2023-2024學(xué)年廣東省廣州高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題1(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.經(jīng)過點（1,0）,傾斜角為150°的直線方程是（）

A.y=-y/3x+\B.y=-^-x+1C.y=-^-x+^~D.y

33333

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系可求得斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得結(jié)果.

【詳解】由傾斜角為150,可得，直線斜率為左=tan150〃=-3

3

由直線的點斜式方程得直線方程為＞-0=-乎（X-1）;

即y=_近x+也.

?33

故選：C.

2.等比數(shù)列匕,｝中，4=2,4=4,則%等于（）

|3r-

A.-B.-C.1D.72

【正確答案】C

【分析】利用等比中項直接計算即可.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

所以aj=出4即4=4的，解得生=1，

故選：C

3.三棱柱48C-OE/中，G為棱/。的中點，^BA=a,BC=b,BD=c,則（）

IXX>

B.—Q+6+C

2

?XjX>[XX]）

C.——a+—b+cD.-a-b-^—c

2222

【正確答案】D

【分析】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可.

【詳解】

'""■K]IXX1X

CG=CA+AG=CA+-AD=（BA-BQ-a-b+-c

22

故選：D.

4.若直線2x+6y-l=0與直線加x-2y+7=0垂直，貝1」機(jī)=()

A.—6B.6C.—D.—2

3

【正確答案】B

【分析】由兩條直線垂直的條件即可得解.

【詳解】因為直線2x+6y—1=0與直線加x-2y+7=0垂直，

所以2m+6x(—2)=0,得,”=6,

所以，"=6.

故選：B.

5.已知產(chǎn)為拋物線/=4x的焦點，尸為拋物線上任意一點，。為坐標(biāo)原點，若|尸尸|=3,

則|OP|=()

A.2.72B.3C.2也D.V17

【正確答案】C

【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合I尸用=3,求得點尸的坐標(biāo)，即可求得答案.

【詳解】由題意尸為拋物線/=?的焦點，則?(1,0),且準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)P(%力)，由|P尸|=3可得xp+l=3,:.xp=2，代入/=而得吊=8,

即尸(2,±20),故|OP|=Jx：+城=厄=26,

故選：C

6.已知41,-2,1),5(1,-5,4),C(2,3,4),則在北上的投影向量為()

A.（0,-1,1）B.（0,1,-1）C.（0,V2,-V2）D.（0,-五，五）

【正確答案】B

【分析】直接根據(jù)空間向量的投影計算公式求出zd在4片上的投影，進(jìn)行計算/d在“3上

的投影向量.

【詳解】因為4d二（1,5,3）,力片二（0,—3,3）,所以/《：/方10+5x（-3）+3x3=-6.

因為|邳30，所以智=^=會

故/C在/片上的投影向量為金/8=-§/5=（0,1,-1）

故選：B

7.已知直線/經(jīng)過點火2,1,1）,且2（1，0,1）是/的方向向量，則點64,3,2）至心的距離為（）

A.yB.—C.—D.72

222

【正確答案】C

【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求cos<AF>'^,再根據(jù)點到直線距離為|崩菽”4方企即

可求結(jié)果.

-3yfl

【詳解】由題設(shè)4尸=（2,2,1）,則COSV4尸，心一?，

\AP\\n\V22+22+12xJ12+02+122

/-------------/T一

所以sin〈Z尸,〃>=Jl-cosl/P4〉=?而|ZP|=3,

故P到/的距離為MP|sin〈/P,〃>=-^-.

故選：C

8.設(shè)雙曲線。：1-2=1（〃>0力>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,離心率為6，P是雙曲線

a~b

C上一點，且/耳尸瑪=60乙若△耳尸鳥的面積為4石，則△耳尸鳥的周長為（）

A.2#+6瓶B.6+26C.后+2D.26+2太

【正確答案】A

【分析】由三角形面積公式可求|丹訃歸用|=16,結(jié)合余弦定理得

2

忻引=\PFt|+\PF2^-2\PF{I?\PF2\COS^PF2=（|PF,\-\PF2|尸+2|尸/訃|年|

-2|尸聞p&cosNG%,由離心率可求出見瓦c,同理結(jié)合

歸用）+歸周2=（歸用+歸周不一2|產(chǎn)用.歸閭代入余弦定理可求歸制+|「局，進(jìn)而得解.

