山東省煙臺(tái)市2023屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué) 含解析

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答

題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求.

1,若復(fù)數(shù)z滿足z0+i)=2i,則目=()

A.72B.2C.73D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求得z=l+i，進(jìn)而可得|z|.

【詳解】z(l+i)=2i,

2i2i(l-i)2i-2i2,.

-1+i(l+i)(l-i)1-i2,

.\|z|=V2.

故選：A.

2.已知集合A={x[a<xva+2},B=y=ln(6+x-x2)j,且Aqb,則()

A.一B.—l<a<2C.-D.-2<a<l

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合8,再利用集合間包含關(guān)系列出不等式組，求出。的取值范圍即可.

【詳解】解：由6+無一d>o，(x+2)(x-3)<0,解得一2Vx<3,

所以3={x|y=ln(6+x-f)}={x[-2<3},

集合A={x[a<x<a+2}H0,

ciN—2

因?yàn)锳uB,所以《.力解得一2?aWl.

—a+2<3

故選：c.

3.在ABC中，“A>2”是“sinA>，”()

62

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【解析】

【分析1結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由sinA〉一I，可得7T?<A<5?7r,再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】在一ABC中，Ae(O,7i),

由sinA>,，可得

266

所以“A>m”是"sinA〉!”的必要不充分條件.

62

故選：B.

4.過拋物線尤2=2〃y(p〉0)的焦點(diǎn)且傾斜角為45。的直線與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，若點(diǎn)A,8到y(tǒng)軸

的距離之和為4拉，則P的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程消去y,根據(jù)題意結(jié)合利用韋達(dá)定理可求p.

【詳解】設(shè)A&，x),8(孫衛(wèi))，

由題意可得：直線AB的斜率左=345。=1,拋物線12=2〃>，(〃>0)的焦點(diǎn)尸0,9，

故直線AB的方程為y=x+5，

y=X+P

聯(lián)立方程12,消去y得V-2px—p2=0,

爐=2py

2

則AMl—Zpy_4x1x(—=>0,X]+x2-2p,x}x2--p<0,

可知%,%異號(hào)，

由題意可得：|xj+|x2|=|x(_々|=J(X|+%2)2-4中2=J(2p)2=2?p=4/,

解得P=2.

故選：B.

5.新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn)，近年來備受青睞.某新能源汽車制造企業(yè)為

調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車的耗電量(單位：kW-h/100km)情況，隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本，據(jù)統(tǒng)

計(jì)該型號(hào)新能源汽車的耗電量J7V(13,cr2),若P(12<J<14)=0.7,則樣本中耗電量不小于

14kW?h/100km的汽車大約有()

A.180輛B.360輛C.600輛D.840輛

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求得214)的值，再由樣本容量求得頻數(shù)，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)镴-N(13,/),且P(12<《<14)=0.7,

所以PCN14)=gx[l—P(12<J<14)]=gx(l—0.7)=0.15,

所以樣本中耗電量不小于14W-h/100km的汽車大約1200x0.15=180(輛).

故選：A.

6.由點(diǎn)尸(一3,0)射出的兩條光線與q：(x+l『+y2=i分別相切于點(diǎn)A,B,稱兩射線24，PB上切

點(diǎn)右側(cè)部分的射線和優(yōu)弧A3右側(cè)所夾的平面區(qū)域?yàn)椋?。的“背面若；a：(x—l)2+(yT)2=1處于

a的“背面”，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為()

A.-2>/3<t<2^B.一鋁+1W述一1

33

C.-1</<1D.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)過點(diǎn)p的切線方程為y=Z(x+3),進(jìn)而可得切線方程，利用新定義可求r的最值，進(jìn)而可求實(shí)

數(shù)，的取值范圍.

【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為y=Hx+3),

.??直線AP的方程為y=與(x+3),即x-&y+3=0,

直線的方程為y=—*(x+3),即*+百y+3=0,

O2：(x-iy+(y-r)2=i處于01的“背面”，

與心相切時(shí)[取最小值，由:絲/=],解得i=一2叵或，=一2百，

71733

結(jié)合圖形可得t的最小值為-空,

3

同理與PA相切時(shí)可得t的最大值為t=2叵，

3

.273273

33

故選：D.

