【數(shù)學(xué)】簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1.閱讀課本，了解多面體的表面積的概念：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的概念【解析】

多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和．思考1???棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？【解析】

棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是幾個(gè)平行四邊形，棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是幾個(gè)三角形，棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是幾個(gè)梯形．它們的表面積是上、下底面面積與側(cè)面展開(kāi)圖的面積的和．例1如圖，四面體P－ABC的各棱長(zhǎng)均為a，求它的表面積．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算【解析】

因?yàn)椤鱌BC是正三角形，其邊長(zhǎng)為a，如圖，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個(gè)側(cè)面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，則制造這個(gè)滾筒需要________m2鐵板．(精確到0.1m2)跟蹤訓(xùn)練【答案】

5.62.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(1)我們以前已經(jīng)學(xué)習(xí)了特殊的棱柱——正方體、長(zhǎng)方體的體積公式，它們分別是V正方體＝a3(a是正方體的棱長(zhǎng))，V長(zhǎng)方體＝abc(a，b，c分別是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高)．一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱＝Sh.棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的概念(3)由于棱臺(tái)是由棱錐截成的，因此可以利用兩個(gè)棱錐的體積差，得到棱臺(tái)的體積公式其中S′，S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高．注意：棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離．棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離．棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離．思考2???例2如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長(zhǎng)為1m的正方形，那么這個(gè)漏斗的容積是多少立方米(精確到0.01m3)?棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的計(jì)算1.常見(jiàn)的求幾何體體積的方法：①公式法：直接代入公式求解；②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2.求幾何體體積時(shí)需注意的問(wèn)題：柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1

的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1

的體積為_(kāi)_______.跟蹤訓(xùn)練思考3???圓柱OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積【解析】

S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)．思考4???圓錐SO及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？【解析】

S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)．思考5???圓臺(tái)OO′及其側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？【解析】

S圓臺(tái)側(cè)＝

，S圓臺(tái)表＝

．名稱圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱S圓柱＝2πr(r＋l)圓錐S圓錐＝πr(r＋l)名稱圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓臺(tái)S圓臺(tái)＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)思考6???圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎？例3若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______cm2，表面積為_(kāi)_______cm2.【解析】

如圖，因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，所以O(shè)B＝2cm，PB＝4cm，所以圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．【答案】

8π

12π圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為(

)A.81π

B.100π C.168π D.169π【答案】

C跟蹤訓(xùn)練1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積我們以前學(xué)習(xí)過(guò)圓柱、圓錐的體積公式，即由于圓臺(tái)是由圓錐截成的，因此可以利用圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺(tái)的體積公式圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積思考7???圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系？V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體高)；當(dāng)S′＝S時(shí)，臺(tái)體變?yōu)橹w，臺(tái)體的體積公式也就是柱體的體積公式；當(dāng)S′＝0時(shí)，臺(tái)體變?yōu)殄F體，臺(tái)體的體積公式也就是錐體的體積公式．V圓柱＝π×52×10≈785(mm3)，所以V螺帽＝3741－785＝2956(mm3)＝2.956(cm3)，故這堆毛坯約有260個(gè)．例4有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯共重6kg.已

知毛坯底面正六邊形的邊長(zhǎng)是12mm，高是10mm，內(nèi)

孔直徑是10mm.那么這堆毛坯約有多少個(gè)？(鐵的密度

是7.8g/cm3)用一張長(zhǎng)

12cm，寬

8cm的矩形紙片圍成圓柱形的側(cè)面，求這個(gè)圓柱的體積．【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為R.當(dāng)圓柱的高為8cm時(shí)，則2πR＝12，跟蹤訓(xùn)練2.球的表面積公式：S＝4πR2(R為球的半徑)．例5如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球

的直徑是0.3m，圓柱高0.6m，如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每

平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多

少涂料？(π取3.14)球的表面積和體積【解析】

一個(gè)浮標(biāo)的表面積為2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.8478(m2)，所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.8478×0.5×1000＝423.9(kg)．思考8???在小學(xué)，我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式，你記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積嗎？【解析】

類比利用圓周長(zhǎng)求圓面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積．如圖，把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格，連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體就被分割成n個(gè)“小錐體”．3.球體截面的特點(diǎn)：球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體，它的任何截面均為圓．例6如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．【解析】

設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.利用球的表面積與體積公式去計(jì)算．平面α截球O的球面