【詳解】由題可知％明=；1巴訃附2|與以開尸2=46，ZF,PF]=60",求得|尸耳卜|「圖=16,

對△耳尸名由余弦定理可得

2

陽引=伊外+1明『-21「甲.|%|cosNR”=(I巾HPF1|)+2\PF,\-\PF2\

-2\PF^\PF2\COSZF｝PF2,即(2c『=(2〃)2+2|期卜|尸引-2|尸甲.|PB|cos/G尸耳,

即4〃=16,6=2,因為/=彳="；，=3,解得。2=2,。2=6,

aa

又

2

山闖2=儼片氣歸引2-2|戶印.戶用cosZF|P^=(|PFJ+|PBI)-2\PF]-\PF2\-2|PF,|.\PF2|cos^FtPF2,

即4c2=(|尸用+|P同y-2|產(chǎn)聞?|年|-2|尸印.|%|cosHP6,解得網(wǎng)|+1圖=60,

陽閭=2c=2",

所以△片尸鳥的周長為|產(chǎn)甲+歸國+內(nèi)5|=2血+6&.

故選：A

二、多選題

9.數(shù)列｛%｝的前“項和為S,，已知S,,=f2+7〃，則下列說法正確的是()

A.包｝是遞增數(shù)列B.須=-14

C.當(dāng)〃>4時，a?<0D.當(dāng)〃=3或4時，S”取得最大值

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)S,,表達(dá)式及〃22時，a“=S“-S,i的關(guān)系，算出數(shù)列｛&｝通項公式，即可判斷

A、B、C選項的正誤.S,,=-〃2+7〃的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.

【詳解】當(dāng)“22時，=S“一S,T=-2"+8,又％=S|=6=-2xl+8,所以a“=-2〃+8,

則｛q,｝是遞減數(shù)列，故A錯誤；

%。=-12,故B錯誤；

當(dāng)〃>4時，a“=8-2”<0,故C正確;

7

因為5“=-/+7〃的對稱軸為”=5,開口向下，而〃是正整數(shù)，且”=3或4距離對稱軸一

樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)〃=3或4時，S“取得最大值，故D正確.

故選：CD.

10.已知直線/：Ax-y+”=0和圓。：/+「=9,則()

A.直線/恒過定點(2,0)B.存在％使得直線/與直線小k2夕+2=0垂

直

C.直線/與圓。相離D.若火=-1,直線/被圓O截得的弦長為24

【正確答案】BD

【分析】A選項，化為點斜式可以看出直線恒過的點，

B選項兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為T,從而存在發(fā)=-2滿足題意，

C選項直線過的定點在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項；

當(dāng)左=-1時，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長

【詳解】直線，：b-y+2A=0,即y=A(x+2),則直線恒過定點(-2,0),故A錯誤：

當(dāng)后=-2時，直線/:點一丁+2左=0與直線/0:x-2y+2=0垂直，故B正確；

???定點(-2,0)在圓。：/+/=9內(nèi)部，，直線/與圓O相交，故C不正確：

當(dāng)斤=-1時，直線/化為一x-y-2=0,即x+y+2=0,

圓心O到直線的距離d=號=&,

直線/被圓。截得的弦長為2百二1=2力，故D正確，

故選：BD.

11.設(shè)1b，；是空間一個基底，下列選項中正確的是()

A.若a_L6，bLc>則a_Lc;

B.則J,b，c兩兩共面，但】b.c不可能共面；

C.對空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使/?=X°+皿+2,；

D.則a+b，b+c-q-c一定能構(gòu)成空間的一個基底

【正確答案】BC

【分析】a,c所成角不一定為A錯誤，a，b，c共面不能構(gòu)成空間的一個基底，B正確,

根據(jù)空間向量基本定理得到C正確，a+b>b'+c>向量共面，D錯誤

【詳解】aLb，blc，則a,c所成角不一定為5,A錯誤；

若；，b,；共面，則不能構(gòu)成空間的一個基底，B正確；

根據(jù)空間向量基本定理得到總存在有序?qū)崝?shù)組(x,%z),使C正確；

a+b'=+故b+c，向量共面，不能構(gòu)成空間的基底向量，D錯誤.