7.已知等邊.A8C的邊長(zhǎng)為2,。為BC的中點(diǎn)，P為線段A。上一點(diǎn)，PELAC,垂足為E，當(dāng)

2t

PB-PC=——時(shí)，PE=()

3

1?1—1—

A.-AB+-ACB.——AB+-AC

3336

2um?UUM

C.--AB+-ACD.——AB+-AC

6333

【答案】B

【解析】

-2

【分析】設(shè)AP=XA。，由§求出；I,得到P為一ABC的重心，E為AC的中點(diǎn)，再利用平

面向量基本定理求解即可.

【詳解】解：T&AP=AAD[0<A<1),則PC=AC-AP=AC-/IA。，PB=AB-AAD-

2

?-PCPB=(AC-AAD)(AB-AAD)=ACAB-AACAD-AABAD+A2AD=

2-Ax2x^x—x2+322=322-62+2=--,

23

24

9A~—18A+8=0,..％=二■或2=一(舍去)，

33

.?.P為JU5c的重心，PE±ACf石為AC的中點(diǎn)，

1712111

??.PE=AE-AP=-AC——AD=-AC——x-(AB+AC)=——AB+-AC

2323236f

故選：B.

8.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).函數(shù)/(力=國(guó)稱為高

斯函數(shù)，其中xeR,國(guó)表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[―1.1]=-2,[2.5]=2,則方程

[2x+l]+[x]=4x的所有解之和為()

?37

A.7?B.—C.-D.一

2424

【答案】C

【解析】

k-\k

【分析】VxeR,mZeZ,使女《2》+1<k+1,可得----<x<—,2k—2<4x<2k,分類討論女

22

為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出女的值，再代入求解即可.

【詳解】解：VX€R,3kWZ,使左W2x+1〈左+1,則[2x+l]=Z,

k_\k

可得——<x<-,2k-2<4x<2k,

22

k—1k—1

若左為奇數(shù)，則=GZ,所以[劉==，

22

“一[k-\

.?.[2x+l]+[x]=A+號(hào)=4x,則2Z-24Z+〒<2%,

解得一1<左43,=1或左=3,

當(dāng)我=1時(shí)，0?x<L,[x]=0,[2x+l]=l,.,.l+0=4x=>x=Le0,-|,

24L2j

3「3、

當(dāng)左=3時(shí)，1〈尤〈二，[x]=l,[2x+l]=3,，3+l=4x=x=le1,—,

2L2j

kk

若火為偶數(shù)，則一wZ,所以[x]=一一1,

22

Lk

/.[2x+l]+[x]=Jt+|-l=4x,則2%—2〈女+萬一1<2%,

解得一2〈左42,左=0或攵=2,

當(dāng)攵=0時(shí)，—Wx<0,「.[x]=-1[2x+1]=0,-1+0=4xx=—w

294

當(dāng)％=2時(shí)，—<x<1,/.[x]=0,[2x+1]=2,0+2=4x=>x=—,

22

1113

因此，所有解之和為：—bl----1———,

4422

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理

解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好

三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.近年來，我國(guó)人口老齡化持續(xù)加劇，為改善人口結(jié)構(gòu)，保障國(guó)民經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展，國(guó)家出臺(tái)了一系列

政策，如2016年起實(shí)施全面兩孩生育政策，2021年起實(shí)施三孩生育政策等.根據(jù)下方的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)

論正確的是（）

A.2010至2022年每年新生兒數(shù)量的平均數(shù)高于1400萬

B.2010至2022年每年新生兒數(shù)量的第一四分位數(shù)低于1400萬

C.2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降變化趨勢(shì)

D.2010至2016年每年新生兒數(shù)量的方差大于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)折線圖逐項(xiàng)進(jìn)行分析驗(yàn)證即可求解.

