2023-2024學(xué)年天津市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題二（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

TT

1.直線X=Tan7的傾斜角是()

4

八C"c3πC乃

A.0B.—C.—D.一

244

【正確答案】B

【分析】由傾斜角的概念求解

TTTT

【詳解】x=-tan-,即X=-1,直線的傾斜角為彳.

故選：B

2.兩直線3x+4y-3=O與“ir+8y+l=0平行，則它們之間的距離為()

A.4B.-C.—D.—

51010

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)直線平行求得加，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】因為直線3x+4y—3=0與，HX+8y+l=0平行，故3x8—4m=0,解得m=6.

故直線6x+8y—6=0與mr+8y+l=0間的距離為=

√62+8210

故選：C

3.設(shè)橢圓￡+《=1(%>0,”>0)的右焦點與拋物線√=8x的焦點相同,離心率為;,則此橢

m"n

圓的方程為

12166448

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得焦點坐標(biāo),進而求得橢圓的半焦距c,根據(jù)橢圓的離心率求

得m,最后根據(jù)m、n和C的關(guān)系求得n.

【詳解】，拋物線丁二以，

P=4,焦點坐標(biāo)為(2,0)

橢圓的右焦點與拋物線丁=8x的焦點相同

22

橢圓的半焦距c=2,即m-n=4

2I

e=~m=2'

m=4,n=√16-4=26,

23

橢圓的標(biāo)準方程為2r+±=1,

1612

故選B.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準方程的問題.要熟練掌握橢圓方程中a,b和C的關(guān)系,求桶圓的方

程時才能做到游刃有余.

橢圓與拋物線的標(biāo)準方程，及性質(zhì).

點評：由拋物線的焦點，可得橢圓的半焦距c,再由離心率可知m,從而〃=因而橢圓

方程確定.

4.已知點尸(-3,-1),向量W3=(6,7),過點P作以向量用為方向向量的直線L,則點A(3,-l)

到直線心的距離為()

A.OB.-s∕6C.D.-Jj

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意得直線Z,為x+逐y+3+石=0,再由點到直線距離公式解決即可.

【詳解】由題知點P(-3,T),向量〃?=(右,T),過點尸作以向量加為方向向量的直線L,

所以直線乙的斜率為人=-喪，

所以直線L為y+l=-5(x+3),即x+6y+3+石=0,

因為43,—1)

所匕空叫=6

√6

故選：B

5.己知三棱柱ABC-ABG,點P為線段Bc上一點，且B∣P=；BC…則AP=()

A.-AB+AC+-AA

22"B-通+3配+J羽

?221

C.-AB+-AC-AA.D.-AB+-AC+AA

33"33’

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的運算，利用基底表示向量AP?

【詳解】由題意得AP=AB+8P=Λβ+8B∣+4P,

因為=gAG,BB1=AA,,所以AP=AB+A4,+g用G=AB+AA+gbC

1?1

?AB+AAI+-(AC-ΛB)=-AB+AAI+-AC.

故選：D.

6.若點P(Ll)在圓C:/+y2+x-y+&=0的外部，則實數(shù)Z的取值范圍是()

A.(-2,-κo)B.-2,-g]C.,2,g)D.(-2,2)

【正確答案】C

/、??/1+1+1—1+Z>O

【分析】由于點P(U)在圓Cd+y2+χ-y+Z=0的外部，所以1+j4%>0，從而可

求出女的取值范圍

fl+I+l-l+?>0]

【詳解】解：由題意得I八，解得

[l+l-4k>02

故選：C.

7.已知直線x-y+m=O與圓￠:/+^+4^=0相交于A、B兩點，若CAJ_C8，則實數(shù)機

的值為()

A.T或0B.T或4C.0或4D.T或2

【正確答案】A

【分析】分析可知一ASC為等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系求出圓心C到直線AB的距離,

再利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于機的等式，即可解得加的值.

