分別判斷每一個(gè)因式的符號(hào)（判斷相對(duì)簡(jiǎn)單），再?zèng)Q定乘積的符號(hào)。例4：已知，其中常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（2）求證：解：（1）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增時(shí)，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的極小值為，無極大值（2）思路：本題如果直接構(gòu)將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)過于復(fù)雜，不易進(jìn)行分析，所以考慮將所證不等式進(jìn)行變形成“”的形式。由第（1）問可得：，即，則所證不等式兩邊同時(shí)除以，即證：，而，所以只需構(gòu)造函數(shù)證明即可解：由（1）得所證不等式：設(shè)令可解得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即例5：已知（1）當(dāng)時(shí)，求在的最值（2）求證：，解：（1）的單調(diào)區(qū)間為↘↗①②時(shí)，（2）思路：所證不等式，若都移到左邊構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)很難分析單調(diào)性，進(jìn)而無法求出最值。本題考慮在兩邊分別求出最值，再比較大小即可解：所證不等式等價(jià)于設(shè)令在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增設(shè)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所證不等式成立例6：設(shè)為常數(shù)），曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切.(1)求的值.(2)證明：當(dāng)時(shí)，.解：（1）過點(diǎn)（2）思路：所證不等式等價(jià)于，若將的表達(dá)式挪至不等號(hào)一側(cè)，則所構(gòu)造的函數(shù)中，求導(dǎo)后結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。觀察到對(duì)數(shù)與根式均含有，進(jìn)而考慮換元化簡(jiǎn)不等式。另一方面，當(dāng)時(shí)，，而是所證的臨界值，進(jìn)而會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)有所影響。解：所證不等式等價(jià)于：令則不等式轉(zhuǎn)化為：（若不去分母，導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜，不易分析）令只需證即可觀察進(jìn)而考慮的單調(diào)性（盡管復(fù)雜，但有零點(diǎn)在，就能夠幫助繼續(xù)分析，堅(jiān)持往下進(jìn)行）單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（是的零點(diǎn)，從而引發(fā)連鎖反應(yīng)）單調(diào)遞減即所證不等式成立當(dāng)時(shí)，小煉有話說：本題有以下兩個(gè)亮點(diǎn)（1）利用換元簡(jiǎn)化所證不等式（2）零點(diǎn)的關(guān)鍵作用：對(duì)于化簡(jiǎn)后的函數(shù)而言，形式依然比較復(fù)雜，其導(dǎo)函數(shù)也很難直接因式分解判斷符號(hào)，但是由于尋找到這個(gè)零點(diǎn)，從而對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷指引了方向，又因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)也是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，于是才決定在對(duì)導(dǎo)函數(shù)求一次導(dǎo)，在二次導(dǎo)函數(shù)中判斷了符號(hào)，進(jìn)而引發(fā)連鎖反應(yīng)，最終證明不等式?？梢哉f，本題能堅(jiān)持對(duì)進(jìn)行分析的一個(gè)重要原因就是這個(gè)零點(diǎn)。例7：（2015，福建，20）已知函數(shù)（1）求證：當(dāng)時(shí)，（2）求證：當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意的，恒有解：（1）思路：所證不等式為：，只需將含的項(xiàng)移植不等號(hào)一側(cè)，構(gòu)造函數(shù)即可證明證明：所證不等式等價(jià)于：，設(shè)在單調(diào)遞減時(shí)，即得證（2）思路：本題的目標(biāo)是要找到與相關(guān)的，因?yàn)楹瘮?shù)形式較為簡(jiǎn)單，所以可以考慮移至不等號(hào)一側(cè)：，設(shè)，，因?yàn)?，所以只需在單增即可?？蓪?duì)進(jìn)行和分類討論。證明：設(shè)則且令，即①當(dāng)時(shí)，解得恒成立在單調(diào)遞增可取任意正數(shù)②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故可取任意正數(shù)③當(dāng)時(shí)，解得，而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，均有，只需取即可綜上所述：存在，使得對(duì)任意的，恒有例8：已知函數(shù)（為常數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在處的切線與軸平行（1）求的值（2）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)。