【詳解】對(duì)于A,由折線圖可知：2010至2022年每年新生兒數(shù)量13個(gè)數(shù)據(jù)中有2010至2018年的數(shù)量

（9個(gè)）均高于1500萬，3個(gè)數(shù)據(jù)低于1400萬，根據(jù)數(shù)據(jù)之間的差距可得2010至2022年每年新生兒數(shù)

量的平均數(shù)高于1400萬，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,由圖可知共有13個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?3x25%=3.25,所以第一四分位數(shù)是按照從小到大排列的數(shù)據(jù)

的第4個(gè)數(shù)據(jù)，由折線圖可知，第4個(gè)數(shù)據(jù)為2019年新生兒的數(shù)量，其值大于1400萬，故選項(xiàng)B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,由折線圖可知2015至2022年每年新生兒數(shù)量呈現(xiàn)先增加后下降的變化趨勢(shì)，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由折線圖可知：2010至2016年每年新生兒數(shù)量的波動(dòng)比2016至2022年每年新生兒數(shù)量的波動(dòng)

小，所以2010至2016年每年新生兒數(shù)量的方差小于2016至2022年每年新生兒數(shù)量的方差，故選項(xiàng)D

錯(cuò)誤，

故選：AC.

10.己知函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)[4>0,3>0,-5<9</)的部分圖象如圖所示，則()

A./(X)的最小正周期為兀

B.當(dāng)XG一/：時(shí)，/(X)的值域?yàn)?/p>

C.將函數(shù)/(X)的圖象向右平移.個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)g(x)=sin2x的圖象

D,將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)

(5n)

—,0對(duì)稱

I6)

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根據(jù)y=Asin(a?+e)中A,3,3的幾何意義，求得/(》)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與

性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，逐一分析選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖可知，A=l,函數(shù)的最小正周期T=4x由一^=兀，故A正確；

72兀2兀2兀

由T二^7，口〉0，知刃=—=—=2,

|倒T兀

/7T17171兀717711

因?yàn)榱?,所以sin2xl-cp=1,所以—(p=2kit-\—,左eZ,即夕=2kliH—,k￡Z,

\6)332266

「兀兀,所以夕=v兀，所以/（x）=sin（2x+J

又——＜°＜一

226

,兀兀兀，c兀71兀2兀~71|

對(duì)于B,當(dāng)XE——時(shí)，2x+—G,所以sin2工+7G—

44633k67#4

一”』］,故B錯(cuò)誤;

所以“X）的值域?yàn)?/p>

對(duì)于C,將函數(shù)八幻的圖象向右平移展個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g（x）=sin2卜7171

+—=sin2x的圖象，故C

VI6

正確;

（71A

對(duì)于D,將函數(shù)“X）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sinx+:的

I6；

圖象,

5兀57171（5JI八

因?yàn)楫?dāng)X=二-時(shí)，y=sin一+—=sinn=0,所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)—,0對(duì)稱，故D正確.

666I6）

故選：ACD.

22

11已知雙曲線C：十步叱。力＞。），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。的右焦點(diǎn)尸作。的一條漸近線的平行線

交C于點(diǎn)P,交。的另一條漸近線于點(diǎn)。，則（）

向量。尸在OF上的投影向量為;。尸

A.

B.若4。。尸為直角三角形，則C為等軸雙曲線

3

C.若tan"8=W'則°的離心率為歷

D.若「。=4尸尸，則C的漸近線方程為x±2y=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意可得△OQF是等腰三角形，且|0。|=|。同，可判斷A,由已知可得漸近線的傾斜角為45°,

ly1Q?-?be

可判斷B,設(shè)ZOQF=2。，解得tana=3，可得一=—,可判斷C,設(shè)P(m,n)，可得=一,“=-----,

a31010a

代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)可求漸近線方程，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意可得△。。尸是等腰三角形，且|OQ|=|QF|,

