物理振動和波動

關于物理振動和波動軟繩波的傳播方向質點振動方向振動在軟繩中的傳播第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一、機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的周期性運動，稱機械振動。如：彈簧振子的運動、心臟的跳動、昆蟲翅膀的發(fā)聲振動等，第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天機械振動是生活中常見的運動形式被手撥動的彈簧片上下跳動的皮球小鳥飛離后顫動的樹枝第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天北京大鐘寺內的巨鐘的頻譜圖0100200300400500v(Hz)第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天⒈在平衡位置附近來回做往復運動的現(xiàn)象叫做機械振動，簡稱振動。

⒉機械振動的主要特征是：“空間運動”的往復性和“時間”上的周期性。產生機械振動的基本條件：物體受到回復力的作用（指向平衡位置）；回復力和物體慣性交替作用，維持機械振動。第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二、簡諧振動⒉定義：物體在跟位移大小成正比，并且總是指向平衡位置的力作用下的振動叫做簡諧振動。F=-kx⒊典型的簡諧振動：彈簧振子、單擺⒈簡諧振動是最簡單、最基本的振動;任何復雜振動，都可看作是若干簡諧振動的合成。第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天彈簧振子:由一根輕彈簧(勁度系數(shù)為k)和質量為m的物體（質點）構成，系統(tǒng)與外界無摩擦力；（理想模型）彈力是使物體回到平衡位置的回復力F=-kx

；彈力和慣性的交替作用使物體在平衡位置附近來回往復的運動；質點的動力學方程：演示第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一.簡諧振動定義:§8.1簡諧振動二.描述簡諧振動的特征量（三要素）1.振幅A：振動物體離開平衡位置的最大位移；2.周期T：物體完成一次全振動所用的時間；

頻率v：

單位時間內完成全振動的次數(shù)；

圓(角)頻率

：v=1/T(Hz)x是描述位置的物理量,如y,z或

等.

物體振動時，如果離開平衡位置的位移x

隨時間t

的變化可表示為余弦函數(shù)——簡諧振動第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天角頻率和周期之間的關系：固有周期和固有(角)頻率第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天簡諧振動方程：圓頻率初相位振幅位移簡諧振動方程的三要素：A、、振幅：A角頻率：

初相位：第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天位移：速度：加速度：補充:簡諧振動的速度和加速度1.簡諧振動的各階導數(shù)也都作簡諧振動2.x,a,v相位依次相差/2第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天3.相位(1)(

t+

)是t時刻的相位，確定質點在t時刻的運動狀態(tài)的物理量。(2)

是t=0時刻的相位——初相位，確定質點在t＝0時刻的運動狀態(tài)的物理量。運動狀態(tài)是由位置和速度來表征的.由此：位移、速度、加速度由(

t+

)確定；描述簡諧振動的（三要素）：振幅、周期、相位第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天相位的意義:一個相位對應一個確定的振動狀態(tài)；相位每改變2

，振動重復一次.

相位2

范圍內變化,振動狀態(tài)不重復.

txOA-A

=2

相位差

第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

同相和反相(同頻率振動)當

=

2k,k=0,1,2…..

兩振動步調相同,稱同相。xtoA1-A1A2-A2x1x2T同相當

=

(2k+1),k=0,1,2…..

兩振動步調相反,稱反相。x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

超前和落后

txOA1-A1A2-A2x1x2若

=

2-

1>0,則x2比x1早

達到正最大位移,稱x2比x1超前

(或x1比x2落后

)。1.簡諧振動的各階導數(shù)也都作簡諧振動2.x,a,v相位依次相差/2第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天補充例題：一個物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周期為2s，當t=0時的位移為0.06m，且向x軸正方向運動。求：(1).初相位；(2).t=0.5s時物體的位置、速度和加速度；第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

t0繞O點以角速度

逆時針旋轉的矢量，在x

軸上的投影正好描述了一個簡諧振動。

振幅矢量t+

相位8.1.2用旋轉矢量描述簡諧振動演示第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析

初相位：=/3XOOX

判斷：t=0,

振子的初位移、初速度x0=A/2,v0<0（向x軸負方向運動）用旋轉矢量直觀描述簡諧振動：確定,振動狀態(tài)確定第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天XO分析3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OX

=/2判斷：t=0,

振子的初位移、初速度x0=0,v0<0（向x軸負方向運動）第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OX

XO=2/3判斷：t=0,

振子的初位移、初速度x0=-A/2,v0<0（向x軸負方向運動）第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OX

