高三數(shù)學(xué)精練：不等式

高三數(shù)學(xué)專(zhuān)題精練：不等式

一、選擇題(10小題，每題5分)

3x—y—6<0

1.設(shè)X,y滿足約束條件x—y+220/若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0,

x>0,y>0

b>0）的值是最大值為12,則3+2的最小值為（）.

ab

A.25B.8C.HD.4

~63T

2.若不等式組［X2°所表示的平面區(qū)域被直線、,=履+f分為面積

*x+3y>4,3

3x+y<4

相等的兩部分，則k的值是

(A)7(B)3(C)4(D)3

3734

3?"a-￥c"是"a且c>/的B

A.必要不充分條件B.充分不必要條件,

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4、若不等式f(X)=g_x_c>0的解集,則函數(shù)y=f

(-X)的圖象為()

t2x+y>4,

5.設(shè)兩足<x-y>i,貝」z=x+y

x-2y<2,

(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,無(wú)最大

值

(C)有最大值3,無(wú)最小值(D)既無(wú)最小值，也無(wú)最

大值

6.已知D是由不等式組卜-2”°,所確定的平面區(qū)域，則圓

x+3y>0

“2+尸=4在區(qū)域口內(nèi)的弧長(zhǎng)為[]

AqB?C21D空

72TT

x+y>3

7.設(shè)變量x,v滿足約束條件：x-”-1?則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最

2x-y<3

小值為

(A)6(B)7(C)8(D)23

x+y-l>0

8.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組-I(a為常數(shù))所表示

tzx-y+1>0

的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2,則“的值為

A.-5B.1C.2D.3

9.不等式對(duì)任意X實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A?(-00,-1][4,+00)

+3]—<Q2_3a

B?S,-2][5,M)U

C?[L2]UD.S,1][2,+a))

10?已知a>0/>0，貝(11+2+2展的能小彳1>()

ab

A.2B.2JZC.4D.5

二、填空題(5個(gè)題，每題4分)

11.若x>0，則x+2的最小值為.

y>2,

12.若實(shí)數(shù)二y滿足不等式組2x_y<4,則2x+3》的最小值是.

x-yNO,

13不等式px-i口x-2|<0的解集為.

45x

14.若行列式］*3中，元素4的代數(shù)余子式大于0,則x滿足的條件

789

是______________?

y<2x

15.已知實(shí)數(shù)x、y滿足卜“2x則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是

x<3

三、解答題（10分）

16.甲、乙兩地相距S（千米），汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度最

大不得超過(guò)c（千米/小時(shí)）.已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（元）由可

變部分與固定部分組成.可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成

正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b;固定部分為a元.

（1）試將全程運(yùn)輸成本Y（元）表示成速度V（千米/小時(shí)）的函數(shù).

（2）為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？

17.(本小題滿分10分)圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要

求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新

建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示,

已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊

墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)。

(I)將丫表示為x的函數(shù)：

(n)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最

小總費(fèi)用。

18.(10分)已知〃x)=土上(xwR)在區(qū)間I1]上是增函數(shù)。

X2+2

(I)求實(shí)數(shù)0的值所組成的集合A；

(n)設(shè)關(guān)于的方程/(x)=_L的兩個(gè)根為八》,若對(duì)任意xeA及

X12

fe[-l,l],不爵C

ZH2+/7H4-1>\x-XI恒成立，求加的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1—5AAABB6—10BBBA

C

1.【答案】：A

【解析】：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線

ax+by=z(a>0,b>0)

過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)

x-y+2=0

時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)2=2乂+6丫(a>0,b>0)取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6,而

3+。=(3+3)溝老="+—+2=豈，故選A.

abab66ab663x-y-6=0

【命題立意】：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和

由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.要求能準(zhǔn)確地畫(huà)出不等式表示的平

面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對(duì)于形如已知2a+3b=6,求

2+2的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答.

ab

2.【答案］:A

【解析】：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分AABC

由［x+3y=4得A(l,1)又B(O4)C(0,，)斗4

［3x+y=43陟+9

,AABL，4-1)xl=；,設(shè)>="與3x+y=4的

交點(diǎn)為D，則由s=_LSAABC二知x=1,「.y

△BCD23。2。2'

