重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊期末調(diào)研試題含解析

重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末調(diào)研試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.已知：m=y[2+1>n=y/2-1，則JW+〃2+3mn=（）

A.±3B.-3C.3D.V5

2

2.關(guān)于反比例函數(shù)丁=-一圖象，下列說法正確的是（）

x

A.必經(jīng)過點(diǎn)（2,1）B.兩個(gè)分支分布在第一、三象限

C.兩個(gè)分支關(guān)于X軸成軸對(duì)稱D.兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

3.如圖，ABC的面積為12,點(diǎn)E分別是邊48、AC的中點(diǎn)，則石的面積為（）

A.6B.5C.4D.3

4.如圖，線段是。。的直徑，弦丄AB,ZCAB=20°,則等于（）

A.20°B.30°C.40°D.60°

5.二次函數(shù)尸a/+h+c（a,b,c為常數(shù)且存0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)片ax+b與反比例函數(shù)y=工的圖象可

X

能是

X

7.共享單車已經(jīng)成為城市公共交通的重要組成部分,某共享單車公司經(jīng)過調(diào)查獲得關(guān)于共享單車租用行駛時(shí)間的數(shù)據(jù),

并由此制定了新的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每次租用單車行駛a小時(shí)及以內(nèi)，免費(fèi)騎行；超過a小時(shí)后，每半小時(shí)收費(fèi)1元，這樣

可保證不少于50%的騎行是免費(fèi)的.制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時(shí)，參考的統(tǒng)計(jì)量是此次調(diào)査所得數(shù)據(jù)的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

8.已知sina=@,且a是銳角，則a的度數(shù)是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.不確定

9.已知2x=3y,則下列比例式成立的是（)

x2C

A.?B.一=￡冷D.子|

23y3

10.如圖所示,A6C的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（）

2Vio

A.——1RB.—石「班n

25510

11.方程x2-2x+3=0的根的情況是（

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

12.如圖所示的幾何體是由六個(gè)小正方體組合而成的，它的俯視圖是（）

正面

二、填空題（每題4分，共24分）

13.2sin450+6cos60°-垂>tan60°=.

14.已知XI、X2是關(guān)于x的方程x2+4x-5=0的兩個(gè)根，貝!|xi+X2=.

15.二次函數(shù)'=（0+1）-一8+/一1的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則a的值是.

16.已知點(diǎn)A（a,1）與點(diǎn)A，（5,b）是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，貝！Ia+b=.

17.二次函數(shù)y=（x+3>-5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

18.拋物線y=-/+如+〃的對(duì)稱軸過點(diǎn)厶（_1,5）,點(diǎn)A與拋物線的頂點(diǎn)3之間的距離為4,拋物線的表達(dá)式為

三、解答題（共78分）

..3一

19.（8分）計(jì)算：2cos45。-tan30°cos30°+sin260°.

2

20.（8分）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=?（"為常數(shù)，，”>1,x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（私1）和。（1,加），

直線PQ與x軸，丁軸分別交于C,D兩點(diǎn).

（1）求NOCD的度數(shù)；

（2）如圖2,連接OQ、OP,當(dāng)NOOQ=NOCO—NPOC時(shí)，求此時(shí)〃?的值：

（3）如圖3,點(diǎn)A,點(diǎn)3分別在x軸和）'軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).再以。4、08為鄰邊作矩形0AMB.若點(diǎn)M恰好在函數(shù)

772

）=—為常數(shù)，m>\,%>0）的圖象上，且四邊形BAPQ為平行四邊形，求此時(shí)Q4、0B的長度.

x

21.（8分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（0,4）,B（-3,0）.借助網(wǎng)格，畫出線段A3向右平移6個(gè)單位長度后的對(duì)應(yīng)

線段。C,若直線y=履平分四邊形ABC。的面積，請求出實(shí)數(shù)攵的值.

22.（10分）如圖，。。是AA8C的外接圓，P4是。。切線，PC交。。于點(diǎn)。.

(1)求證：ZPAC=ZABC；

(2)若NBAC=2NACB,ZBCD=90°,AB=243,CD=2,求。。的半徑.

3k

23.（10分）如圖，已知一次函數(shù)y=—3與反比例函數(shù)>=一的圖象相交于點(diǎn)44,〃），與％軸相交于點(diǎn)兒

（D填空："的值為,4的值為；

（2）以A3為邊作菱形ABC。，使點(diǎn)。在x軸正半軸上，點(diǎn)。在第一象限，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

24.（10分）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù).y=/f+法+C的圖象與X軸交于點(diǎn)AB,與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一3,0）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（1,0）.

