2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(二)(含解析)

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線》-2^+機(jī)=0(〃?>0)與直線工+〃了-3=0互相平行，且兩者之間的距離是如，

貝IJ加+〃等于

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】B

【分析】利用兩條直線平行，及兩條平行線間的距離公式，可得方程組，解之即可得到結(jié)論.

【詳解】直線/1：》-2夕+機(jī)=0(?7>0)與直線/2：X+秋-3=0平行且兩者之間的距離是逐，

"=-2

,|m+3|n=-2?掰=2(負(fù)值舍去),

.'.m+n-0.

所以B選項(xiàng)是正確的.

本題考查兩條平行線間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.記S“為等比數(shù)歹(!｛%｝的前〃項(xiàng)和.若52=4,$=6,則￡=()

A.7B.8C.9D.10

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題目條件可得邑，54-S2)S6-S,成等比數(shù)列，從而求出S6-S4T，進(jìn)一步

求出答案.

【詳解】；S“為等比數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和，

二邑，S「S”$6-$4成等比數(shù)列

/.S2=4,S4—S2=6—4=2

?*.S6-Sq=l,

.\56=l+54=l+6=7.

故選：A.

3.已知桌上放有3本語文書和3本數(shù)學(xué)書.小明現(xiàn)從這6本書中任意抽取3本書，A表示

事件“至少抽到1本數(shù)學(xué)書”，8表示事件“抽到語文書和數(shù)學(xué)書”，則尸(0/)=()

1_9-18

A.—B.—C.—D.—

19101019

【正確答案】D

【分析】利用條件概率的公式求解.

【詳解】由題得〃(/)=《-C；=20-l=19,〃(，8)=C；G+C；C；=18,

由條件概率的公式得尸⑻/)=當(dāng)整=拼.

77(/4)19

故選：D

4.《長(zhǎng)津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國慶檔的熱門電影.某電影院的某放映廳在

國慶節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影.這兩部影片只各放映一次，且兩部電

影不能連續(xù)放映(白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù))，也不能都在白天放映，則放映

這兩部電影不同的安排方式共有()

A.30種B.54種C.60種D.64種

【正確答案】B

【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，求得結(jié)果.

【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有3局=6種，若白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，則有

C：?出=48種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.

故選：B

5.已知拋物線C:/=x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,A為C上的點(diǎn)，過A作/的垂線，垂足為B,

|網(wǎng)=1,則()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正確答案】C

【分析】先由I8尸1=1結(jié)合拋物線性質(zhì)可得NBFM=60°,再結(jié)合拋物線定義確定三角形尸

為正三角形，即可求出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)直線/與x軸交于點(diǎn)〃，

M尸X

/

則由拋物線C：V=x,可知忻M=g,又尸1=1,故N8FM=6「

0°,且NFBA=ZBFM=60°,

又由拋物線定義1"8|=|/尸|,則三角形IB尸為正三角形

故NBAF=60°.

故選：C.

/1、8

6.在卜2+2）（：+1）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.27B.28C.29D.30

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】（，+2）（5+lJ的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1+2C；（L）=30

故選：D

7.圓G：（x-l）2+（y-3）2=9和。2：X2+（J^-2）2=1,M,N分別是圓G，C?上的點(diǎn)，P

是直線y=-l上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值是（）

A.572-4B.Vn-lC.6-2近D.717

【正確答案】A

【分析】首先求得圓a關(guān)于y=7的對(duì)稱的圓的性質(zhì)，然后將問題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問題求

解最值即可.

【詳解】圓G關(guān)于y=T的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)4（1，-5）,半徑為3,

圓G的圓心坐標(biāo)（°，2）,半徑為1,

由圖象可知當(dāng)P,C2,q,三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值，

|^|+M的最小值為圓G與圓G的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

即：|￡|-3-1=Jl+49-4=5衣4.

本題選擇A選項(xiàng).

本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和

計(jì)算求解能力.

8.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)

學(xué)家楊輝所著的《評(píng)解九章算法》(1261年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展

開式的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,I,1,

1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1....記作數(shù)列若數(shù)列｛6｝的前”項(xiàng)和

為S“，貝ij%=()

A.265B.521C.1034D.2059

【正確答案】C

【分析】由歸納推理及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和可得：即G在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù),

9

則S57=2°+2'+...+2+(C*+C：。)=1034,得解.