故選：BC

2222

12.如圖，P是橢圓q：?+4=l(a>6>0)與雙曲線C2:j-4=l(加>0,”0)在第一象

abmn

限的交點，且GC共焦點小E，N耳尸8=。6，。2的離心率分別為則下列結(jié)論不正確

13

A.\PFt\-m+a,\PF2\-m-aB.若6=60。，則方+丁=4

q紇

c9b

C.若夕=90。，則e；+e；的最小值為2D.tan—=—

2n

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線定義計算判斷A；由余弦定理計算判斷B,C；

由余弦定理、二倍角的余弦計算判斷D作答.

‘附|+|尸閭=2。

【詳解】依題意,廂-|尸閭=2%,解得|尸周=。+叫尸閶=。mA不正確;

令|月行卜2c,由余弦定理得：

222

%g=\PF.\+\PF2\-\F,F21^(4+用)2+(”加)2_4°2=_+心2c2

22

2\PFt\\PF2\~—2(a+m)(a-m)a-m

當(dāng)6=60°時，/+3/=4/,BP(-)2+3(-)2=4,因此4+?=4,B正確；

CC96

當(dāng)6=90。時，/+/=勿2,即(與2+(巴)2=2,有二+4=2,

ccele2

而則有e；+e；=2q2M<2(安或了，解得e；+e；>2,C不正確;

八a2+m1-2c1(a2-c2)-(c2-m2)b1-n1

cos0=-----；-----；—=—3——；-------；------=-——L———,

a-m(a-c)+(c-m)b+n1z^2

cos"Tin建Jan"l-tan211-(a2

cos^cos^-sin^=

22e.2于是得

22cos2^+in2ltan^1+tan2g1+(與

S21+

222b

解得tan2g=(r/，而tan，>0,?>0,因此tan—=2,D不正確.

2b2b2h

故選：ACD

三、填空題

13.已知數(shù)列｛〃“｝滿足％=2,a“+i=l-J,則。2022=.

【正確答案】-1

【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項，由此確定數(shù)列的周期，再求阻必.

【詳解】因為4=2,所以。2=1-^=；,4=1一(=-1,%=1-_=2,所以數(shù)列｛凡｝是

周期為3的數(shù)列，出022=%*674=%=T.

故-1

14.已知點8是點4(-2,1,3)關(guān)于坐標(biāo)平面上內(nèi)的對稱點，則阿'=.

【正確答案】714

【分析】按照點關(guān)于平面對稱的規(guī)律求出B的坐標(biāo)，再利用空間兩點的距離公式進(jìn)行求解即

可.

【詳解】因為點5是點工(-2,1,3)關(guān)于坐標(biāo)平面yoz內(nèi)的對稱點，

所以8(2,1,3),

所以喇=V22+l2+32=E.

故答案為.疝’

15.如圖，在正四棱柱/8CD-48GA中，E,尸分別是力耳，8G的中點，則下列結(jié)論

不成立的是.

①E尸與垂直；②EF與8。垂直；③EF與C。異面；④EF與4G異面.

【正確答案】④

【分析】連4C,AC,根據(jù)三角形中位線可得斯〃NC,再結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征逐一

判斷各個命題作答.

【詳解】在正四棱柱/BCD—44GA中，連4。，AC,如圖，

因尸為矩形8CG4對角線8G的中點，則尸是8c的中點，而E是/用的中點，因此

EF〃AC,

因45_L平面，8CZ),/Cu平面/8CQ,則881J,/C,即有B4LEF,①正確；

正方形N8C。中，ACLBD,又EFHAC,則EF18。，②正確；

假若放,8在一個平面上，不妨設(shè)為平面a,由于"〃ZC,EFu平面a,NC<Z平面a,

所以4C7/平面a,又因為/Cu平面力BCD,平面［8CZ)c平面a=C。，因此CO///C,這

顯然不符合，故EF,CO不在一個平面上，則EF與CD是異面直線，③正確;

因正四棱柱-44GA的對角面/CG4是矩形，即zc〃4G，因此EF〃4G，④不

正確，

所以不成立的結(jié)論是④.