(1)如圖I,分別求。、C的值；

(2)如圖2,點(diǎn)。為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，連接。。并延長交拋物線于點(diǎn)E,OD=3OE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作P"丄x軸于點(diǎn)H,連接￡P(guān)、EH,點(diǎn)。為第

二象限的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接PQ,設(shè)ZAHE+NEPH=2a,

PH=PQ.tana,點(diǎn)M為線段PQ上一點(diǎn)，點(diǎn)N為第三象限的拋物線上一點(diǎn)，分別連接M"、NH,滿足

NMHN=60°,MH=NH,過點(diǎn)N作PE的平行線，交y軸于點(diǎn)/，求直線FN的解析式.

25.(12分)計(jì)算：

(1)(-1)2017-2'+sin30°+(rt-314)°；

(2)cos245°+sin60°tan450+sinl.

26.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,AC為。O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE〃AC,交BC的延長線于

點(diǎn)E.

(1)判斷DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若CE=S,AB=6,求。O的半徑.

3

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、C

【分析】先根據(jù)題意得出機(jī)-”和〃?〃的值，再把式子化成含俏-〃與根〃的形式，最后代入求值即可.

【詳解】由題得：〃=2、mn-\

\lm2+n2+3nm=+5mn=v22+5x1=也=3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式求值和完全平方公式，運(yùn)用整體思想是關(guān)鍵.

2、D

【分析】把（2,1）代入即可判斷A,根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B、C、D.

【詳解】A.當(dāng)x=2時(shí)，y=-lWL故不正確；

B.???-2V0,.?.兩個(gè)分支分布在第二、四象限，故不正確；

C.兩個(gè)分支不關(guān)于x軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故不正確；

D.兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)V=±（A是常數(shù)，際0）的圖象是雙曲線，當(dāng)々＞0,反比例函數(shù)圖象

X

的兩個(gè)分支在第一、三象限；當(dāng)AV0,反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限.反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支關(guān)于

原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

3、D

【分析】先由點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，得DE〃BC,從而得△ADEsaABC,根據(jù)相似三角形的面積比等

于相似比的平方及△ABC的面積為12,可得SA?E=1.

【詳解】解：???點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

AD1

**.DE/7BC?--=—,

AB2

/.△ADE^AABC,

?"?SADE:SAABC=1：4

???△ABC的面積為12

??SADE=1-

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考査了三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握形似三角形的判定方法與性質(zhì)定理是解答本題的

關(guān)鍵.

4、C

【解析】試題分析：由線段AB是。。的直徑，弦CD丄AB,根據(jù)垂徑定理的即可求得：BC=BD，然后由圓周角

定理可得NBOD=2NCAB=2X20°=40。.

故選C.

考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理.

5、C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)^=“必+加+。的圖象，可以判斷4、b、C的正負(fù)情況，從而可以判斷一次函數(shù)了="+方與反比

c

例函數(shù)y=—的圖象分別在哪幾個(gè)象限，從而可以解答本題.

x

【詳解】解：由二次函數(shù)7=。好+加什。的圖象可知，?>0,6<0,c<0,

則一次函數(shù),="+方的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，

反比例函數(shù)y=±的圖象在二四象限，

x

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考査反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確它們各自圖象的特點(diǎn)，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解答問題.

6、D

【分析】把X=1代入*2+px+l=0,即可求得p的值.

【詳解】把X=1代入把X=1代入*2+px+l=0,得

l+p+l=O,

p=-2.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解得定義，能使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解，熟練掌握一元二

次方程解得定義是解答本題的關(guān)鍵.

7、B

【分析】根據(jù)需要保證不少于50%的騎行是免費(fèi)的，可得此次調(diào)査的參考統(tǒng)計(jì)量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【詳解】因?yàn)樾枰ＷC不少于50%的騎行是免費(fèi)的，

所以制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時(shí)，參考的統(tǒng)計(jì)量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中位數(shù)的知識(shí)，中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，不受分布數(shù)列

的極大或極小值影響，從而在一定程度上提高了中位數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性.

8、C

【分析】根據(jù)sin6（F=且解答即可.

2

【詳解】解：?.'a為銳角，sina=?5,sin60°=—,

22

.?,a=60°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考査的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

9、C

【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)，將各選項(xiàng)變形即可得到正確結(jié)論.