1=入1+，水J選A。

2233

3.【答案】A

【解析】易得且c>d時(shí)必有a+c“+d.若w+c>b+d時(shí)，則可能有

a>d且c>b,選A。

4、【答案】：B

【解析】：依題意，有卜。+21=0，解得：］a=-l

J(x)=_x2_x+2,

］Q-1-C=0c=-2

f(-X)=_》2+X+2,開(kāi)口向下，與X軸交點(diǎn)

2x+y=4

為2,-1,對(duì)稱軸為x=￡

2

5.【答案】B

【解析】畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如右

圖，由2=乂+丫，得丫=-X+Z,令Z=0,畫(huà)

出y=-X的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過(guò)A(2,0)時(shí)，z取得最小值,

最小值為：Z=2,無(wú)最大值，故選.B

夾角，所以tana=，—J=1，所以a=?,而圓的半徑是2,所以

一1,葭4

弧長(zhǎng)是三，故選B現(xiàn)。

2

7.【答案】:B

讓目標(biāo)函數(shù)表示直線”4+*可行域上平移，知在點(diǎn)B自目

標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組上+=3得（21,所以z=4+3=7,

2x-y=3的

故選擇Bo

1；a=2時(shí)，面積是3;當(dāng)a=3時(shí)，面積恰好為2,故選D.

2

9.【答案】A

【解析】因?yàn)橐?4X+3-X-1W4對(duì)x+3-3a對(duì)任意X恒成立,

所以。2-3。24即。2一3。20,解得a24或a4-1

10.【答案】C

【解析】因?yàn)椋?；+2展22怎+2屐=2德+阿24當(dāng)且僅當(dāng)

1=1,且匚眄，即a=b時(shí)，取一號(hào)。

abylah

二、選擇題

11?【答案】：20

【解析】：X>O=X+3N2/，當(dāng)且僅當(dāng)x==x=#時(shí)取等號(hào).

XX

12.【答案】：4

*?

【解析】通過(guò)畫(huà)出其線性規(guī)劃，可知直線y=_|x+z過(guò)點(diǎn)（2,0）時(shí)，

（2x+3y）=4

min

【命題意圖】此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問(wèn)題，此題的

考查既體現(xiàn)了正確畫(huà)線性區(qū)域的要求，也體現(xiàn)了線性目標(biāo)函數(shù)最值求

解的要求

13?【答案】：{xl-l<x<l}

【解析】：原不等式等價(jià)于不等式組①，XN2或②

2x-l-（x-2）<0

1c

—<x<2

2

2x—1+(x—2)<0

或③不等式組①無(wú)解,由②得由③得

2

—(2尤—1)+(x—2)<0

綜上得所以原不等式的解集為{xl-l<x<l}.

【命題立意】:本題考查了含有多個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法，需要

根據(jù)絕對(duì)值的定義分段去掉絕對(duì)值號(hào)，最后把各種情況綜合得出答案.

本題涉及到分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.

14.【答案】X〉8

3

16.解:⑴依題意得，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為2,全程

運(yùn)輸成本為y=a-A+bv2?金=s(q+bv),故所求函數(shù)及其定義域?yàn)関

VVV

=s(￡+bv)ve(O,c)

V

(2)?.0a、b、v￡R+,故s(°—+bv)>2s77a。當(dāng)且僅當(dāng)一°=bv時(shí)取等

vv

號(hào)，此時(shí)V=r

若IWC即V=M時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小.

若g“，則當(dāng)V￡(0,C)時(shí)，

y=s(?+bv)-s(a+bc)=A(c-v)(a-bcv)

VCVC

'.c-v>0,且a>bc2,故有a-bcv>a-bc2>0

??.s(?+bv)>s(￡+be),且僅當(dāng)v=c時(shí)取等號(hào)，即v=c時(shí)全程運(yùn)輸

Vc

成本最小.

17解：(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am

貝Uy2-45x-180(x-2)+18(y2a=225x+360a-360

由已知xa=360,^a=360,

X

所以y=225x+36Q2_360(r、0)

QI)x>0,:.225x+吧122/25x3602=10800

X

y=225x+2521-360>10440.當(dāng)且僅當(dāng)225x=雪時(shí)，等號(hào)成立.

XX

即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元

18.解：（I）戶（吟_4+2以―—-2（心一ax二2）,

J（心+2）2（X2+2）2-

.?"（X）在區(qū)間T1］上是增函數(shù),???一x）N0對(duì)XGT1］恒成立,

即-2W0對(duì)恒成立

(p(l)=l-a-2<0

設(shè)叭》）=彳2-以-2,則問(wèn)題等價(jià)于<