【詳解】圓C的標(biāo)準方程為f+(y+2)2=4,圓心為C(0,-2),半徑為廠=2,

因為C4,CB且|。I=IeBl=2,故..ABC為等腰直角三角形，且∣A3∣=正∣C4∣=2后，

則圓心C到直線AB的距離為d=∣∣AB∣=√2,

由點到直線的距離公式可為"=44=√2,解得fn=T或0.

√2

故選：A.

8.已知空間中四點A(T,1,O),B(2,2,1),C(l,l,l),O(0,2,3),則點O到平面ABC的距離

為()

A.√6B.正C.—D.O

36

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得平面ABC的一個法向量”=(1,-1,-2),結(jié)合距離公式，即可求解.

【詳解】由題意,空間中四點A(T/,0),8(2,2,1),C(l,l,l),￡>(0,2,3),

可得AB=(3,1,1),AC=(2,0,1),AO=(1,1,3),

n-AB=3x+y+Z=O

設(shè)平面ABC的法向量為"=(χ,y,z)則

n-AC=2x+z=0

令X=1,可得y=-l,z=-2,所以"=(1,-1,-2),

?n-AD?∣1-1-6∣

lλr

所以點。到平面ABC的距離為-π-='=√6.

∣∕z√l+l+4

故選：A.

9.使得“直線0r+2y-l=0與直線(α+l)x-2αy+l=0垂直”的充分不必要條件是()

A.a=]B.a=2C.α=3D.α=3或α=0

【正確答案】C

【分析】求得直線以+2y-1=0與直線(α+l)x-2少+1=0垂直時，α的值，由此確定充分

不必要條件.

【詳解】直線0r+2y-l=0與直線(α+I)X-2αy+l=0垂直時，α(α+l)+2(-2α)=0,

/-34=0,解得α=0或α=3.

所以使得“直線5+2y-l=0與直線(α+l)x-2少+1=0垂直，，的充分不必要條件是C選項.

故選：C

10.若直線/:丘-y+4+2Z=o與曲線y="Ξ，■有兩個交點，則實數(shù)上的取值范圍是()

?

A.1?∣?=±1}B.{k?k<--}

33

C.伙|-1≤Z<-/D.{ΛI-1≤Zc<—}

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線/和曲線方程在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】由題意，直線/的方程可化為(x+2)Z-y+4=0,所以直線/恒過定點A(-2,4),

y=√4≡√，可化為f+y2=4(y≥0)其表示以(0,0)為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.

∣4÷2?∣3

當(dāng)/與該曲線相切時，點(0,0)到直線的距離d==2,解得左=—；.

y∣H+l4

設(shè)B(2,0),則原8=;Fg=-I.由圖可得，若要使直線/與曲線V=有兩個交點，則

-2—2-

3

-l<k<--.

4

故選：C.

11.若數(shù)列{%}的通項公式是=(T)"(3〃一2),則4+生++%o=

A.30B.29C.-30D.-29

【正確答案】A

【詳解】試題分析：由數(shù)列通項公式可知

+

aλ+a2++α20=（tzl÷?）+（49+%））=1°。=1。乂3=30

分組求和

12.已知拋物線C：V=8x的焦點為尸，過點尸且傾斜角為;的直線/與拋物線C交于A,B

兩點，則IABI=（）.

A.8B.8√2C.16D.32

【正確答案】C

【分析】根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式求得正確答案.

【詳解】焦點F（2,0）,直線/的方程為y=x-2,

y=x-2.

由｛2C，消去N并化簡得X-I2X+4=0,A=144-16=128>0,

y=8x

設(shè)4（內(nèi),y）,8（孫％），所以X∣+*2=12,

所以IASl=xλ+x2+p=12+4=16.