故④

16.如圖，已知斜率為-2的直線與雙曲線的右支交于/,8兩點,

點A關(guān)于坐標(biāo)原點。對稱的點為C,且48c=45。，則該雙曲線的離心率為.

【分析】取的中點連接0M,求得直線0M的斜率，再利用點差法求得與=2,進(jìn)

a23

而求得該雙曲線的離心率

【詳解】如圖，設(shè)直線48與x軸交于點。，取48的中點連接/C,0M,

由雙曲線的對稱性可知O為線段ZC的中點，則?！啊?C,

所以ZOMD=45。.由直線AB的斜率kAB=-2,得tanZODA/=-2,

,//八f小\tanZ^ODM+tan45°-2+1_1

則直線。加的斜率％/=^ODMZOMD)=——————

+l-(-2)xl~~3'

=1,

設(shè)4（X1,必），8（工2，/），則，

=1,

兩式相減，得占E-比A=o,化簡得；與

ab演+%2x}-x2a

2

即kOM.上初=5=~1X(-2)=?，

所以該雙曲線的離心率e=Ji?J=孚.

故嫗

3

四、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C上的動點P到點(1,0)的距離是到點(-1,0)的距離的6

倍.

(1)求曲線C的軌跡方程：

(2)若力(-2,2),求過點A且與曲線C相切的直線/的方程.

【正確答案】(l)(x+2y+y2=3

(2)V3x-3y+2>/3+6=0?KV3x+3y+273-6=0.

【分析】(1)設(shè)尸(xj),根據(jù)已知條件列方程，化簡求得曲線C的軌跡方程；

(2)設(shè)出直線/的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得直線/的斜率，進(jìn)而

求得直線/的方程.

7（X-1）2+/

【詳解】(1)設(shè)尸(x,y),由題意得=拒,兩邊平方并整理得(X+2)2+/=3,

J（X+if+/

故曲線C的軌跡方程為(x+2)2+「=3；

(2)曲線C：(x+2)2+/=3是以(-2,0)為圓心，半徑為力的圓.

顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y-2=%(x+2),

即fof-y+2k+2=0,所以?2"，+2\=也,解得％=±3，

我+13

所以直線/的方程為37+￥+2=0或殍-y-乎+2=0,

即而-3y+26+6=0或缶+3尸26-6=0.

18.在①q=l,S5=25；②%=5,a,=17；③S4=16,$=64這三個條件中任選一個補(bǔ)

充在下面的橫線上并解答.

已知等差數(shù)列｛〃“｝滿足.

（1）求數(shù)列｛對｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛3”/.｝的前〃項和卻

（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

【正確答案】（1）?！?2力-1,“GN*

（2）方=（"_1>3"“+3,weN；

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝公差為乩根據(jù)所選條件，利用等差數(shù)列通項公式和前〃項和

公式，列方程求解，可得數(shù)列的通項公式；

（2）利用錯位相減法求數(shù)列前〃項和

【詳解】（1）若選條件①，設(shè)公差為力

則由題知55=5%+；x5x4d,所以25=5+10d,解得"=2,

所以+（〃-l）d=2/7-1,weN\

若選條件②，設(shè)公差為力由題知所以[仁，

[%+&/=17[a=2

所以4=4=2〃-1,nGN*.

S,=4a.+—x4x3</=16,

；,所以%=1

若選條件③，設(shè)公差為d,由題知

d=2

Ss=8q+—x8x7t/=64,

所以%=4+(〃—l)d=2〃—1,ngN,.

(2)由題知7；=3+3才+5?33++(2n-l)-3",

所以37；=3?+3-33+5了++(2〃-3>3"+(2〃-l>3"M,

兩式相減得-27；=3+2-32+2-3J++2-3"-(2n-l)-3n+,

=3+2(32+33++3")-(2〃-1>3"”

=3+2.巴空2(2"

1-3

=37.(2-2〃)-6,

所以北=(〃-1)-3"T+3,〃wN,.

19.如圖，正三棱柱Z5C-4AG中，。是8c的中點，AB=BB、=2.