在。尸上的投影為。尸的中點(diǎn)，在。尸上的投影向量為g。/7,故A正確；

對(duì)于B,若4。。尸為直角三角形，可得漸近線的傾斜角為45°,；.2=1,=

??.C為等軸雙曲線，故B正確；

對(duì)于C,若tanZOQF=一？，設(shè)40QF=2a,則]⑦":=一之,解得tana=3或tana=-1(舍去),

4l-tan2a43

h1h\

設(shè)漸近線丁=-x的傾斜角為夕，可得tan/=-，.,?一=一,.?.。=3b,

a3。3

22222

er=9b，er=9(c-a)9:A0a=9c，/.—=，故C錯(cuò)誤；

a3

bbebe

對(duì)于D,設(shè)直線QF的方程為y=t(x—c),與漸近線y=一一X的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q(上,—一-),若PQ=4FP,

aa22a

]Iche

則FP=-F。，設(shè)P(/〃,〃)，.?.(，〃一?,〃)=-(——，----),

81c2此

b_1

P在雙曲線上，.TopiQOa2

a2

的漸近線方程為＞=±gx,即x±2y=0,故D正確.

故選：ABD

12.已知f(x)=e*,g(x)=ex,若直線x=「(左＞0)與如⑺、g(x)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為〃，m,

且n＜2m，貝1J()

+im+in

A.n+m<C.n">(m+irD.n<(fn+\)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由己知可得〃2=—，1＜〃＜夜，依據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.

【詳解】由題意得9=〃(/?>1),e"=m=一

''n

n<2tn,n<2x—,,\\<n<\/2，

n

對(duì)于A：n+m=n+-f因?yàn)楹瘮?shù)y=x+)■在

1nr13x/2十丁女

.?.九+“=〃+—<V2+—j==----,故A正確；

nV22

:.n-m=n--,因?yàn)楹瘮?shù)y=不一，在(1,垃)上單調(diào)遞增，

ii/o

:.n-m—n—<\f2—尸=—，故B正確；

nV22

5

m+lm+i

由〃一根—-一1<0,:.n<m+\,.?."<"向，n<(m+l)9

2

.?.〃"<(加+1尸，故C錯(cuò)誤；

Inx…,1-Inx

令A(yù)丁=——，則丁=—「，

xx

當(dāng)xe(l,e)時(shí)，y'>0,二尸手在口⑹上單調(diào)遞增，

、廣1(逝A。

因?yàn)閯t加=?—￡~—~A,所以加+1￡---+1,2,

nV2)I2)

.則<ln(/n+l),.[n〃"+i<|n(，〃+l)",.?.〃*<(機(jī)+1)",故D正確.

nm+\

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(x—2y+lf展開式中含-y項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-60

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(x—2y+l)5=[l+(x-2y)了，

5rr

設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C；l--(x—2y)‘=C；-(x-2y),

因?yàn)閒y的次數(shù)為3,所以令r=3,

二項(xiàng)式(x—2"的通項(xiàng)公式為項(xiàng)|=&'?/"?(一2才’，

令，=1，

所以Yy項(xiàng)的系數(shù)為C;CN-2)=-60,

故答案為：-60

14.某企業(yè)的一批產(chǎn)品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產(chǎn)品均含有10個(gè)零件.小張到該企業(yè)

采購(gòu)，利用如下方法進(jìn)行抽檢：從該企業(yè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1包產(chǎn)品，再?gòu)脑摪a(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)零

件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購(gòu)該企業(yè)產(chǎn)品；否則，拒絕采購(gòu).假設(shè)該企業(yè)這批產(chǎn)品中，每

包產(chǎn)品均含1個(gè)或2個(gè)二等品零件，其中含2個(gè)二等品零件的包數(shù)占10%,則小張決定采購(gòu)該企業(yè)產(chǎn)品

的概率為.

43

【答案■

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分析可得含1個(gè)二等品零件的包數(shù)占90%,進(jìn)而由對(duì)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)

算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，該企業(yè)這批產(chǎn)品中，含2個(gè)二等品零件的包數(shù)占10%,則含1個(gè)二等品零件的

包數(shù)占90%,

C^_3

在含1個(gè)二等品零件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的4個(gè)零件都是一等品，其概率勺==

在含2個(gè)二等品零件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的4個(gè)零件都是一等品，其概率6=印=；,

joJ

931143

則小張決定采購(gòu)該企業(yè)產(chǎn)品的概率尸喘xg+而=/

43

故答案為：—.