故選：C

13.設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F,準線為LP為拋物線上一點,PALI,A為垂足.如

果直線AF的斜率為-√L那么IPFl=

A.4√3B.8C.8√3D.16

【正確答案】B

【詳解】設(shè)A（-2,t）,人“?3?"?/-4\3,?,?∕,（6,4γ3），歸尸|=8

一4

14.若數(shù)列｛%｝滿足q+4+4++4=3〃-2,則這個數(shù)列的通項公式為（）

A.a,=2×3n-'B.a,,=3×（∣Γ1

fl,H=I

C.凡=3〃-2D.〃”=<.

w〃[3?Γ,nr≥

【正確答案】D

【分析】根據(jù)遞推數(shù)列的性質(zhì)，可以得到4+出+/++α,,τ=3"T-2,兩式相減，即可得

到的表達式；此時要注意首項是否符合通項公式.

【詳解】因為％+%+%++%=3"-2,

所以4+/+/++a%1=3"T-2,〃≥2,

兩式相減，得∕=2x3"τ,且當(dāng)〃=1時，4=2,

在原式中，首項q=3∣-2=1,

二者不相等，所以4,=[τ∕,t=[

[3;,〃衣

故選：D

在拋物線V=4√7X的準線上，則雙曲線的方程為

【正確答案】D

【詳解】試題分析：雙曲線的一條漸近線是y=2χ,則石=土①，拋物線y=4"x的準

線是x=-√f,因此c=√7,即合+〃=Ο2=7②，由①②聯(lián)立解得,所以雙曲線方

程為《-21=1.故選D.

雙曲線的標(biāo)準方程.

16.圓C:(x-l)2+(y-l)2=2關(guān)于直線/：y=x-l對稱后的圓的方程為()

A.(X-2)2+∕=2B.(X+2)^+y~=2

C.x2+(y-2)2=2D.X2+{y+2)2=2

【正確答案】A

【分析】由題可得圓心關(guān)于直線的對稱點，半徑不變，進而即得.

【詳解】圓C：(X-I)2+(y-l>=2的圓心(1,1)半徑為痣，由/:y=x-l得勺=1,

設(shè)圓心關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為(肛〃)，則

-----------------I=U、

22

所以對稱圓的方程為(x-2f+y2=2.

故選：A.

17.設(shè)S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若―12,-6,則率=()

33

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知先求出數(shù)列的首項和公比，即可利用求和公式求出.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為。，

q=2

a3-a]=%q--aλ=6q=2

2×(l-26)

則5=

6126，S3

故選：C.

2，

18.己知"、"是橢圓￡+強?=l(a>6>0)的兩個焦點，過死的直線與橢圓交于A、B兩

點,若|的|:|ABl:忸/=3:4:5,則該橢圓的離心率為()

√3-l

B.2-√3

2D?T

【正確答案】D

【分析】利用勾股定理得出NKA吊=90,利用橢圓的定義求得IA制、IAgI,利用勾股定

理可得出關(guān)于〃、C的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.

【詳解】如下圖所示，設(shè)IA周=3/,則MM=4f,忸用=5f,所以，?AFtf+?ABf=?BFl^,

所以，ZfJAF,=90,

由橢圓定義可得IM+M+∣甌=⑵=4a,.」=*.?.∣A用=3f=4,

所以，∣A周=為TA娟=4,

所以，“片鳥為等腰直角三角形，可得卜用2+[4閭2=忻段2,二2片=402,

所以，該橢圓的離心率為e=￡=立.

a2

故選：D.

方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(I)定義法：通過已知條件列出方程組，求得“、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、C的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

19.若雙曲線經(jīng)過點卜6,6),且它的兩條漸近線方程是y=±3x,則雙曲線的方程是().

A.匕-￠=1B.--y2=↑

99

【正確答案】A

【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線為χ2-f=m且機力0,再由點在雙曲線上，將點代入求

9

參數(shù)〃3即可得雙曲線方程.

【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為一一3=根且加工0,又卜行,6)在雙曲線上，

所以機=3-^=-1,則雙曲線的方程是[-W=].

