矩陣的秩及其求法

關(guān)于矩陣的秩及其求法21.

k

階子式定義1

設(shè)在A中任取k行k列交叉稱為A的一個(gè)k階子式。階行列式，處元素按原相對(duì)位置組成的一、矩陣的秩的概念設(shè)，例如矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為第2頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天3設(shè)，共有個(gè)二階子式，有個(gè)三階子式。例如而為A的一個(gè)三階子式。顯然，矩陣A共有個(gè)k

階子式。第3頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.

矩陣的秩設(shè)，有r

階子式不為0，任何r+1階記作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的話)全為0,定義2稱r為矩陣A的秩，二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。

例1為階梯形矩陣，求R(B)。解，由于二階子式不為0，所以R(B)=2.第4頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2求R(A)。5解：存在一個(gè)三階子式不為0，所以R(A)=3.A沒有4階子式，第5頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天6例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)”——非零行的行數(shù)。第6頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天7如果求a.解或例3

設(shè)分析：R（A)<3,A所有的3階子式為零，即A的行列式為零。第7頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天8則例3A有非零的1階子式，但A所有的2階子式都為0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=3<4,A所有的4階子式為零，即A的行列式為零。第8頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天92、用初等變換法求矩陣的秩定理1

矩陣初等變換不改變矩陣的秩。

即則注：只改變子行列式的符號(hào)。是A中對(duì)應(yīng)子式的k倍。是行列式運(yùn)算的性質(zhì)。第二種求矩陣A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行數(shù)，第9頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天10例4解R(A)=2

，

求第10頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天求矩陣的秩。解所以R（A）=2。例5第11頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天12例6第12頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天Ex1.求矩陣A

的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式。解先求A

的秩，對(duì)A

作初等行變換化為行階梯形：故R（A）=3。第13頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天再求A

的一個(gè)最高階非零子式。因R（A）=3，知A

的最高階非零子式為3階，返回易計(jì)算A

的前三行構(gòu)成的子式因此這個(gè)子式便是A

的一個(gè)最高階子式。第14頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天15三、滿秩矩陣稱A是滿秩陣，（非奇異矩陣）稱A是降秩陣，（奇異矩陣）可見：A為n階方陣時(shí)，定義3對(duì)于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的定理.定理2設(shè)A是滿秩方陣，則存在一系列初等方陣使得第15頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天16例7A為滿秩方陣。此過程相當(dāng)于第16頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天17關(guān)于秩的一些結(jié)論（熟記）：規(guī)定：零矩陣的秩為0.(1)

根據(jù)行列式的性質(zhì)，(2)A為m×n矩陣,0≤R(A)≤min{m,n}.定理3

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。設(shè)A是矩陣，B是矩陣，定理4推論1如果AB=0則推論2

如果R(A)=n,AB=0則B=0。推論3

若A,B均為

矩陣，則第17頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天18設(shè)A為n階矩陣，證明R（A+E）+R（A-E）≥n證：R（A+E）+R（E-A）≥R[(A+E)-(A-E)]=R（2E）=n∴

R（A+E）+R（A-E）≥n例8推論3

若A,B均為

矩陣，則第18頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天19作業(yè)P109123第19頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1證