XO=-2/3判斷：t=0,

振子的初位移、初速度x0=-A/2,v0>0（向x軸正方向運動）第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析3、用旋轉矢量描述簡諧振動：OX

XO=-/3判斷：t=0,

振子的初位移、初速度x0=A/2,v0>0（向x軸正方向運動）第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天同相反相第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例題8-4：一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.24m，周期為4s，當t=0時的位移為0.12m，且向x軸負方向運動。求：(1).初相位；(2).t=1s時物體的位置、速度和加速度；(3).在x=-0.12m處，且向x軸負方向運動時，物體的速度和加速度，以及從這一位置回到平衡位置所需的時間。代數(shù)法;旋轉矢量法;第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天8.3簡諧振動的合成（一）兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成：同一直線上運動，有不同的振幅和初相位仍然是同頻率的簡諧振動。演示第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天XY旋轉矢量法第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天上面得到：討論一：同相，兩個分振動相互加強，合振幅最大，稱為干涉相長。A1A2A第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論二：反相，兩分振動相互削弱，合振幅最小，稱為干涉相消。A1＝A2時合振幅為0.討論三：一般情況：合振動第30頁,共64頁，2024年2月25日，星期天設一個質點同時參與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即上式是個橢圓方程，具體形狀由相位差決定：當時，橢圓退化為圓。（二）兩個相互垂直的、同頻率簡諧振動的合成：第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論1

所以是在直線上的運動。第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論2所以是在直線上的振動。討論3

所以是在X軸半軸長為，Y軸半軸長為的橢圓方程，且順時針旋轉。xyo第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天質點的軌道是圓。X和Y方向的相位差決定旋轉方向。討論5討論4所以是在X軸半軸長為，Y軸半軸長為的橢圓方程，且逆時針旋轉。xyo第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論6則為任一橢圓方程。綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行（直線是退化了的橢圓）當兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

=0(第一象限)

=

/2

=

=3

/2(第二象限)(第三象限)（第四象限）第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天補充例題：有兩個同頻率、同方向的簡諧振動，求：（1）合振動的振幅和初相位；第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天8.4波動（一）、波的定義及其分類1.波的定義振動在空間中的傳播過程叫做波動，簡稱波。2.波的分類(1)機械振動在彈性介質中的傳播過程，叫做機械波。如：水面波、聲波等。(2)電磁場的變化在空間中的傳播過程，叫做電磁波。如：無線電波、光波等。這兩類波本質不同，但有許多共同特征，如能產生折射、反射、衍射和干涉等現(xiàn)象，且都伴隨著能量的傳播。第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。波動現(xiàn)象是媒質中各質點運動狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質點仍在其各自平衡位置附近作振動。機械波的產生及描述機械波的產生及描述振動的傳播過程稱為波動。機械振動在媒質中的傳播過程稱為機械波。產生機械波的必要條件：波源作機械振動的物體；媒質能夠傳播機械振動的彈性媒質。一、機械波的產生第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天軟繩波的傳播方向質點振動方向振動在軟繩中的傳播第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天t=00481620············12·················t=T/4·····················t=T/2······························t=T···························t=3T/4··················第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天結論：(1)振動質點并未“隨波逐流”,波的傳播不是振動質點的傳播；(2)“上游”的質點依次帶動“下游”的質點振動。(3)某時刻某質點的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游”某處出現(xiàn)---波是振動狀態(tài)的傳播；振動狀態(tài)可以用相位來描述，所以波的傳播也可以用相位來描述；在波的傳播方向上，各質點相位依次落后；

質點的振動速度，隨時間而變化；

波的傳播速度u，在各向同性介質中是常數(shù)；第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天二、橫波與縱波橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行軟繩軟彈簧波的傳播方向質點振動方向波的傳播方向質點振動方向在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)。空氣中的聲波是縱波。第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天三、波的幾何描述波前波面波線波面振動相位相同的點連成的面。波前最前面的波面。平面波（波面為平面的波）球面波(波面為球面的波)波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質中，波線恒與波面垂直。第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天波傳播方向四、描述波動的物理量l波速u周期T波長l振動狀態(tài)完全相同的相鄰兩質點之間的距離。波形移過一個波長所需的時間。頻率n周期的倒數(shù)。n1T波速u單位時間內振動狀態(tài)（振動相位)的傳播速度，又稱相速。機械波速取決于彈性媒質的物理性質。ulTnl或luT第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一列機械波從空氣中傳播到水中，在傳播過程中保持不變的物理量是（）A.

