第28講 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第06講正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解并掌握用單位圓作正弦函數(shù)以及

作余弦函數(shù)的圖象的方法.掌握數(shù)形結(jié)三角函數(shù)的圖象是認(rèn)識三角函數(shù)的窗口，通過本節(jié)課的

合的優(yōu)勢.學(xué)習(xí)要求會作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的同時，能認(rèn)

2.通過兩類函數(shù)圖象認(rèn)識函數(shù)圖象的特識圖象與三角函數(shù)的密切關(guān)系，并能解決與圖象有關(guān)的

點(diǎn)，并能通過兩類圖象的形狀掌握兩三角函數(shù)問題.

類函數(shù)的性質(zhì).

種笈知識精講

皂知識點(diǎn)01正弦函數(shù)的圖象

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)

實(shí)數(shù)集與角的集合之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而一個確定的角對應(yīng)著唯一確定的正弦（或余弦）值.這樣，任意

給定一個實(shí)數(shù)X,有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應(yīng).由這個對應(yīng)法則所確定的函數(shù)產(chǎn)sinx（或產(chǎn)cosx）

叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域是R.

2.利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象

如圖，在直角坐標(biāo)系的x軸上取一點(diǎn)。，以O(shè)i為圓心，單位長為半徑作圓，從。Oi與x軸的交點(diǎn)A起,

把。Oi分成12等份（等份越多，畫出的圖象越精確）.過。Oi上各分點(diǎn)作x軸的垂線，得到對應(yīng)于

11TT11

0,,2兀等角的正弦線.相應(yīng)地，再把X軸上從0至汁2兀（2兀=6.28）這一段分成12等份.把角

632

X的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與X軸上的點(diǎn)X重合，再把這些正弦線的終點(diǎn)用光滑的曲線連接起來,

即得到函數(shù)產(chǎn)sinX,XG[0,2兀]的圖象.

y=sinx9xe[0,2TT]

將函數(shù)y=sinx,X￡[0,2TC）的圖象向左、向右平行移動（每次2兀個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)

y=sinx,的圖象，如圖.正弦函數(shù)y=sinx,的圖象叫做正弦曲線（sinecurve）.

3.五點(diǎn)法作產(chǎn)sinx,尤￡[0,2元]的簡圖

7TSir

在函數(shù)產(chǎn)sinx,xe[0,2切的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個：（0,0）,（2，1）,（兀,0）,（萬,—1）,（2兀,0）,

如下表:

713兀

X02兀

2~2

產(chǎn)sinx010-10

描出這五個點(diǎn)后,函數(shù)尸sinx,xe[0,2兀]的圖象形狀就基本上確定了.因此，在精確度要求不高時，我

們可以先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的

方法稱為五點(diǎn)法作圖.

堂知識點(diǎn)02余弦函數(shù)的圖象

1.利用圖象變換作余弦函數(shù)的圖象

7T7T

根據(jù)誘導(dǎo)公式，由y=cosx=cos（-x）=sin[5-（—x）]=sin（x+]）,可知余弦函數(shù)的圖象可以通過將

正弦曲線向左平移四個單位長度而得到.如圖所示.類似地，我們把余弦函數(shù)丁=。。$乂%€11的圖象叫

2

做余弦曲線（cosinecurve）.

2.用五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象

與正弦函數(shù)的圖象一樣，在函數(shù)y=cosx,xe［0,2兀］的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個:

jr57r

(0,1),(-,0),(兀,-1),(丁,0),(2兀,1),如下表:

22

713兀

X0n2兀

2T

y=cosx10-101

同樣，在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來,

就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法也稱為五點(diǎn)法作圖.

【即學(xué)即練1】用五點(diǎn)法作函數(shù)尸2sinx-1的圖象時，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是（）

A.0,專兀,耳，2兀冗3冗

B.0,7C

245，T

n712乃

C.0,武,2兀,3乃,4%D.0,

6T

【即學(xué)即練2】不等式sinx…一（0,2%）的解集為（)

2

7t冗7T3"n3兀7t71

A.一k'ZB.C..I,TD..7'7.

【即學(xué)即練3】使得sinx>8sx正確的一個區(qū)間是（)

工兀)(7137c

A.12B.J,T1

5)

C-D.

【即學(xué)即練4】用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sinx在［0,2句上的圖象時，應(yīng)取的五個點(diǎn)依次為

【即學(xué)即練5］根據(jù)函數(shù)》=$也》圖像，可得方程sinx=0（xeR）的解為.

（即學(xué)即練6］函數(shù)=cosx相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間距離為.

【即學(xué)即練7】已知余弦函數(shù)過點(diǎn)（4,利），則〃?的值為.