證明：對(duì)解：（1）處的切線與軸平行:（2）所證不等式等價(jià)于：設(shè)令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即若要證，只需證設(shè)，令解得：在單調(diào)遞增，即原不等式得證例9：已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，沒有極值；當(dāng)時(shí)，令在單調(diào)增，在單調(diào)遞減有極大值，無極小值（2）當(dāng)時(shí)，，令，即，則在上為增函數(shù)在上為增函數(shù)時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，由可知即例10：設(shè)函數(shù).（1）證明：時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明：.解：（1）只需證即可令在單調(diào)遞增即函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）思路：對(duì)所證不等式，若直接將左側(cè)構(gòu)造函數(shù)，則無法求出單調(diào)區(qū)間和最值。（導(dǎo)函數(shù)中含有無法進(jìn)一步運(yùn)算），所以考慮將左側(cè)的一部分挪至不等號(hào)另一側(cè)，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較。(右邊,考慮能否恒大于4，,在處單調(diào)減，在單調(diào)遞增，故為增函數(shù)，但無法求的最小值。無法用證明?？紤]其他思路。所證不等式也可變?yōu)?，在第一問中令可?只需證明即可）解：所證不等式等價(jià)于設(shè)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增即由（1）問可得：原不等式得證小煉有話說：（1）前兩種嘗試是最容易想到的，但是嘗試后為什么放棄？第一種嘗試是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)中項(xiàng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無法判斷單調(diào)區(qū)間。而第二種嘗試局限性較大，即必須左端最小大于右端最大才可，盡管新的函數(shù)單調(diào)性能夠分析，但是無法確定其最小值，所以放棄。在構(gòu)造函數(shù)證不等式時(shí)，一要看構(gòu)造的函數(shù)能否進(jìn)行分析（即單調(diào)性，最值），二要看是否吻合預(yù)期的結(jié)果。否則便要考慮從其他角度入手。（2）對(duì)于第二種嘗試，求單調(diào)區(qū)間比較麻煩。有能力的同學(xué)可以嘗試特殊值法來排除，比如令，那么顯然左邊要小于4。（3）本題的解法有幾個(gè)亮點(diǎn)：①提取一個(gè)后，左端構(gòu)造的函數(shù)更易分析性質(zhì)②利用第一問過程中產(chǎn)生的結(jié)論：，這也是一個(gè)常見的不等式。③所用的不等式性質(zhì)為：（注意必須均為正項(xiàng)）。由此性質(zhì)也可推廣出一條判斷函數(shù)增減性的方法：已知在區(qū)間恒大于零，若均在區(qū)間單調(diào)遞增，則在區(qū)間也單調(diào)遞增。例如在是單調(diào)遞增的。第21煉多元不等式的證明多元不等式的證明是導(dǎo)數(shù)綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處如何構(gòu)造合適的一元函數(shù)，本章節(jié)以一些習(xí)題為例介紹常用的處理方法。一、基礎(chǔ)知識(shí)1、在處理多元不等式時(shí)起碼要做好以下準(zhǔn)備工作：（1）利用條件粗略確定變量的取值范圍（2）處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性，奇偶性等），以備使用2、若多元不等式是一個(gè)輪換對(duì)稱式（輪換對(duì)稱式：一個(gè)元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為輪換對(duì)稱式），則可對(duì)變量進(jìn)行定序3、證明多元不等式通常的方法有兩個(gè)（1）消元：①利用條件代入消元②不等式變形后對(duì)某多元表達(dá)式進(jìn)行整體換元（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而通過函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來證明不等式（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法。二、典型例題：例1：已知，其中圖像在處的切線平行于軸（1）確定與的關(guān)系（2）設(shè)斜率為的直線與的圖像交于，求證：解：（1），依題意可得：（2）思路：，所證不等式為即，進(jìn)而可將視為一個(gè)整體進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明一元不等式解：依題意得，故所證不等式等價(jià)于：令，則只需證：先證右邊不等式：令在單調(diào)遞減即對(duì)于左邊不等式：令，則在單調(diào)遞增小煉有話說：（1）在證明不等式時(shí)，由于獨(dú)立取值，無法利用等量關(guān)系消去一個(gè)變量，所以考慮構(gòu)造表達(dá)式：使得不等式以為研究對(duì)象，再利用換元將多元不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉坏仁剑?）