故選：A

20.在各項均不為零的等差數(shù)列｛4｝中，若。,川-片+。,1=0(〃22),

則邑”-1-4〃=

A.-2B.OC.1D.2

【正確答案】A

【詳解】試題分析:根據(jù)等差數(shù)列｛q｝性質(zhì)可知&用+%τ=2%5≥2),所以2αf,-αj=0,

因為q,≠0,所以4=2,則S2,I-4〃=（2〃-1）X2—4〃=-2,故選A.

等差數(shù)列.

21.數(shù)列｛%｝滿足4=H?土衛(wèi)士，則數(shù)列］一」|的前”項和為()

n??n

A.----B.------

H+1〃+2

c?二D.烏

72+1〃+2

【正確答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的前”項和公式得到?！埃M而得到」一=4(一=--y,利用裂

項相消法求和.

M(1+n)

【詳解】依題意得：〃+1，

an=---=K

n2

；.，=4=4P---Q

("+l)("+2)?n+?n+2J'

22

22.已知拋物線V=4x與雙曲線￡-￡=l(a>O,b>O)有相同的焦點F,點A是兩曲線的一

個交點，且A尸_Lx軸，則雙曲線的離心率為()

A.√2+2B.√5+lC.√3+lD.√2+l

【正確答案】D

【分析】由拋物線V=4x可得雙曲線的右焦點為F(1,O),根據(jù)題意列式求解。，即可得雙

曲線離心率.

【詳解】由拋物線V=4x可得焦點廠(1,0),則雙曲線/，=1的右焦點為F(l,0),即c=l,

若AF_LX軸，可設(shè)4(1,%),則巾=4,

a2+?2=1

由題意可得：14，解得4=√∑T,

二雙曲線的離心率為e=?=7占=應(yīng)+L

故選：D.

23.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，首項4=1,且滿足“e+4=3?2",則SU的值為()

A.4093B.4094C.4095D.4096

【正確答案】A

【詳解】由遞推公式確定通項公式為=(T)"+2",再求SU即可.

n+

3-2-an-2"'

?-2"

所以｛q-2"｝是首項為_1,公比為T的等比數(shù)列，所以勺=(7)"+2",

2

貝IlSU=q+4++all=-l+2'+l+2+-1+2"=-1+^^-^==4093

故選：A

24.已知函數(shù)/(x)=x+3Sin(X-；)+；,數(shù)列｛/卜滿足/=［有，則

\乙)乙Zλ)Λj

/(2+/3)+…+/(%)22)=()

A.2022B.2023C.4044D.4046

【正確答案】A

【分析】先求得/(x)+∕(Jx)=2,然后利用倒序相加法求得正確答案.

［詳解］???”>x)=>x+3Sin

2TP

.?.∕(x)+γ?(ι)=2.

.._n2023-n_

a+a+

?n2O23-n-示應(yīng)2023-'

2

?,?∕(?)+∕(?-n)=?令S=∕(αJ+∕(αJ+…+/(?β2),

則S=∕(α2022)+∕(a202])H-----b∕(aj,兩式相加得2S=2x2022,

???S=2022.

故選:A

25.在數(shù)列｛%｝中，q=2,4%="+ln(l+'),則凡等于()

n+?nn

A.2÷wln∕ιB.2λt+(π-l)lnn

C.2n+n?nnD.?+n-vn?ntι

【正確答案】C

【分析】將給定的遞推公式變形，再借助累加法計算作答.

【詳解】因&L=2+ln(l+L,則有3L-%=ln("+l)-ln”,

n+1nnn+?n

于是得，當(dāng)“≥2時,個葉+(/*)+仔號)++?^?

=2+(in2-In1)+(in3-In2)++[ln〃-ln(〃-l)]=2+ln〃，

因此，an=2n+n?nn,顯然，α1=2滿足上式，

所以〃“=2〃+〃In〃.