(1)證明：4B平面4CQ；

(2)求平面C4G與平面/CQ夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明過程見解析；

(2)半.

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)連接4c交/G于E,連接ED,因為正三棱柱的側(cè)面是平行四

邊形，所以E是4c的中點，而。是8c的中點，

所以ED〃B4,而EOu平面ZCQ,48a平面4CQ.

所以48平面/CQ；

(2)因為。是8C的中點，三角形N8C是正三角形，

所以4DJ.BC,設(shè)廠是8c的中點，顯然。產(chǎn)工平面4，G，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

。(0,0,0),C(0,-l,0),/(6,0,0),G(0,-1,2),

設(shè)平面C/G與平面ACXD的法向量分別為〃?=(%,M，zJ,〃=(%,%,Z2)，

NC：:卜返,-1,2),/1C=(-V3,-1,O),DA=(y/3,Q,Q),

則有收％<=°n產(chǎn)…+2Z'=°力=(1,心。)，

m-AC=0(-gx「M=0')

￡&'=。=卜.f+2馬=0=),

n-AD^O(-V3X2=0

(IL>/!>2^3V15

平面CAC,與平面AC,D夾角的余弦值為赤戶=夕/=-,

20.我國某沙漠，曾被稱為“死亡之海”，截至2018年年底該地區(qū)面積的70%仍為沙漠，只

有30%為綠洲.計劃從2019年開始使用無人機(jī)飛播造林，實現(xiàn)快速播種，這樣每年原來沙漠

面積的：將被改為綠洲，但同時原有綠洲面積的《還會被沙漠化.記該地區(qū)的面積為1個單

位，經(jīng)過一年綠洲面積為4，,經(jīng)過〃年綠洲面積為對.

(1)寫出q,并證明：數(shù)列是等比數(shù)列：

(2)截止到哪一年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過：？

【正確答案】(1)卬=急17，證明見解析：

(2)2022年

173143(4、

【分析】⑴根據(jù)題意求出4=去，并列出%構(gòu)造法求出為―ET%—4

從而得到「“-9］為公比為1，首項為q=的等比數(shù)列；

I51458

(2)在第一問的基礎(chǔ)上得到列出不等式，求出弓)‘＜!■,結(jié)合

“〃）=（（]，且〃3）＞],/（4）＜|,從而2018+4=2022,得到答案.

【詳解】（1）q=30%xlxU]+70%xlxg=*,

33I

設(shè)4+4=彳（?！ㄒ粅+4），則?！?%=^"〃-1一^7'

114

從而-/=7解得：

43

首項為q-?=-g的等比數(shù)列;

58

4

（2）由（1）得：a,--

〃5

令《圖+那’解得:

顯然/(〃)=(?"單調(diào)遞減,當(dāng)"=1時，/(3)=272，/八3

一〉一，/（4）

645―?2565

故2018+4=2022,即截止到2022年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過|.

21.如圖，在四棱錐P-/8C。中，底面/8CD為直角梯形，平面PCD_L平面Z8CZ),

ADLCD,PDLAC.S.AB=l,CD=^2,AD=^2

(1)證明：PD1BC；

（2）若直線總與平面PC。所成角的正弦值為手，求點C到平面尸8。的距離.

【正確答案】（1）證明過程見解析;

Q）巫.

3

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式和點到面距離公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因為平面PCD，平面ABCD,交線為CD,

且平面Z8CD中，ABVCD,

所以1平面尸8,

又POu平面「C。，

所以PD_L8Z,因為PD_LNC,AB4c=u平面月8。，

所以PD_L平面Z8C,而BCu平面/8C,

所以PDJ.8C；

（2）由（1）知，尸。1.平面/8?！辏┣?。_1。。，

所以DC、。尸兩兩垂直

因此以O(shè)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為48=1,CD=2,AD=6,設(shè)尸。=。

所以￡＞（0,0,0）,Z（五0,0）,8（61,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,a）,

因為平面尸CD,平面力8C。，交線為C。，且平面/8C3中，ADA.CD,

所以ND_L平面PCD,

所以1方為平面PC。的法向量且"61（-啦,0,0）,

PS=（V2,l,-?）,

因為直線PB與平面PCD所成角的正弦值為趙