所證不等式為輪換對(duì)稱式時(shí)，若獨(dú)立取值，可對(duì)定序，從而增加一個(gè)可操作的條件例2：已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)，且，證明：解：（1）定義域?yàn)榱罱獾茫骸嗟膯握{(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是的極小值為，無極大值（2）思路：所證不等式等價(jià)于證，輪換對(duì)稱式可設(shè)，進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行變形，在考慮能否換元減少變量證明：不妨設(shè)（由于定序，去分母避免了分類討論）（觀察兩邊同時(shí)除以，即可構(gòu)造出關(guān)于的不等式）兩邊同除以得，令，則，即證：令令，（再次利用整體換元），在上單調(diào)遞減，所以即，即恒成立∴在上是減函數(shù)，所以∴得證所以成立小煉有話說：（1）本題考驗(yàn)不等式的變形，對(duì)于不等式而言，觀察到每一項(xiàng)具備齊次的特征（不包括對(duì)數(shù)），所以同除以，結(jié)果為或者1，觀察對(duì)數(shù)的真數(shù)，其分式也具備分子分母齊次的特點(diǎn)，所以分子分母同除以，結(jié)果為或者1，進(jìn)而就將不等式化為以為核心的不等式（2）本題進(jìn)行了兩次整體換元，第一次減少變量個(gè)數(shù)，第二次簡(jiǎn)化了表達(dá)式例3：已知函數(shù)（a∈R）．（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),證明：．解：（1）是上是增函數(shù)(注意：?jiǎn)握{(diào)遞增→導(dǎo)數(shù)值）設(shè)令解得故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）思路：，。所證不等式含有3個(gè)字母，考慮利用條件減少變量個(gè)數(shù)。由為極值點(diǎn)可得從而可用表示，簡(jiǎn)化所證不等式。解：依題意可得：，是極值點(diǎn)兩式相減可得：所證不等式等價(jià)于：，不妨設(shè)兩邊同除以可得：，（此為關(guān)鍵步驟：觀察指數(shù)冪的特點(diǎn)以及分式的分母，化不同為相同，同除以使得多項(xiàng)呈的形式）從而考慮換元減少變量個(gè)數(shù)。令所證不等式只需證明：，設(shè)由（2）證明可得：在單調(diào)遞減，證明完畢原不等式成立即小煉有話說：本題第（3）問在處理時(shí)首先用好極值點(diǎn)的條件，利用導(dǎo)數(shù)值等于0的等式消去，進(jìn)而使所證不等式變量個(gè)數(shù)減少。最大的亮點(diǎn)在于對(duì)的處理，此時(shí)對(duì)數(shù)部分無法再做變形，兩邊取指數(shù)，而后同除以，使得不等式的左右都是以為整體的表達(dá)式，再利用整體換元轉(zhuǎn)化為一元不等式。例4：已知（1）討論的單調(diào)性（2）設(shè)，求證：解：（1）定義域令，即①則恒成立，為增函數(shù)②則，恒成立，為增函數(shù)③時(shí)，當(dāng)，則恒成立，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，解得：↗↘（2）思路：所證不等式含絕對(duì)值，所以考慮能否去掉絕對(duì)值，由（1）問可知單調(diào)遞減，故只需知道的大小即可，觀察所證不等式為輪換對(duì)稱式，且任取，進(jìn)而可定序，所證不等式，即，發(fā)現(xiàn)不等式兩側(cè)為關(guān)于的同構(gòu)式，故可以將同構(gòu)式構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，從而證明新函數(shù)的單調(diào)性即可。解：不妨設(shè)，，所以由第（1）問可得單調(diào)遞減，所證不等式等價(jià)于：，令，只需證明單調(diào)遞減即可。設(shè)方程在單調(diào)遞減。即所證不等式成立小煉有話說：同構(gòu)式以看作是將不同的變量放入了同一個(gè)表達(dá)式，從而可將這個(gè)表達(dá)式視為一個(gè)函數(shù)，表達(dá)式的大小與變量大小之間的關(guān)系靠函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行聯(lián)結(jié)。將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題。雙變量的同構(gòu)式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。例5：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明：解：（1）可判斷在單調(diào)遞減在單調(diào)遞減（2）思路：可得：，含有三個(gè)字母，考慮利用條件減少字母的個(gè)數(shù)。由可得：兩式相減便可用表示,即,代入可得：從而考慮換元法將多元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉馕鍪竭M(jìn)行證明解：是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)只需證，令則設(shè)下面證恒成立在單調(diào)遞減，即小煉有話說：（1）體會(huì)在用表示時(shí)為什么要用兩個(gè)方程，而不是只用來表示?