【詳解】解：將1,1,1,1,2,1,3,3,1,1,4,6,4,1,….

分組為(1),(1,1),(1,2,1),(1,3,3,1),(1,4,6,4,I)-

則第〃組〃個(gè)數(shù)且第〃組〃個(gè)數(shù)之和為2"-'，

設(shè)陽在第〃組中，

則若1257也J

解得：n-\\,

即％在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù)，即為C：。,

9

則S51=2°+2'+...+2+（C*+Co）=1034,

故選：C.

本題考查了歸納推理及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和，屬于中檔題.

二、多選題

9.已知二項(xiàng)式（4-工]的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是上，則下列說法正確的有（）

y2x7128

A.展開式共有7項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D.展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

【正確答案】CD

【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是上

V2xJ128

所以令x=1可得Ji!—]=—=>—=—=>n=7

（2x1）1282"128

A：因?yàn)椤?7,所以展開式共有8項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；

B：因?yàn)椤?7,所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，

因此本選項(xiàng)說法不正確；

C：因?yàn)椤?7,所以所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2’=128,所以本選項(xiàng)說法正確；

8-3r

D：由B可知：3，當(dāng)「=0,2,4,6時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，

故本選項(xiàng)說法正確，

故選：CD

10.若3男3女排成一排，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.共計(jì)有720種不同的排法B.男生甲排在兩端的共有120種排法

C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為180種D.男女生相間排法總數(shù)為72種

【正確答案】BC

【分析】利用排列計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；利用特殊元素優(yōu)先考慮可判斷B選項(xiàng)；利用捆

綁法可判斷C選項(xiàng)；利用列舉法結(jié)合排列計(jì)數(shù)原理可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，共有A：=720種不同的排法，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，男生甲排在兩端，共有2A；=240種不同的排法，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若男生甲、乙相鄰，將甲、乙兩人捆綁，形成一個(gè)“大元素”,

此時(shí)共有A；A；=240種不同的排法，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，男女生相間，共有兩種情況：男女男女男女、女男女男女男,

共有2A；A；=72種不同的排法，D對(duì).

故選：BC.

11.過點(diǎn)P(L1)的直線與圓C：(x-2)2+/=9交于8兩點(diǎn)，線段是圓C的一條動(dòng)弦,

且|仞V|=4四，則()

9

A./8C面積的最大值為gB.48C面積的最大值為V

?UUUTLlLllIi

C.|/目的最小值為2近D.『M+P必的最小值為2收-2

【正確答案】BCD

【分析】設(shè)圓心C到直線的距離為d,求出|/回，即可判斷C；再由$皿=；|”卜九

iuuurUUTI,一?

求出/8C面積的最大值即可得出判斷出力,B；求+尸必的最小值轉(zhuǎn)化為求「目的最小

值即可得出判斷出D.

【詳解】設(shè)圓心C到直線的距離為力由題意得04140,\AB\=2^-d2,

1

則S2BC.d=J9/-J4,

當(dāng)/=2時(shí)，(5.灰)碎=9，故A錯(cuò)誤，B正確.

由04d4&，|4陰=2,9-相知|”/=2回工=2療,C正確.

如圖，過圓心C作CELAW于E,則￡為的中點(diǎn)，又|的|=4五，則|。?=，百=1,

即點(diǎn)E的軌跡為圓(X-2)2+J?=I.因?yàn)椴芳?叫=2庇］,且1KL=因卜1=血一1,

Huuur-uuii|

尸〃+叫的最小值為2五_2,故D正確.

故應(yīng)選：BCD.

12.已知雙曲線?且”42019),設(shè)直線x=2與雙曲線E,,在第一象限內(nèi)的

交點(diǎn)為4,點(diǎn)4在瓦,的兩條漸近線上的射影分別為紇,C“，記4紇Q的面積為明，則下

列說法正確的是()

A.雙曲線的漸近線方程為y=±x

C.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列D.a,+a2++a20l9=—

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)4(2,紇)，求出4(2/,)到兩漸近線的距離

d、也,從而得到即可得到｛為｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公

式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為紇"2-/=鼎(〃€印且"，2019),所以漸近線方程為

>=土x,設(shè)點(diǎn)4(2),)，則4-才=品”eN?且KH9),記4(2,%)到兩條漸近線的距離分

2U19

另ij為4,%，則4=—f=^、&=■7=^，

|4-斕n

2109=

4-4x2019

,r.I不”-辛蛤切112019X2018505

因ra此｛f4｝為等差數(shù)列，故+/r％+%+。刈9=丁面不乂2019+以能<=—

故選：ACD.