75

15.過點(diǎn)(一1,1)與曲線/(￡)=111(%+1)-%，+2相切的直線方程為

【答案】2x+y+l=0

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程y—x=(〃—3e)(x—%),進(jìn)而由切點(diǎn)的位置得出玉,x，從而

得出切線方程.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(為，幻，/'(力=」一一3e',/'(%)=丁匚一39.

X+11+X

則切線方程為y-%=--3e”(x—xj,因?yàn)?—1,1)在切線上,

口+%

所以1—y=------3e、—玉)，即y=-3eA1(1+%)+2

又X=ln(X1+1)—3e*'+2,所以ln(l+xJ+3Xje'i=0,

令y=ln(l+x)+3xe",/=^―+3(l+x)ex,當(dāng)x>—l時(shí)，/>0,

所以y=ln（l+x）+3xe'在（一1,物）上單調(diào)遞增，

所以方程In（1+玉）+3%e8=0只有唯一解為王=0.

即切點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,故所求切線方程為y+l=-2x,即2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+l=0

16.在三棱錐V-ABC中，AB,AC,AV兩兩垂直，AB=AV=4,AC=2,P為棱AB上一點(diǎn)，

AHJ_VP于點(diǎn)H,貝上V77C面積的最大值為；此時(shí)，三棱錐4-VCP的外接球表面積為

，八八4148乃

【r答案】①.5②.-y-

【解析】

,-----11.?4x

【分析】設(shè)AP=x,求得VP=Ji6+_?，結(jié)合一VPxAH=-E4x4P,求得進(jìn)而求得

22V16+X-

北=卜+^^和加=/6—蕓匚根據(jù)S做=WfXHC4陽(yáng)；HC,求得.陽(yáng)。面積的

最大值，再根據(jù)正方體的性質(zhì)求得三棱錐A-VCP的外接球的半徑為「，進(jìn)而求得外接球的表面積.

【詳解】設(shè)AP=x，且AB=AV=4,AC=2,

因?yàn)锳B,AC,AV兩兩垂直，所以yp=Ji6+x2，

114x

所以一VPxA/7=—V<4xAP,可得AArHr=,

22V16+%2

因?yàn)锳CLAB,AC，34且ABf"4=A,所以AC_L平面L48,

又因?yàn)锳Hu平面，48,所以ACd,A/7,所以“C=互^^7=、4+）二

V16+x2

因?yàn)樗模?4。，苗且4"AC=A,所以平面AHC,

又因?yàn)镠Cu平面AHC,所以M_L"C,所以V”=，6—，

r-1”1VH2+HC2u

期以SVHC=/XVHxHC<5x---------=5,

設(shè)三棱錐A-VCP的外接球的半徑為，

16x15,148

則（2rp=人尸之+^^+^尸-----+4+16=——,

255

1487r

所以三棱錐A-VCP的外接球的表面積為4兀/

5

l148兀

故答案為：5；―--

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等比數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前w項(xiàng)和為S,,且3《，4，5%成等差數(shù)列,

+5=5。3.

（1）求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)％=??-log3an+l,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】(1)a,,=3"T(“eN'

2〃—11

(2)T=----x3"+—

"44

【解析】

【分析】（1）利用3q,%，54成等差數(shù)列以及邑+5=5。3求出首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式寫出即可;

（2）由（1）將數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式代入d=qjlog34+i中化簡(jiǎn)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛aJ的公比為

因?yàn)?q,%，5a2成等差數(shù)列,

所以3%+5%q=2aM2,

即3+5q=2q2,

解得4=3或4=一；，

因?yàn)椋鹮｝各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以4>0,

所以4=3,

由S4+5=5%,

得“￡；）+5=5X324,

解得4=1，

所以a,=43"T=3"T（"GN*）.