【詳解】解：A.由5=］可得，2y=3x,不合題意；

x2

B.由一二;可得，2y=3x,不合題意；

y3

XV

C.由二二不可得，3y=2x,符合題意；

32

D.由=9可得，3x=2y,不合題意；

x2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了比例的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.

10、B

【分析】連接CD,求出CD丄AB,根據(jù)勾股定理求出AC,在RtZkADC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出即可.

【詳解】解：連接CD（如圖所示），設(shè)小正方形的邊長為1,

VBD=CD=712+12=72?NDBC=NDCB=45。，

:.CD丄AB,

在Rt_A￡>C中，AC=V1O,CD=6,則sin4=%=￡=走.

ACVio5

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考査了勾股定理，銳角三角形函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角

形.

11、C

【解析】試題分析：利用根的判別式進(jìn)行判斷.

解：VA=(-2)2-4xlx3=-8<0

...此方程無實(shí)數(shù)根.

故選C.

12、D

【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：從上邊看第一列是一個(gè)小正方形，第二列是兩個(gè)小正方形，第三列是兩個(gè)小正方形，

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、V2

【分析】直接代入特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】2sin450+6cos600-百tan60。

=0+3-3

=y/l?

故答案為：V2.

【點(diǎn)睛】

本題考査了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

14、-1

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】???xi、X2是關(guān)于X的方程x2+lx_5=()的兩個(gè)根，

4

/.X1+X2=-Y=-l,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知Xl+X2=-2.

a

15、1

【分析】根據(jù)題意將(0,0)代入二次函數(shù)y=(a+l)x2—x+4—],即可得出a的值.

【詳解】解：..?二次函數(shù)了=3+1)/一%+/一1的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

ci~—1=0,

:.a=±L

Va+1^0,

的值為L

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考査二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，圖象過原點(diǎn)，可得出x=0,y=0,從而分析求值.

16、-1

【解析】試題分析：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)可知。=-5,力=一1,

所以?+b=(—5)+(—1)=—1,

故答案為一1.

17、(-3,-5)

【分析】因?yàn)轫旤c(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),直接求二次函數(shù)y=(x+3)2-5的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】???y=(x+3)2—5是頂點(diǎn)式，

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-3,-5).

故答案為：(-3,-5)

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

18、y=-x2-2x或y=-x2-2x+8

【分析】根據(jù)題意確定出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定出m與n的值，即可確定出拋物線解析式.

(詳解】???拋物線y=-X2++〃的對(duì)稱軸過點(diǎn)A(-1,5),

...設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(T，k),

根據(jù)題意得：卜一5|=4,

解得：％=9或%=1

拋物線了=--+，211+〃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1)或(-1,9),

22

bm4ac—h—An—tn<f—4〃—nr八

可得：----=——二-I，=1或--------=9,

2a24。-4-4

解得：m--2,〃=0或〃=8,

則該拋物線解析式為：y=-x2-2x^,y=-x2-2x+8,

22

故答案為：y=-x-2x^(ly=-x-2x+S.

【點(diǎn)睛】

本題考査了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

19、V2

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【詳解】解：原式=2x也-，走

2232

=^2?

【點(diǎn)睛】

本題考査了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值.

20、(1)ZOCD=45°；(2)W=V2+1;(3)OA=OB=^^-

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)求出直線PQ的解析式，得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)線段長度得到NOCD的度數(shù)；

(2)根據(jù)已知條件求出NQOP=45。，再由。。2+pc2=P02即可求出m的值；

(3)根據(jù)平行四邊形及矩形的性質(zhì)得到NB4O=NDCO=45°,設(shè)設(shè)。4=QB=〃，得到點(diǎn)M的坐標(biāo),

又由A8=PQ兩者共同求出n,得到結(jié)果.

【詳解】(1)由。(1,根)，得=-x+(m+l),

/.Z)(O,m+1),C(m+l,0)

：.OC^OD=m+\,

:.△<%>/)為等腰直角三角形，

：.ZOCD=45°；

(2)VZDOQ=ZOCD-ZPOC,

AZDOQ+ZPOC=ZOCD=45°,

/.NQOP=90°-(ZDOQ+NPOC)=90°-45°=45°

22

易得。。2+PC=PQ,

.,.12+12+12+12=(m-1)2+(m-l)2,

.,?加=行+1(舍負(fù))；

(3)?.?四邊形ABPQ為平行四邊形，

：.AB!JPQ,

又ZDCO=45°,ZBAO=ZDCO=45°,

:.OA=OB.