故選：C

26.過點M（2,3）作圓/+y2=4的兩條切線，設(shè)切點分別為A、B,則直線AB的方程為（）

A.x+2y-2=0B.2x÷3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，可知圓/+丁=4的圓心為。（0,0）,半徑r=2,由切線長公式求出M4

的長，進而可得以“為圓心，M4為半徑為圓，則AB為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩

個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知圓f+y2=4的圓心為O（0,0）,半徑r=2,

過點“（2,3）作圓χ2+V=4的兩條切線，設(shè)切點分別為A、B,

而IMa=J2?+32=屈，則IMAI=JlMa、4=3,

則以Λ/為圓心，為半徑為圓為(x-2y+(y-3)2=9,即圓V+/-4x-6y+4=0,

22

[χ+y=4

所以A8為兩圓的公共弦所在的直線，則有2，，，，，、，

[x+y^-4x-6y+4=0

作差變形可得：4x+6y-8=0,

即直線AB的方程為2x+3y-4=0.

故選：B.

27.若函數(shù)%+∣=/(%),則稱/(x)為數(shù)列｛%｝的“伴生函數(shù)”，已知數(shù)列｛《,｝的“伴生函數(shù)”

為/(x)=2x+l,q=l,則數(shù)列｛““｝的前”項和(=()

A,〃2+2一如』B,"?2向+2一業(yè)⑴

22

C.("-l)?2"+∣+2-及詈D.(“_1).2"+2,(7)

【正確答案】C

【分析】由已知可得數(shù)列｛%+l｝為等比數(shù)列，其首項為q+1=2,公比也為2,從而可求得

a=2',-l,則∕∞,,="?2"-",從而可表示出(=1X2∣+2X22+令

n2

H(Λ)=1×2I+2×22++n-T,利用錯位相減法可求出”5),從而可求得結(jié)果

【詳解】依題意，可得4用=2q,+l("∈N*),所以〃向+1=2(q+1)>0,BPyTT=2.

故數(shù)列｛%+l｝為等比數(shù)列，其首項為q+l=2,公比也為2,

所以4,+1=22-=2",

所以α,=2"T,所以，叫,=〃-2"-〃，

所以7>lχ2∣+2χ2∣++n-2--(?+2++?)=1×2'+2×22+.+n-2"-^^-.

令"(")=1X2∣+2X22++n-2",

則2〃(〃)=1x2?+2X2∣++(n-l)-2π+n?2n+,,

兩式相減，得一H(,)=2∣+22++2',-n-2"+'=2n+'-2-n-2n+',

所以，(")=("T?2"+'+2,

所以T5)=(7-l>2"∣+2-,(;+”.

故選：C.

13

28.點M為拋物線y=上任意一點，點N為圓Y+y2-2y+τ=0上任意一點，若函

44

數(shù)/(x)=Iog∕x+2)+2(4>l)的圖象恒過定點p,則∣MP∣+IMNl的最小值為()

A.2B.-C.3D.—

244

【正確答案】A

計算P(T,2),則Wpl+1MN曰MPl+1MFl-g≥PO-g,計算得到答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=log"(x+2)+2(α>l)的圖象恒過定點(-1,2),故尸(-1,2).

y=j?/,即￠=4,,焦點為∕7(0,l),準線為y=-l,

X2+y2-2y+^=0,即犬+(y—l)2=；.

?MP?+?MN?≥?MP?+?MF?--≥PD-^=3-^=^,當(dāng)PMD共線時等號成立.

本題考查了對數(shù)函數(shù)過定點問題，拋物線的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

29.正項數(shù)列｛a,,｝的前n項的乘積7；=（；）?"（〃∈N+）,?,,=Iog2??,則數(shù)列也｝的前〃項和S,,

中的最大值是（）

A.S6B.S5C.S4D.S3

【正確答案】D

【分析】由已知，求得他“｝的通項公式，再求得數(shù)列也J的通項公式，繼而求得S“中的最大

值.

【詳解】由已知當(dāng)〃=1時，4=Z=(J)7=4',當(dāng)〃≥2時，an=?=?2π7,〃=1時也適合