【小問2詳解】

由（1）知，b?=〃x3"T,

則7；=lx3°+2x3i+3x32++〃X3"T,

所以37；=1x31+2x32+3x33+.+〃x3",

兩式相減可得一27；=3°+3'+L+3"T-〃x3"=—一〃x3",

1-3

整理可得7；=2mx3"+；.

18.在銳角_ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且c-2/?cosA=0.

（1）求證：A=2B-,

（2）若A的角平分線交8c于。，且c=2,求△A3。面積的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閏-2/?cosA=b,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB

又A+B+C=?t,所以sin（A+B）-2sinBcosA=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=sinB

7T71

因?yàn)橐籄BC為銳角三角形，所以Ae0,/A-Be

252

［兀兀、

又了=$［2；在［一,，5上單調(diào)遞增，所以A-3=3，即A=23；

【小問2詳解】

由（1）可知，A=2B,所以在△ABD中，ZABC^ZBAD,

ADAB21

由正弦定理得：—^=—7—右=—7百，所以AO=BO=——，

sin?sin（兀一2B）sin2BcosB

m

所以SARn=—xABxADxsinB=~-=tanB.

2cosB

又因?yàn)椤癢C為銳角三角形，所以0<8<上，0<28<—，0<7t-35<-,解得一<8<一，

22264

所以tanBe［等，1］，即面積的取值范圍為惇,1）.

19.黃河鯉是我國(guó)華北地區(qū)的主要淡水養(yǎng)殖品種之一，其鱗片金黃、體形梭長(zhǎng)，尤以色澤鮮麗、肉質(zhì)細(xì)

嫩、氣味清香而著稱.為研究黃河鯉早期生長(zhǎng)發(fā)育的規(guī)律，豐富黃河鯉早期養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，某院校研究小組

以當(dāng)?shù)啬乘a(chǎn)養(yǎng)殖基地的黃河鯉仔魚為研究對(duì)象，從出卵開始持續(xù)觀察20天，試驗(yàn)期間，每天固定時(shí)段

從試驗(yàn)水體中隨機(jī)取出同批次9尾黃河鯉仔魚測(cè)量體長(zhǎng)，取其均值作為第G天的觀測(cè)值R（單位：

mm）,其中i=l,2,3;,20.根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，該組數(shù)據(jù)&,y）可以用Logistic曲線擬合

1

V=------u

模型y1+a"或Logistic非線性回歸模型y=正進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中a,b,〃為參數(shù).基于這

u

兩個(gè)模型，繪制得到如下的散點(diǎn)圖和殘差圖:

?曲線擬合。非線性回歸

（1）你認(rèn)為哪個(gè)模型的擬合效果更好？分別結(jié)合散點(diǎn)圖和殘差圖進(jìn)行說明:

（2）假定a=12.5,且黃河鯉仔魚的體長(zhǎng)，與天數(shù)f具有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系.現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，得

]20120]20

到如下統(tǒng)計(jì)量的值：=—=10.5,2=—^z.=-3.83,vv=—=-1.608,

20G20G20勺

202020

Z(—)=665,^(z,-z)(r,-F)=-109.06,工(嗎-沔&-亍)=-138.32,其中

/=1z=]i=l

z,=ln化]、uy

一,=In--1,根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及給定數(shù)據(jù)，求y關(guān)于，的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并

lx-u）Wj（y）

預(yù)測(cè)第22天時(shí)仔魚的體長(zhǎng)（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（不，匕），（巧，/），…，（土,以）其回歸直線5=a+加的斜率和截距的最小二乘估

計(jì)分別為5=『-------------，a=y-hx；參考數(shù)據(jù)：e-4?0.0183.

力看一可2

/=1

【答案】（1）y=擬合效果更好,答案見解析

1+e

八12.5

⑵y~j+eo.576-（）,2O8f，12.28mm

【解析】

【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合兩個(gè)模型的特征進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.

小問1詳解】

Logistic非線性回歸模型y=-擬合效果更好.