設(shè)OA=OB=n.

則M為(〃,〃)代入y=..機(jī)=〃2,

xn

又AB=PQ,：.6n=儀m-1),

由加=〃2,得幾=上盧(舍負(fù))，

二當(dāng)OA=OB=L域時(shí)，符合題意.

2

【點(diǎn)睛】

此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，平行四

邊形的性質(zhì).

21、-

3

【分析】根據(jù)平移變換即可作出對(duì)應(yīng)線段。C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過平行四邊形

的中心，然后求出AC的中點(diǎn)，代入直線計(jì)算即可求出k值.

【詳解】畫圖如圖所示：

A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,C點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

.?.AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（|,2）,

又直線y=依平分平行四邊形ABCD的面積,

則丫=依過點(diǎn),

:.2=>k,

2

.,.左=3.

3

【點(diǎn)睛】

本題考査的是作圖-平移變換，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要注意平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過

平行四邊形的中心的應(yīng)用.

22、（1）見解析；（2）。。的半徑為1

【分析】（D連接AO延長AO交。O于點(diǎn)E,連接EC.想辦法證明：ZB+ZEAC=90°,NPAC+NEAC=90。即可解

決問題；

（2）連接BD,作OM丄BC于M交。O于F,連接OC,CF.設(shè)。O的半徑為x.求出OM,根據(jù)CM2=OC2-OM2=CF2-FM2

構(gòu)建方程即可解決問題；

【詳解】（1）連接AO并延長交。O于點(diǎn)E,連接EC.

圖1

：AE是直徑,

.?.NACE=90°,

.,.ZEAC+ZE=90°,

.,.ZB+ZEAC=90°,

TPA是切線，

.?.ZPAO=90°,

.,.ZPAC+ZEAC=90°,

...NPAC=NABC.

(2)連接BD,作OM丄BC于M交。O于F,連接OC,CF.設(shè)。O的半徑為x.

圖2

VZBCD=90°,

???BD是。O的直徑，

VOM±BC,

.*.BM=MC,BF=CF，

VOB=OD,

1

AOM=-CD=1,

2

VZBAC=ZBDC=2ZACB,BF=CF，

AZBDF=ZCDF,

AZACB=ZCDF,

AB-CF，

.?.AB=CF=25

VCM2=OC2-OM2=CF2-FM2,

x2-12=(2^/3)2-(x-1)2,

.*.x=l或-2(舍),

.?.(DO的半徑為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理推論，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角

三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

23、(1)3,12；(2)D的坐標(biāo)為(4+岳,3)

3k

【分析】(1)把點(diǎn)A(4,n)代入一次函數(shù)y=—x-3,得到n的值為3；再把點(diǎn)A(4,3)代入反比例函數(shù)〉=一，得

2x

到k的值為12；

(2)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)A作AE丄x軸，垂足為E,過點(diǎn)D作DF丄x軸，

垂足為F,根據(jù)勾股定理得到AB=g,根據(jù)AAS可得AABE纟ADCF,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得

點(diǎn)D的坐標(biāo).

33

【詳解】(1)把點(diǎn)A(4,〃)代入一次函數(shù))，二5不一3,可得及=]x4-3=3；

kk

把點(diǎn)A(4,3)代入反比例函數(shù)y=-，可得3=；,

X4

解得k=12.

(2)?.?一次函數(shù)y=；x—3與x軸相交于點(diǎn)B,

3

由為一3=0,解得尤=2,

2

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)

如圖，過點(diǎn)A作AE丄x軸，垂足為E,

過點(diǎn)D作。尸丄x軸，垂足為F,

VA(4,3),B(2,0)

.,.OE=4,AE=3,OB=2,

/.BE=OE-OB=4-2=2

在RfAABE中,AB=\lAE2+BE2=>/32+22=V13-

?.?四邊形ABCD是菱形，

AAB=CD=BC=瓜ABHCD,

:.ZABE=/DCF.

丄x軸，丄x軸，

:.ZAEB=NDFC=90°.

在AABE與ADC尸中，ZAEB=ZDFC,ZABE=NDCF,AB=CD,

：.MBE^M)CF,

.?.CF=BE=2,DF=AE=3,

：.OF=OB+BC+CF=2+y[\3+2=4+y/]3.

...點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+JiX,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3

24、(1)Z?=l,c=-—；(2)E(—1,—2)；(3)y-\/3x4-24-^3.