如果只用或進(jìn)行表示，則很難處理，用兩個(gè)變量表示，在代入的時(shí)候有項(xiàng)，即可以考慮利用換元法代替,這也體現(xiàn)出雙變量換元時(shí)在結(jié)構(gòu)上要求“平衡”的特點(diǎn)（2）在這一步中，對(duì)項(xiàng)的處理可圈可點(diǎn)，第三問的目的落在判斷的符號(hào)，而符號(hào)為負(fù)，且在解析式中地位多余（難以化成)，所以單拿出來判斷符號(hào)，從而使討論的式子得到簡(jiǎn)化且能表示為的表達(dá)式例6：（2010年天津，21）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，（3）如果，且，求證：解：（1）令的單調(diào)區(qū)間為：↗↘的極大值為，無極小值（2）解：與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為所證不等式等價(jià)于證：設(shè)在單調(diào)遞增即（3）思路：所給條件，但很難與找到聯(lián)系。首先考慮的范圍，由（1）可得是極值點(diǎn)，應(yīng)在的兩側(cè)，觀察已知和求證均為的輪換對(duì)稱式，所以可設(shè)，進(jìn)而，既然無法直接從條件找聯(lián)系，不妨從另一個(gè)角度嘗試。已知條件給的是函數(shù)值，所證不等式是關(guān)于自變量的，，而，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間可發(fā)現(xiàn)同在單調(diào)遞增區(qū)間中，進(jìn)而與函數(shù)值找到聯(lián)系由可得所證不等式等價(jià)于，剛好使用第二問的結(jié)論。解：，是極值點(diǎn)在的兩側(cè)，不妨設(shè)所證不等式等價(jià)于而在單調(diào)遞增只需證明由第（2）問可得成立得證小煉有話說：（1）本題第（3）問是利用函數(shù)的單調(diào)性，將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，進(jìn)而與前面問題找到聯(lián)系。在處理此類問題感到無法入手時(shí)，不妨在確定變量的范圍后適當(dāng)將其賦予一個(gè)函數(shù)背景，擴(kuò)展不等式變形的空間（2）本題第（2）（3）兩問存在圖形背景。首先說第三問：所證不等式，即證的中點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1，而恰好是的極值點(diǎn)?？衫斫鉃榕c一條水平線交于，而說明什么？說明如果是以極大值點(diǎn)為起點(diǎn)向兩邊走，左邊下降的快而右邊下降的慢！從函數(shù)角度來看說明增長(zhǎng)快下降慢（如圖）。那么如何使用代數(shù)方法說明函數(shù)快增長(zhǎng)慢下降的特點(diǎn)呢？本題的第二問提供了一個(gè)方法，就是以極值點(diǎn)所在豎直線為對(duì)稱軸，找的對(duì)稱圖形（虛線），這樣便把極值點(diǎn)左邊的情況對(duì)稱到右邊來（即），由于對(duì)稱軸右邊都是從起開始下降，那么通過證明對(duì)稱軸右側(cè)原圖像在對(duì)稱圖像的上方即可說明增減的相對(duì)快慢。例7：已知函數(shù)（1）求的極值（2）若對(duì)任意的均成立，求的取值范圍（3）已知且，求證：解：（1）令解得在單調(diào)增，在單調(diào)遞減有極大值，無極小值（2）(參變分離法）設(shè)(即時(shí)的)（3）思路：所求證不等式無法直接變形，聯(lián)系的特點(diǎn)可以考慮不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即，由且可得，聯(lián)系第（2）問的函數(shù)即可尋找與的聯(lián)系了。解：，考慮在單調(diào)遞增同理：即例8：已知函數(shù)（1）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）在（1）的條件下，求證：解：（1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根設(shè)令可得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且時(shí)，，（2）思路一：所證不等式中含有兩個(gè)變量，考慮利用條件消元將其轉(zhuǎn)化為一元不等式，由零點(diǎn)可知，從中可以找到，即，下面只需用將消掉即可，仍然利用方程組兩式作差可得，從而，只需證明，兩邊同除以，即可利用換元將所證不等式轉(zhuǎn)為一元不等式來進(jìn)行證明解：不妨設(shè)由已知可得：即只需證明：，在方程可得：只需證明：即令，則，所以只需證明不等式：①設(shè)在單調(diào)遞增在單調(diào)遞增，即不等式①得證即思路二：參照例題6的證明方法，構(gòu)造一個(gè)單調(diào)的函數(shù)，進(jìn)而將自變量的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等式進(jìn)行證明。由（1）可知在構(gòu)造的函數(shù)中，有，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以考慮使用來進(jìn)行轉(zhuǎn)換，所證不等式，通過（1）中的數(shù)形結(jié)合可知，從而有，所以所證不等式轉(zhuǎn)化為，即，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元不等式，再構(gòu)造函數(shù)證明即可解：所證不等式因?yàn)橛袃刹煌泓c(diǎn)滿足方程，由（1）可得：考慮設(shè)，由（1）可得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增結(jié)合的單調(diào)性可知：只需證明所以只需證明：即證明：設(shè)，則，則，則單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減即得證得證，從而有例9：已知函數(shù)，其中常數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）已知，若，且滿足，試證明：解：（1）定義域令即① ↗↘↗②恒成立在單調(diào)遞增③ ↗↘↗（2）思路一：分別用表示出，并利用進(jìn)行代換，然后判