三、雙空題

13.己知N（-L-2）,8（2,l）,C（x,2）三點(diǎn)共線，則》=,直線Z8的傾斜角為.

【正確答案】35

【分析】由三點(diǎn)共線得斜率相等即可求解.

【詳解】直線”斜率為3=巖=1,3（7斜率為砧=乜，因?yàn)?（T，-2）,B（2,1）,C（X,2）

2+1x—2

三點(diǎn)共線，所以心=磯，則x=3,由tan"l得e=JTT所以直線的傾斜角為TT:

44

故3；￡

4

四、填空題

14.若（2+“."的展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)是160,貝ija=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式直接求出第4項(xiàng)，結(jié)合已知系數(shù)計(jì)算作答.

【詳解】（2+a"的展開式中的第4項(xiàng)為C>2i（ax）3=8大:江3=160總？,

依題意，160。，=160，解得。=1,

所以。=1.

故1

15.在等比數(shù)列｛%｝中，若％+出+%+，=與，則L+’+‘+’=

o8%a2a3。4

【正確答案】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；

11114+

【詳解】解：一+―+-+—=」~^+二一

qa2a3aAaA-a4a2-a3

?.,在等比數(shù)列｛%｝中，-aA=a2-a,,

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知雙曲線5-右=1（“>0,6>0））的左、右焦點(diǎn)分別是￡,￡,尸（玉,乂）,。（々,力）是雙

ab

曲線右支上的兩點(diǎn)，M+y=々+8=3.記PQ6。。工的周長(zhǎng)分別為G，。2,若G-G=8,

則雙曲線的右頂點(diǎn)到直線尸。的距離為.

【正確答案】立

2

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義爹

【詳解】解：根據(jù)雙曲線的定義，尸。+尸￡+。6)一(？。+9+。8)=4"=8.

所以“=2,故雙曲線右頂點(diǎn)(2,0),

因?yàn)橛?乂=工2+%=3,

所以P在x+y=3上，。在x+y=3上，即直線尸。方程為：x+y-3=0,

1_V2

所以雙曲線的右頂點(diǎn)到直線尸。的距離為4=

吟

五、解答題

17.(1)計(jì)算：3A；+4C：；

(2)已知x>0,求(l+x)+(l+x)2+(l+xY++(l+x)'°的展開式中丁的系數(shù).(用數(shù)字作

答)

【正確答案】(1)240；(2)330

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式即可求出；

(2)根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或者二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出.

【詳解】(1)3A：+4C：=3x5x4x3+4xU=240；

1x2

(2)(l+x)+(l+x)2+(l+x)3++(l+x)'°的展開式中V的系數(shù)和為：

C；+C：++C：°=(C：+C：)+C；+C；°=C：|=33(.

或者(l+x)+(l+x)2+(l+x)3++(］+蛾。=。+丫］［；；］；)］(l+x)-x-\t所以/的

=

系數(shù)為C1=330.

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)S“=2"”+〃-2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=log?(6,-1),求證：小+5+、+…+[-<1

她2她b3b4bpni

【正確答案】⑴%=2"+1

(2)證明見解析

S],〃=1

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式。“與和前〃項(xiàng)和公式5,的關(guān)系，a“=

S“一S,,_i，〃22,"eN

即可求出結(jié)果；

(2)由(1)可得a=〃，進(jìn)而可得-一二，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可證明結(jié)果.

bm+in?+1

【詳解】(1)解：由S“=2向+〃一2①，

所以，當(dāng)〃22H寸，Sz=2"+(〃-l)-2②，

由①一②，則%=2"+1(心2)

當(dāng)"=1時(shí)，4=S]=3,上式亦滿足，

綜上/=2"+1.

(2)解：由2=log2(%-l)=log22"=",

1111

所以卜卜=/

b也,+i=-n-----n-+7\7

所以

btb2b2b3b3b4b也+11x22x33x4〃(〃+l)

(2)將二項(xiàng)式的展開式中所項(xiàng)重新排成一列，求有理項(xiàng)互不相鄰的概率.