【分析】(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

(2)作EK丄X軸于K,丄x軸于L,OD=3OE,貝!JOL=3OK,DL=3KE,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)D的橫坐

]393

標(biāo)為-3t,則點(diǎn)E、D的坐標(biāo)分別為：(t,—t~+t---)、(-3t,—1~+3tH—),即可求解；

2222

13

(3)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，可得PH=彳m2+m-5,過E作EF〃y軸交PQ于點(diǎn)T,交x軸于點(diǎn)丫,

131YE2fl-=——+1—=2

TE=PH+YE=—m2+m—+2=—(m+1)2,tanNAHE=-----=-------,tanZ^PET=TP1丿〃+1，而

222YHm+12(m+\y〃―丨

132

NAHE+NEPH=2a,故NAHE=NPET=NEPH=a,PH=PQ?tana,即一n?+m-二=(2m+2)X------,解得:

22m+\

m=26-l,故YH=m+l=2百，PQ=4百，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(2百-1,4)、(-273-b4),

Yp9/aDEJ/Q

tanZYHE=——=—T==—,tanZPQH=——=—；證明△PMH纟△WNH,則PH=WH,而QH=2PH,故

YH2G3PQ3

QW=HW,即W是QH的中點(diǎn)，則W(-1,2),再根據(jù)待定系數(shù)法即可求解.

【詳解】解：⑴把4(—3,0)、3(1,0)分別代入y=+法+c得：

1,

o=—x(-3)~-3Hcb=1

1解得彳3;

O=-Xc=——

22

1.3

(2)如圖2,由(1)WV=-x+x一一，作EK丄x軸于K,"丄x軸于L,

22

.?.EK〃DL,：.OK:OL=EO:OD.

?：0D=30E,：.OL=3OK,

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為f,OK=—t,OL=—3t,

1,3

???O的橫坐標(biāo)為-3f,分別把x=，和x=-3/代入拋物線解析式得y=yf

???yy---ti2-3JIt~~?

22

AKE=--t2-t+-,DL^-t2-3t--.

2222

???sinNKQE=sinN￡>OL,

KEDLDLOD\

----=------=3,

~OE~~ODKEOE

DL=3KE,

13

22

解得4=1(舍)，t2=-\,

E（-l,-2）.

i3

(3)如圖3,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為"，把》=加代入拋物線得y=,m2+加—]

1,3

‘PH——m~+m——.

22

過E作EF〃y軸交PQ于點(diǎn)T,交x軸于點(diǎn)y,.?.TE丄x軸.

???點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，；.PQ〃x軸，PT=QT,

：.ET±PQ,丫點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0),

又丄x軸，AET/7PH,:.NTEP=NEPH,

：.ZPTY=NQPH=ZTYH=90,:.四邊形PTYH為矩形，

:.PT=YH=m+L：.PT=QT=m+l,

1,3

APQ=2m+2,PH^-nr+m--,YE=2,

22

1,31,1

：.TE^TY+TE^-m2+m--+2=-m2+m+-=*+1）2.

2222

m+12

YE2tanZP￡7=—=

AtanZAHE=—何，TE；（加+1『〃2+1，

YH

:.tanZAHE=tanZPET,:.ZAHE=NPET=ZEPH.

又?；ZAHE+/EPH=2a,：.ZAHE=ZPET=ZEPH=?.

■:PH-PQana,

；.一加~+in——2（m+l）-------,解得m=±2A/3-1,

22''m+]

Vm>0,二機(jī)=2百一L

?,?陽=m+1=2百-1+1=2百，PQ=2YH=4x/3,

把加=2百—1代入拋物線得y=4,PH=4,???川2百—1,4卜

Yp2h

:.tanNYHE=—=—==—,：.ZYHE=3Q=a，:.NPQH=NEPH=NYHE=30,

YH2g3'

AZPHQ=90-30=60,HQ=2PH,；.ZPRH=180—NEPH—NPHQ=180-30-60=90.

若NF交QH于點(diǎn)W,

NF〃PE,J.ZNWR=ZERQ=90，,ZNWR=ZQPH,

V4MHN=60,:.NPHM+4MHQ=NMHQ+ZQHN=60,

/.ZPHM=ZQHN,MH=NH,ZHWR=ZQPH,

：.APMH^/^WNH,：.PH=WH,：.WH=QW.

作WS〃PQ,交PH于點(diǎn)S,交y軸于點(diǎn)G,

WHWSHS

.?.△WSHS^QPH,.?.西=而

PH

WSHS1

QH=2WH,—=——=—,

PQPH