【即學(xué)即練8］若函數(shù)y=sinx,xe［O,a］與x軸有5個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【即學(xué)即練9】用五點(diǎn)法作函數(shù)y=l+2sinx,xe［-2萬⑼圖像時，最高點(diǎn)為.

【即學(xué)即練101滿足cosx<0,xe［0,2汨的x的取值范圍是.

Q能力拓展

考法

作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

（1）作正弦函數(shù)圖象時的關(guān)鍵點(diǎn)：

作正弦函數(shù)y=sinx,%€［0,2兀］的圖象時，其中起關(guān)鍵作用的是函數(shù)產(chǎn)sinx,xe［0,2汨與x軸的交點(diǎn)

及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)這五個點(diǎn).這五個點(diǎn)我們可以稱之為正弦曲線的特征點(diǎn)，在x軸上的三個點(diǎn)是函數(shù)上

凸、下凹的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，而最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn).利用五點(diǎn)作圖法時，只要描出這五個點(diǎn)，

在x軸上方的兩點(diǎn)間曲線向上凸，在x軸下方的兩點(diǎn)間曲線向下凹，就可快速作出圖象.

（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)的異同：

作余弦函數(shù)y=cosx,xw［0,27t］的圖象時，其中起關(guān)鍵作用的是函數(shù)y=cosx,xe［0,2兀|與%軸的交

點(diǎn)及最高點(diǎn)和最低點(diǎn).與正弦函數(shù)y=sinx,xe［0,2兀］的圖象相比：二者的圖象的最低點(diǎn)都只有一個；

余弦函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有2個，而正弦函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有3個；余弦函數(shù)圖象的最高點(diǎn)

有2個，而正弦函數(shù)圖象的最高點(diǎn)只有1個.

【典例1］在［0,2兀］內(nèi)，作出函數(shù)y=3-sinx的圖象.

【典例2】畫出函數(shù)y=1+cosx,》《［0,2兀］的圖象.

【典例3】已知點(diǎn)停,M在余弦曲線上，則產(chǎn)（）

O

A.BB.-gC.；D.

2222

【典例4】（多選題）對于余弦函數(shù)y=cosx的圖象，有以下描述，其中正確的描述有（）

A.將［0,2句內(nèi)的圖象向左、向右無限延展

B.與，=$皿》的圖象形狀完全一樣，只是位置不同

C.與％軸有無數(shù)個交點(diǎn)

D.關(guān)于>軸對稱

【典例5】用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=l—cosx,xe［0,2%］的圖象時，應(yīng)取的五個關(guān)鍵點(diǎn)分別是.

【典例6】試求關(guān)于x的不等式1<sinx?立

22

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.若函數(shù)f(x)=/singx-l的定義域?yàn)?)

7C,.5〃"...

A.—+6k7r,--+6k7r(A：GZ)

\_22]

B.—+6k,—+6k(A：GZ)

\_22]

7i八57r八，.

C.—+6k7V,——+6k7r(AwZ)

44_

D.—+6k,—+6k(&wZ)

44

Inr

2.分別對應(yīng)于函數(shù)'=》5山》，y=xcoax,y=——，y=xe'的圖象的正確順序是（).

3.已知。是實(shí)數(shù)，則函數(shù)〃x）=1+asin奴的圖象不可能是（)

4,若y=/（x）的圖像與y=cosx的圖象關(guān)于X軸對稱，則y=/（x）的解析式為（）

A.y=cos(-x)B.y=-cosx

C.y=cos|XD.y=|cosx|

5.根據(jù)函數(shù)丫=4g的圖像，可得方程sinx=O的解為()

A.x=2kn(ReZ)B.x=k兀(ZwZ)

jr37r

C.x=—Fku(攵EZ)D.x——+2左乃(JIGZ)

22

6.方程log2工=cosx的實(shí)根個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.無數(shù)個

7.函數(shù)y=sinx,X￡［0,2%］與y圖像交點(diǎn)的個數(shù)為（)

A.0B.1C.2D.3

8.用五點(diǎn)法畫y=3sinx,xe［（）,2;r］的圖象時，下列哪個點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)（）

A.eg）B-C.（4,0）D.（2萬,0）

9.在［0,2同內(nèi)，不等式sinx<-*的解集是（）

A.（0,左）B.C.［T，TJD.3,2萬）

題組B能力提升練

1.函數(shù)y=xsinx部分圖象大致為（）

2.函數(shù)_/（x）=sinx+2|sinx|,xe［0,2%］的圖象與直線y=Z的交點(diǎn)個數(shù)可能是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（多選題）已知點(diǎn)尸仔,9、°仁同、s停4若這四個點(diǎn)中有且僅有兩個點(diǎn)在函數(shù)

/（x）=sinox的圖象上，則正數(shù)。的可能值為（）

A.2B.4C.8D.12

4.（多選題）函數(shù)y