【正確答案】（1）7；（2）

【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出前三項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)式，利用這三個(gè)系數(shù)成等差數(shù)列并結(jié)

合組合數(shù)公式求出?的值，再利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)可求出x2項(xiàng)的系數(shù)；

（2）利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)求出展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3,總共是9項(xiàng)，利用排列思想得出

公共有d種排法，然后利用插空法求出有理項(xiàng)不相鄰的排法種數(shù)，最后利用古典概型概率

公式可計(jì)算出所求事件的概率.

【詳解】（1）???前三項(xiàng)系數(shù)1、；u、:戲成等差數(shù)列.

=1+；C：,即“2-9〃+8=0.二"=8或〃=1（舍去）

???展開式中通項(xiàng)公式加=禺（?廣（表）x^T,r=0.1,,8.

2

令4-丁=2,得r=3,

含x2項(xiàng)的系數(shù)為=7；

2_

（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，r=0,3,6.

.?.展開式共有9項(xiàng)，共有W種排法.

其中有理項(xiàng)有3項(xiàng)，有理項(xiàng)互不相鄰有用用種排法，

有理項(xiàng)互不相鄰的概率為尸=貨

本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)，考查排列組合以及古典概型的概率計(jì)算，在處理排列組

合的問題中，要根據(jù)問題類型選擇合適的方法求解，同時(shí)注意合理使用分類計(jì)數(shù)原理和分步

計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理與計(jì)算能力，屬于中等題.

20.已知拋物線C：V=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程為x=-l,過其焦點(diǎn)廠的直線/交拋物線。于

48兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為“，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，且直線。加的斜率為它.

2

（1）求拋物線。的方程；

（2）求408的面積.

【正確答案】（l）/=4x；

Q）娓.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，即可容易求得拋物線方程；

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用0M的斜率為理，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求

2

得直線/的方程，再用面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴由準(zhǔn)線方程為x=-l知，g=l,故夕=2；

則拋物線方程為/=4x.

(2)由題知直線/的斜率顯然不為0,又其過點(diǎn)尸(1,0)

故設(shè)直線/的方程為x=，g+1,4區(qū),M)，B(x2,y2)

fx=/ny+1.

聯(lián)立拋物線方程2)，化簡(jiǎn)得V-4〃"-4=0

[y=4x

則%+%=4加，yty2=-4

由線段月8的中點(diǎn)為知x“=五產(chǎn)，

七”=①=左上=號(hào)，代入韋達(dá)定理知，———=也，

范2tYix4m+22

整理得：2及加2_4加+夜=0，解得加=

故直線/的方程為后x-y-0=O

則S?=；x|O尸岡必-%卜;+為＞-4凹%

=；\(20)+16=〃.

故/O8的面積為后.

21.設(shè)數(shù)列0｝的前〃項(xiàng)和為S”，滿足%=1,2S?=a?tl-l.

(1)求出，的的值.

(2)求數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列｛%+2”1｝的前n項(xiàng)和7；.

【正確答案】(1)見解析;

【分析】(1)由出=2，+1,%=2§2+1求解即可；

(2)2Sn=an+]-\f當(dāng)〃22時(shí)，2S-1,兩式相減得2。〃=。向-?！?進(jìn)而得

誓=3(〃*2),檢驗(yàn)件=3,從而得對(duì)=時(shí)進(jìn)而利用分組求和即可.

【詳解】(1)'：2S?=a?+i-l,：,aa+i=2S?+i,

:.a?—2S|+1=2ai+1=3,a3=2S2+1=2(^+a2)+1=9.

(2)???2S〃-1,

:.當(dāng)〃22時(shí)，2Sn_i=an-1,

兩式相減得2?！?an+l-an,即凡+i=3an,

—=3(”22).

%

又由4=1,a2=3,得亍■=3,

/.數(shù)列｛《,｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

Aan=3"-'(HGN*),an+2n-\=y-'+2n-\,

,,.7；=30+1+3I+3+32+5++3"+2〃-1

=(3()+3'+32++31)*1+3+5++2?-J

1-3"(1+2〃-

-1-3T~

3M-12

=-------+n.

2

V-2y2=1(a>6>0)的焦點(diǎn)為々(TO),6(L0),且點(diǎn)小|)在E

22.已知橢圓R?+

記

上.

(1)求E的方程；

(2)已知過定點(diǎn)”(0,〃?)的動(dòng)直線/交E于48兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為N,若

0408-OMON為定值,試求加的值.