B.TC.uD.

(BD)第46頁,共64頁，2024年2月25日，星期天平面簡諧波平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程由簡諧振動在均勻無吸收的媒質中傳播所形成的波動。簡諧波對于機械波，若波源及彈性媒質中各質點都持續(xù)地作簡諧振動所形成的連續(xù)波，則為簡諧機械波。

簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本的波。各種復雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加。一、平面簡諧波簡諧波的一個重要模型是平面簡諧波。平面簡諧波的波面是平面，有確定的波長和傳播方向，各質點振動的振幅恒定。第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天設原點振動表達式為:O點運動傳到P點需用時間:P點比O點相位落后:P點的振動方程為：P點在t時刻的位移等于原點處質點在時刻的位移,則諧振動在均勻介質中沿x方向傳播。這就是沿x軸正向傳播的平面簡諧波動方程。它是時間和空間的雙重周期函數(shù)。第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天沿x軸正向傳播的平面簡諧波動方程cos()yAwtuxwT2pn2puTl波動方程常用周期T波長l或頻率n的形式表達,由得cos)yA2ptlx)nTcos)A2ptlx)消去波速uT和l1分別具有單位時間和單位長度的含義，分別與時間變量和空間變量組成對應關系。tx1第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天三、波動方程的物理意義cos()yAwtj+ux若給定，波動方程即為距原點處的質點振動方程xxcos()yAwtj+x2pl距原點處質點振動的初相x若給定，波動方程表示所給定的時刻波線上各振動質點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的波形圖。ttcos()yAwtj+x2plOxy第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天t+rt若和都是變量，即是和的函數(shù)，這正是波動方程所表示的波線上所有的質點的振動位置分布隨時間而變化的情況?？煽闯墒且环N動態(tài)的波形圖。txytcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)XOY同一時刻，沿x軸正向，波線上各質點的振動相位依次落后。tu波沿x軸正向傳播x第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天t+rtXOYtu波沿x軸正向傳播掌握：由波形圖判斷質點的振動方向！第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天t+rt反向波cos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)++YXO同一時刻，沿x軸正向，波線上各質點的振動相位依次超前。tu波沿x軸反向傳播第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天正向波的波動方程：反向波的波動方程：第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天補充例題1：如圖t=0時刻的波形圖，求:(1).O點的振動方程；(2).波動方程；(3).P點的振動方程；(4).a,b兩點的運動方向；Oxy0.1m0.5mu=0.2m/sabP第55頁,共64頁，2024年2月25日，星期天解:A＝0.1m,=1m,u=0.2m/s所以＝2＝2u/=0.4rad/s(1).O點：t=0,x0=0,

0<0,故

0＝/2(2).波動方程：(3).P點的振動方程：xP=0.75m第56頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一平面簡諧波的振幅A=0.10m,周期T=0.50s，波長＝10m，若t=0時刻，位于坐標原點的質點位移為y0=0.05m，且向平衡位置運動，求:

(1).該波的波動方程；(2).波線上相距2.5m的兩質點的相位差；P345例8-6！第57頁,共64頁，2024年2月25日，星期天P346例8-7！求:(1).波動的振幅、頻率、波速、波長；(2).距原點/2質點的振動方程；(3).t=0.01s時刻該質點的位移；求：波動的振幅、頻率、波速、波長第58頁,共64頁，2024年2月25日，星期天1.波的能量波不僅是振動狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振動能量的傳播。有一平面簡諧波：

質量為在x處取一體積元質元的振動速度:振動動能+形變勢能=波的能量波的能量波的能量各體積元以變化的振動速率上下振動，具有振動動能Ekr第59頁,共64頁，2024年2月25日，星期天波的能量現(xiàn)象：若將一軟繩（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下抖動振速最小v振速最大v形變最小形變最大t時刻波形t+dt在波動中，各體積元產生不同程度的

彈性形變，具有

彈性勢能pEr未起振的體積元各體積元以變化的振動速率上下振動，具有振動動能vEkr理論證明（略），當媒質中有行波傳播時，媒質中一個體積元在作周期性振動的過程中，其彈性勢能和振動動能同時增大、同時減小，而且其量值相等，即pErEkr后面我們將直接應用這一結論。pErEkr。波的能量波的能量第60頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一、能量密度（單位體積媒質中波的能量）

可見，波動過程是媒質中各體積元不斷地從與其相鄰的上一個體積元接收能量，并傳遞給與其相鄰的下一個體積元的能量傳播過程。振動速度veety