1+e

從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)更均勻地分布在該模型擬合曲線附近；

從殘差圖看，該模型下的殘差更均勻地集中在以殘差為0的直線為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).

【小問2詳解】

/\

將丁=―轉(zhuǎn)化為I11--1=a-bt,

l+e"-〃[y）

20

之（叱-訪）（—）—13832

則/=J-----------=_^^=_（）.208,所以另=0.208，

g（一、2665

/=1

所以?=而一卜A）i=-1.608+0.208xl0.5=0.576.

所以y關(guān)于，的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為Ri工?！x?

125125

當(dāng)y22時(shí)，體長(zhǎng)處J+e。w=寸“12.28mm.

20.如圖，在四棱錐V—ABC。中，底面ABCO為菱形，AB=2,ZR4O=60°，△VBC為等邊三角

形.

(2)若二面角A-3C-K的大小為60°,求直線憶4與平面VBC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)取8c中點(diǎn)￡,連接8。，DE，VE,依題意可得。￡_L3C、VE1BC,即可得到

8cl平面OEV,從而得證；

(2)取OE中點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【小問1詳解】

證明：取8c中點(diǎn)E，連接6￡),DE，VE,

因?yàn)?80)為菱形且/84。=60，

所以△BCD為等邊三角形，故DE,8c.

又在等邊三角形VBC中，VE1BC,DEcVE=E,QE,VEu平面DEV,

所以BC1平面OEV,

因?yàn)閂Du平面。EV,

所以8C_LVD；

由DEA.BC,可得/DEV就是二面角A-BC—V的平面角，所以NDEV=60°,

在△OEV中，VE=DE=6所以△OEV為邊長(zhǎng)為舊的等邊三角形，

由（1）可知，面。底面ABCD,取DE中點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

以ZM，OE，0V所在的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

、

n3(百

在中,OE=—，OV=-,可得A2,-~2,0,81,洌,fl，2，。/

227\

V。，。，|

故CB=(2,0,0),CV-1,-,AV=-2,^^,；,

(22)I22J

'2x=0

設(shè)”=(x,y,z)為平面MB。的一個(gè)法向量，則有，63

x----y+—z=0

I2-2

令〉=石，則z=i,得〃=（o,G』），

設(shè)直線E4與平面VBC所成角為e,

則有sin0=cos(〃,AV)=~=----尸=

、/\A-\AV\2XV714

故直線L4與平面VBC所成角的正弦值為迎.

14

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P到點(diǎn)F（加,0）的距離與到直線％=2近的距離之比為孝.

（1）求點(diǎn)P的軌跡。的方程;

（2）過點(diǎn)（0,1）且斜率為上42）的直線/與。交于A,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M,線段48的垂直

平分線與，軸交于點(diǎn)N,求時(shí)的取值范圍.

尤2V2

【答案】（1）土+匕=1

42

⑵魯1取曬|

|MN||_55J

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓弦長(zhǎng)公式、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

/、

設(shè)KM，由題意已1^1畫=彳V2，

因?yàn)闅w尸卜/尸血丁+產(chǎn),所以曰『小=￥'

即"（4―血]+丁=曰卜一20卜兩邊平方并整理得:+5=1.

故點(diǎn)P的軌跡C的方程為三+二=1；

42

【小問2詳解】

設(shè)直線/方程為y=^+i[/w左<2）,

聯(lián)立《42一，消y并整理得，（2左2+i）f+4西一2=0,顯然A>0,

y=kx+\

4A2

設(shè)A（%,y）,B（x,y）,則玉+馬

222公+11-2爐+1

/\2可得線段鈣中點(diǎn)坐標(biāo)為-島‘高'

又y+%=%（%+々）+2=/1

乙KI1

所以線段.中垂線的方程為廣高

k

令可得N一笠1'°）'

對(duì)于直線丁=依+1,令y=0,可得M[-

所以阿|二1/

82”+H

又|A8|=J1+向%一引=Jl+%2H---z---18k2+2

2r+12公+1

|A劇2